2024-2025学年广东省广州市从化三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市从化三中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.向量a=(x,1,3)，b=(2,−y,6)，若a//bA.x=y=1 B.x=−1，y=−2

C.x=1，y=−2 D.x=−1，y=22.已知P(A)=14,P(B)=16A.512 B.13 C.143.若直线ax+y−2=0经过两直线5x−3y−17=0和x−y−5=0的交点，则a=(

)A.2 B.4 C.6 D.84.已知点A(3,1,4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(

)A.(3,−1,−4) B.(1,−3,4) C.(−3,−1,−4) D.(4,−1,3)5.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：

①两球都不是白球；

②两球中恰有一白球；

③两球中至少有一个白球．

其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1=2，A.63

B.233

C.7.如图，二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，则CD的长等于(

)A.23 B.C.4 D.28.在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为13，投中“贯耳”的概率为16，投中“散射”的概率为19，投中“双耳”的概率为112，投中“依竿”的概率为1A.85432 B.527 C.19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12,P(B)=1A.若A与B互斥，则P(A+B)=23

B.若A与B相互独立，则P(A+B)=23

C.若P(AB−)=13，则A与B10.下列说法正确的是(

)A.“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件

B.“a=−2”是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件

C.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)

D.若点A(1,0)，B(0,2)，直线11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.三棱锥P−A1C1D的体积为定值

B.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]

C.平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线(k+1)x−y+2=0的倾斜角为135°，则k=______．13.已知平面α的一个法向量为n=(2,3,5)，点A(−1,−3,0)是平面α上的一点，则点P(−3,−4,1)到平面α的距离为______．14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为23,13,14.在第一轮比赛中，甲队得x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知点A(2,1)，B(0,3)，C(−1,2)．

(1)求直线AB的倾斜角，并写出直线BC的点斜式方程；

(2)求点A到直线BC的距离．16.(本小题12分)

从甲、乙、丙、丁4位同学中选取2位去参与项公益活动，试求下列事件的概率：

(1)甲被选中；

(2)丁没被选中；

(3)甲、丁至少有1人被选中．17.(本小题12分)

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1．

(1)求直线BC18.(本小题12分)

如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA119.(本小题12分)

在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE/​/BC，且DE经过△ABC的重心.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，存在动点M使A1M=λA1D(λ>0)如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)当λ=12

参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.BCD

11.ACD

12.−2

13.3814.7928815.解：(1)因为点A(2,1)，B(0,3)，C(−1,2)，

所以kAB=3−10−2=−1，kBC=2−3−1−0=1，

所以直线AB的倾斜角为135°，

直线BC的点斜式方程为y−3=x−0，或写成y−2=x+1(注：写一个即可)．

(2)由(1)可得直线BC的一般式方程为x−y+3=016.解：基本事件总数为C42=6，

(1)甲被选中包含的基本事件数为C31=3，

∴甲被选中的概率为36=12；

(2)丁没被选中包含的基本事件数为C32=3，

∴丁没被选中的概率为36=117.解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C1(0,3,2)，C(0,3,0)，B1(2,3,2)，

可得A1E=(0,1,−2)，BC1=(−2,0,2)，EC=(−2,2,0)，

设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1E=y−2z=0n⋅EC=−2x+2y=0，

令z=1，则x=y=2，可得n=(2,2,1)，

可得|18.解：(1)BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，

因为AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，

所以AD⋅AB=0，19.(1)证明：翻折前，由∠C=90°，DE/​/BC，知DE⊥CD，DE⊥AD，

翻折后，DE⊥CD，DE⊥A1D，

因为CD∩A1D=D，CD、A1D⊂平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，

又A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C，

因为A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCDE，

所以A1C⊥平面BCDE．

(2)解：因为DE经过△ABC的重心，且BC=3，AC=6，

所以DE=2，CD=2，AD=4，

由(1)知A1C⊥平面BCDE，

所以A1C⊥CD，A1C⊥BC，

所以A1C=A1D2−CD2=AD2−CD2=23，

以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，B(0,3,0)，D(