微分方程数值解法答案

包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。解答问题关键在过程，能够显示出你已经掌握了书上的内容，知道了解题方法。这次考试题目的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后面有五个大题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。习题一略，梯形公式：，所以，当时，。同理可以证明预报-校正法收敛到微分方程的解.局部截断误差的推导同欧拉公式;整体截断误差:，这里而，所以，不妨设/2，得到：中点公式的局部截断误差：所以上式为中点公式的整体截断误差：因而，略略略（1）欧拉法：；四阶Runge-Kutta方法：（2）欧拉法：；四阶Runge-Kutta方法：（3）欧拉法：；四阶Runge-Kutta方法：略略习题2略略略差分格式写成矩阵形式为：矩阵的特征值为：，要使格式稳定，则特征值须满足，即利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为。古典隐式差分格式写成矩阵形式为：特征值为：，即：，所以无条件稳定。由Von-Neumann方法，令，代入差分格式得到增长因子为：，所以，恒不稳定。，则原三层格式等价于：，令，可以得到格式的增长矩阵为：，特征值为＝，当1+2〈0时，格式恒不稳定。当时，格式无条件稳定。令，则可以得到差分格式的增长矩阵为：，特征值为：，，所以，格式无条件稳定。9.（1）由Von-Neumann方法，，可以得到格式的稳定条件为：；（2），无条件稳定。10.解：消去便可得到与的关系为=由Von-Meuman方法可以得到增长因子=显然无条件稳定习题31.（1）第一个差分方程的截断误差为（2）第二个差分方程的截断误差为2.边界条件离散为====2ln，=然后将未知点按自然顺序排列=可以写出求解的线性代数方程组用直接方法或迭代方法可求解.3.求解的关键是（1）边界条件的离散应与差分方程相适应;（2）在边界的四个角点处差分方程的建立;（3）未知量按自然顺序排列，写出线性方程组4.解：（1）将节点以自动顺序排列U=其中则Dirichlet问题的差分格式可以写成方程组AU=b其中A，B即为题中已给形式，b为由边界条件离散化后已确定的已知向量（2）考虑AU=即因B为对称阵，故存在正交阵Q使用左乘以上各式记=则选取以上方程组中的每一个小方程组的第j个方程得到j=1，2…..p-1这是一齐次三对角线性方程组，若要使其有非零解，则系数行列式值为零，即=0根据三对角阵特征值公式有=1，2…q-1而于是证得=1，2…q-1m=1，2….p-1事实上由此也可以求出A的特征向量,而AU=b的求解与此类似;（3）求解AU=b的Jacobi迭代因A=D-L-R所以设X为A的对应于的特征向量，于是GX=这说明X也是G的特征向量，对应的特征值为=1，2…..p-1m=1，2…….q-1因在上，为减函数，于是习题4特征线为：，求解得到曲线为：，过点的特征线为：。沿特征线，原方程变为常微分方程：，带入，得到：，在点(3，19)的值为6.5。此问题给出的初始条件比较特殊，为两条直线，因此有两条完全不同的特征线，从而得到沿两条不同特征线的解。特征线方程为：，特征关系为，即，对于一条初始曲线，在其上任取一点，，解在此点满足初始条件，得到，过此点的特征线为：；对于另一条初始曲线，在其上任取一点，，解在此点满足初始条件，得到，过此点的特征线为：。过点的值为，过点的值为。过此两点的特征线分别为和。若上的初始条件改为，则特征线为，特征方程为，过点的特征线为，解为，故及在点的准确值分别为，。略原方程化为，可以求出的特征值为：，，对应的左特征向量为：，，因此可以得到方程的正规形式并求解(1)由VonNeumann方法，可以得到增长因子为：所以，格式无条件稳定。(2)利用格式的泰勒展式近似可以得到。(1)由VonNeumann方法，令，可以得到增长矩阵为：，特征值为：，所以，得到当时，格式稳定，又为正规矩阵，即，所以稳定性条件为充要条件。(2)同教材193页格式(4.81)的讨论。特征值为：，对应的左特征向量为：，，则可以相应地写出原方程的正规形式。略令，，则原方程等价于，方程组的正规形式：