【八年级上册数学沪教版】专题05 一般一元二次方程的解法及韦达定理（知识精讲+综合训练）（解析版）

第第页参考答案：1．A【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=3，a+b=−1，将其代入即可求出结论．【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，∴a2+a=3，a+b=−1，∴b=-a-1，=2026故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键．2．C【分析】直接开平方法求方程的根，对照选择即可．【详解】解：因为，解得，故选C．【点睛】本题考查了直接开平方法求方程的根，解题的关键是熟练掌握解方程的方式．3．C【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程2x2-2x-1=0，整理得：x2-x=，配方得：x2-x+=，即（x-）2=．故选：C．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有两个实数根，∴判别式且．由得，，解得，．∴k的取值范围是且．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．5．D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．6．A【分析】先给方程两边同除2，然后再根据完全平方公式和等式的性质配方即可．【详解】解：．故选A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．7．C【分析】根据平方差公式完全平方公式，提公因式法因式分解因式计算即可求解，对于D选项先解一元二次方程求得方程的根．【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；B．，故该选项不正确，不符合题意；C．，故该选项正确，符合题意；D．令，解得，∴，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键．8．B【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．【点睛】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．9．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，可知，，将化简为，代入即可得出结论．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，，∵∴，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到，是解答本题的关键．10．A【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论．【详解】解：设围成矩形的长为厘米，∴围成矩形的宽为：，∴，∵∴∴，∴当时，取得最大值，最大值为，∴的值不可能为．故选：A．【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键．11．24或25##25或24【分析】等腰中，可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．当是底边时，，则方程有两个相等的实根，即，即可得到关于的方程，求得的值；当是腰时，则方程一定有一个解是，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底边，与的值．【详解】解：在方程中，，当这两边是等腰三角形的腰时，有，∴，当有两个边的长都为4时，有，∴，，∴或25．故答案为：24或25．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．12．【分析】先解方程，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．13．##【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．【详解】解：∵，，∴．故答案为：a3t．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．14．0【分析】先确定，再用表示，后代入求值即可．【详解】因为、是方程的两个实数根，所以，，所以=====．故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，完全平方公式的应用，熟练掌握根根与系数关系定理，活用完全平方公式是解题的关键．15．4【分析】先确定，再用表示，后代入求值即可．【详解】因为、是方程的两个实数根，所以；所以=====4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，完全平方公式的应用，熟练掌握根根与系数关系定理，活用完全平方公式是解题的关键．已经向邓老师汇报，等信息，请老师撤回吧！16．，【分析】利用平方差公式计算后，再利用平方差公式计算，再和二次三项式比较即可．【详解】解：=，故答案为：，．【点睛】本题考查二次三项式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式能灵活运用是解题关键．17．，【分析】令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0可求得y的值，从而求得x的值．

【详解】解：令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0可得：a(y−h)2+k=0，由已知可得：y1=-2或y2=1，∵x=y-3，∴x1=−5，x2=−2，故答案为x1=−5，x2=−2．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．18．【分析】由根与系数的关系可得，，再由，代入计算即可．【详解】解：∵，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握，是解题的关键．19．4【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与2，则有，然后两边平方得到=4．【详解】由得，解得，可知两根互为相反数．∵一元二次方程的两个根分别是和，∴，解得，∴一元二次方程的两个根分别是与2，∴，∴=4．【点睛】本题考查直接开方法解一元二次方程方程，正数的平方根互为相反数等知识，掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键．20．【分析】将变形为，可知是方程的一个根，据此即可作答．【详解】将变形为，可知是方程的一个根，∵的根是3和-1，又∵∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查了运用一元二次方程的根解特定的高次方程的知识，理解方程的根的定义是解答本题的关键．21．（1），；（2），【分析】（1）把方程移项变形后，利用因式分解法解方程即可；（2）直接利用配方法解方程即可．【详解】解：（1）解：移项，得因式分解得，，∴或，解得，；（2），解：方程两边同除以，得，移项，得，方程两边同加上一次项系数一半的平方，得，即，∴，解得，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．22．(1)(2)(3)【分析】（1）对方程移项，化简后，直接进行开平方根即可解答；（2）对方程移项，化简后，直接进行开平方根即可解答；（3）对方程化简后，直接进行开立方根即可解答；【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键．23．（1），（2），（