广东省东莞市“七校联考”2025届高三上学期12月月考数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页广东省东莞市“七校联考”2025届高三上学期12月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,2,3}，B={x∈R|x2−x−6<0}，则A∩B=A.{−2,−1} B.{−1,2} C.{−2,−1,2} D.{−2,−1,3}2.已知复数z满足z+i1−i=1+iA.0 B.1 C.3 D.3.已知a，b满足a=2,2，b=2，a−b⊥b，则A.π6 B.π4 C.π34.已知sinα+cosβ=−23，cosA.139 B.1318 C.−135.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(

)A.12 B.22 C.6.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…)，若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为(

)

A.190 B.171 C.153 D.1367.对任意两个实数a，b，定义mina,b=a,a≤bb,a>b，若fx=2−x2A.函数ℎx是奇函数

B.函数ℎx在区间−∞,−1∪0,1上单调递增

C.函数ℎx图象与x轴有三个交点

8.定义在R上的函数y=fx满足f4−x=fx,x−2f′xA.fx1<fx2 B.fx1>fx二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布Nμ1,σ12，Nμ2,σ22，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是(

)A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近

D.若σ1=5，则甲同学成绩高于8010.对于函数fx=3A.函数y=fx的图象关于点5π12,0对称

B.函数y=fx在区间π6,2π3上的值域为−12,1

C.将函数y=fx的图象向左平移11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，且F1F2=4，A、A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的离心率为2

C.若PF1⋅PF2=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点P(2,4)引圆C:(x−1)2+(y−1)213.在▵ABC中，若sin2A+sin2B+sinAsinB=sin14.已知函数fx=x+1x+ax+b为奇函数，则函数y=fx在四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)在人工智能中常用LBA=PBAPBA表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.附：χ2α0.050.010.001x3.8416.63510.82816.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．(1)证明：PB//平面AEC；(2)若平面DAE与平面AEC的夹角为60∘,AP=1,AD=17.(本小题15分)已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，数列(1)求数列an(2)若对于任意正整数n，都有1a1a218.(本小题17分)已知函数f(x)=(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)−12ax2①求实数a的取值范围；②证明：x1x19.(本小题17分)通过研究，已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycos(1)已知平面内点A(−3,23)，点B(3,−23)(2)已知二次方程x2+y2−xy=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x2a(ⅰ)求斜椭圆C的离心率;(ⅱ)过点Q(23,23)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线l2与直线l1垂直，直线l参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.C

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.x=2或4x−3y+4=0

13.414.−23915.解：(1)零假设为H0χ2根据α=0.01的独立性检验，我们推断H0(2)A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有PAB=80所以LB则估计LBA的值为

16.解：(1)连接BD交AC于点O，连接OE，如图，因为O为BD的中点，E为PD的中点，所以PB/​/OE，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB/​/平面AEC；(2)因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AB⊥AD，所以PA，AD，AB两两互相垂直，故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，设AB=a，则A(0,0,0)，C(a,3,0)，P(0,0,1)，D(0,所以AC=(a,3显然m=(1,0,0)为平面DAE设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅AC令z=3，得因为平面DAE与平面AEC的夹角为60所以|cos解得a=32或a=−32

17.解：(1)∵数列Snn是以1为公差的等差数列，且∴Snn当n≥2时，an经检验，当n=1时，a1∴(2)由1a则1=1而121−12n+1<12

18.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+1f′(x)=1所以f′(1)=0，f(1)=−3所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=−3(2)函数g(x)=f(x)−12ax2等价于方程a+1=lnxx有两个不同实根x①令φ(x)=lnxx所以φ(x)=lnxx在(0,e)所以当x=e时，φ(x)=lnxx由于φ(1)=0，当x∈(0,1)时，φ(x)<0；当x∈(1,+∞)，φ(x)>0，φ(x)的大致图象如图所示：所以，当a+1∈0,1e函数g(x)=f(x)−12ax2②证明：不妨设0<x1<x2两式相加得lnx两式相减得lnx所以lnx要证x1x2即证lnx设t=x2x则F′(t)=(t−1所以函数F(t)在(1,+∞)上单调递增，且F(1)=0，所以F(t)>0，即x1

19.解：(1)由已知可得AB=(23,−43)，则AP=(