2025年菁优高考数学压轴训练20

Page2025年菁优高考数学压轴训练20一．选择题（共10小题）1．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2．（2024•新郑市校级一模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，满足，则A． B．1 C． D．23．（2024•浙江模拟）双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为A． B．2 C． D．34．（2024•江西一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为关于渐近线的对称点．若，且△的面积为8，则的方程为A． B． C． D．5．（2024•山西模拟）设直线与双曲线相交于，两点，若线段中点的坐标是，，且，则A． B． C． D．26．（2024•辽宁模拟）已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是双曲线，则的值可以是A．2 B．3 C．4 D．57．（2024•大武口区校级四模）双曲线的左、右焦点分别为、．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为A． B． C． D．8．（2024•天津模拟）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与分别在第一、二象限交于，两点，内切圆半径为，若，则的离心率为A． B． C． D．9．（2024•岳麓区校级模拟）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是A． B． C． D．10．（2024•临渭区校级模拟）已知直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，且点在第一象限．为坐标原点，若，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．5二．多选题（共4小题）11．（2024•屯溪区校级模拟）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则A．双曲线的离心率 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的渐近线方程为 D．若，则的渐近线方程为12．（2024•安徽模拟）已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于，和，四点，，，四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是A．四边形一定是平行四边形 B．四边形可能为菱形 C．的中点可能为 D．的值可能为13．（2024•新县校级模拟）双曲线，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点，与其两条渐近线分别交于，两点，则下列命题正确的是A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为14．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则A．双曲线的焦点到渐近线的距离为 B．若，则 C．当过点时，光线由所经过的路程为8 D．反射光线所在直线的斜率为，则三．填空题（共5小题）15．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，，，两点，若，，则双曲线的离心率是．16．（2024•江宁区校级三模）已知双曲线与直线交于，两点（点位于第一象限），点是直线上的动点，点，分别为的左、右顶点，当最大时，为坐标原点），则双曲线的离心率．17．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则．18．（2024•咸安区校级模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．现将双曲线上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为．19．（2024•辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是．四．解答题（共6小题）20．（2024•盐湖区一模）已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点．（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积．21．（2024•江西模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．（1）求的方程；（2）若直线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．22．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．23．（2024•濮阳模拟）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．（1）求的方程．（2）若过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．24．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，的离心率为2．点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于，两点．当轴时，直线为△的等线．（1）求的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为△的等线．25．（2024•青羊区校级模拟）已知双曲线经过点，且离心率为2．（1）求的方程；（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点．设点，为双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，若，求．

2025年菁优高考数学压轴训练20参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，因为△为等边三角形，所以，，因为△△，所以，，即，故点，因为，则，解得．故选：．【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．2．（2024•新郑市校级一模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，满足，则A． B．1 C． D．2【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】设点，，由的离心率可得、与的关系，再由，求得，将代入的方程，得，然后分类利用三角公式求解．【解答】解：设点，，由，得，，，将代入的方程得，得，当时，，故．同理可得当时，．故选：．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题．3．（2024•浙江模拟）双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为A． B．2 C． D．3【答案】【考点】双曲线与平面向量【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】先求出直线的方程，联立直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解．【解答】解：由题意得，，，直线的方程为，联立与可得，，若，则，所以，所以，化简得，，所以．故选：．【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题．4．（2024•江西一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为关于渐近线的对称点．若，且△的面积为8，则的方程为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】根据双曲线的性质可知，，由条件得，根据三角形中位线，可得，再结合，即可求解．【解答】解：因为关于的一条渐近线的对称点为，令渐近线为．即，，则到的距离为，所以，又．所以，因为，所以，又因为△的面积为8，因为，且，所以，所以，即，又，所以，，所以双曲线方程为．故选：．【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．5．（2024•山西模拟）设直线与双曲线相交于，两点，若线段中点的坐标是，，且，则A． B． C． D．2【答案】【考点】双曲线的中点弦【专题】综合法；数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理所求值．【解答】解：将，代入直线中，得，联立，解得，，设，，，联立和双曲线，消去得，则△，因此，整理得，则，所以．故选：．【点评】本题考查双曲线的方程、直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．6．（2024•辽宁模拟）已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是双曲线，则的值可以是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【考点】双曲线的性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时点的轨迹是以，为焦点的椭圆，当点在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心，当点在圆外时，，此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支，从而得到答案．【解答】解：当在圆内，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点，则，线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1，连接，则，所以，则，此时的轨迹是以，为焦点的椭圆，当点在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心，当点在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点，则，线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2，连接，则，所以，则，此时点的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支，同理当在圆上运动时，还会得到，所以动点的轨迹是双曲线，则点在圆外，所以．综上可得，．故选：．【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆与双曲线定义的应用，求解动点轨迹的常见方法有：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．7．（2024•大武口区校级四模）双曲线的左、右焦点分别为、．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；综合法；数学运算【分析】根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为，则过且垂直渐近线的直线方程为，联立两直线方程求出，，再根据题意建立方程，即可求解．【解答】解：根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为，则过且垂直渐近线的直线方程为，联立，可得，，，又，，，，，又，双曲线的方程为．故选：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．8．（2024•天津模拟）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与分别在第一、二象限交于，两点，内切圆半径为，若，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解．【解答】解：如图，设，内切圆圆心为，内切圆在，，上的切点分别为，，，则，，，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，得，于是，在△中，由余弦定理可得：，从而，．故选：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．9．（2024•岳麓区校级模拟）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】数学运算；不等式；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】由椭圆与双曲线的定义，结合基本不等式的应用求解．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义得：，，，，设，则在△中，由余弦定理得：，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故选：．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．10．（2024•临渭区校级模拟）已知直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，且点在第一象限．为坐标原点，若，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．5【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线方程，再与直线方程联立求出点，的坐标，然后列式求出，的关系即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为和，显然直线与直线交点在第一象限，则有，即，由，解得，即点，由，解得，即点，而，即，整理得，所以双曲线的离心率．故选：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．二．多选题（共4小题）11．（2024•屯溪区校级模拟）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则A．双曲线的离心率 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的渐近线方程为 D．若，则的渐近线方程为【答案】【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征；求双曲线的渐近线方程【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用，可得，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率，知正确；根据斜率关系可知直线为双曲线的一条渐近线，利用可构造方程求得正确；分别利用和可构造方程求得正误．【解答】解：对于，，，，，，，又与第二象限内的渐近线交于点，，即，，，正确；对于，由知：，又，，直线即为双曲线的一条渐近线，，，又，，，，，，，整理可得：，即，，，即，解得：，的渐近线方程为，错误；对于，，，，，整理可得：，即，，，的渐近线方程为，正确；对于，，，，，，，，整理可得：，，，即，的渐近线方程为，错误．故选：．【点评】本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于，，的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程．是中档题．12．（2024•安徽模拟）已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于，和，四点，，，四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是A．四边形一定是平行四边形 B．四边形可能为菱形 C．的中点可能为 D．的值可能为【答案】【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得结论．【解答】解：由双曲线的中心对称性可知，，分别关于原点与，对称，故，，所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，正确，错；设，，，，则，，两式作差得，将，代入，求得，故的方程为，将其与双曲线联立，解得，此时，故错误；当点位于第四象限，点位于第一象限，由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得的取值范围为，当点位于第一象限，点位于第二象限，设直线的斜率为，则直线的斜率为，由可得，又因为，可得的取值范围为，综上的取值范围为，正确．故选：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13．（2024•新县校级模拟）双曲线，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点，与其两条渐近线分别交于，两点，则下列命题正确的是A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；计算题；综合法；数学运算【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对项判断；设直线分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出，和，坐标，从而可对、项判断；根据，求出，从而可对项判断．【解答】解：对于项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故项错误；对于项：设直线，与双曲线联立，得：，设，，，，由根与系数关系得：，所以线段中点，将直线与渐近线联立得点坐标为，将直线与渐近线联立得点坐标为，所以线段中点，所以线段与线段的中点重合，所以，故项正确；对于项：由项可得，因为为定值，当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷，所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故项错误；对于项：联立直线与渐近线，解得，联立直线与渐近线，解得，由题可知，，所以，即，，解得，所以，故项正确．故选：．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于难题．14．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则A．双曲线的焦点到渐近线的距离为 B．若，则 C．当过点时，光线由所经过的路程为8 D．反射光线所在直线的斜率为，则【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；转化法【分析】对于，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于，判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于，利用双曲线的定义直接求得；对于，先求出双曲线的渐近线方程，由在双曲线右支上，即可得到所在直线的斜率的范围；【解答】解：对于，由双曲线的方程为知双曲线的渐近线方程为：，焦点到直线的距离为：，故正确；对于，若，则，因为在双曲线右支上，所以，由勾股定理得：，二者联立解得：，故正确；对于，光由所经过的路程为，故不正确；对于，双曲线的渐进线方程为，设左、右顶点分别为、，如图所示：当与同向共线时，的方向为，此时，最小，因为在双曲线右支上，所以所在直线的斜率为．即，故正确．故选：．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．三．填空题（共5小题）15．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，，，两点，若，，则双曲线的离心率是．【答案】．【考点】双曲线的几何特征【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解．【解答】解：设，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．16．（2024•江宁区校级三模）已知双曲线与直线交于，两点（点位于第一象限），点是直线上的动点，点，分别为的左、右顶点，当最大时，为坐标原点），则双曲线的离心率．【答案】．【考点】双曲线的几何特征【专题】综合法；整体思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】先求得，两点的坐标，分析得到当最大时，最大，利用正切函数的定义及基本不等式求出当最大时点的位置，根据求得，进而求得双曲线的离心率．【解答】解：将代入双曲线方程得，得，所以．设点的坐标为，不妨设，由题意知为锐角，所以当最大时，最大，则最大．设双曲线的右焦点为，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，最大，即最大．由可得，所以，故双曲线的离心率．故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．17．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则4．【答案】4．【考点】双曲线与平面向量【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想【分析】推得四边形是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．【解答】解：双曲线的，，，设在第一象限，在第四象限，设，，由题意可得，由，，可得四边形是平行四边形，则，由双曲线的定义，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，则．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（2024•咸安区校级模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．现将双曲线上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为．【答案】．【考点】双曲线与平面向量【专题】数学运算；逻辑推理；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】根据定义，在双曲线上设点，求出旋转后点的坐标，然后反求出的坐标，再代入双曲线方程，化简即得．【解答】解：在双曲线上任取一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点，即，在曲线上设点，则有，求出，，得，因点在双曲线上，故：，整理得：，故曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查新定义的运用，考查双曲线的方程与性质，属于中档题．19．（2024•辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是．【答案】．【考点】双曲线的定义；双曲线的离心率【专题】数学运算；对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意得到是线段的垂直平分线，从而得到，再利用推得，结合双曲线的定义得到关于，，的齐次方程，进而得解．【解答】解：如图，直线的斜率为．由，得点为的中点，又，所以是线段的垂直平分线，所以，过点作于点，由已知得，所以，所以，所以，即，所以，又，为的中点，所以，所以，由双曲线的定义可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又题中直线与的右支有交点，所以，即，所以，即，所以，即，所以的离心率为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线离心率相关计算知识，属于中档题．四．解答题（共6小题）20．（2024•盐湖区一模）已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点．（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【考点】双曲线与平面向量【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；（2）设直线的方程为，设点，、，，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积．【解答】解：（1）在双曲线中，，，则，该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，设直线的方程为，设点，、，，联立可得，因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点，所以，，解得，因此，直线的斜率的取值范围是．（2）因为，，由可得，则，当直线与轴重合时，则点、，，，此时，，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，由（1）可得，则或，由韦达定理可得，则，，即，解得，则，所以，．【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．21．（2024•江西模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．（1）求的方程；（2）若直线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）或．【考点】由双曲线的离心率求解方程或参数【专题】逻辑推理；综合法；数学运算；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出和的值，进而可得的方程；（2）设出，两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，推出且，再根据韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）记双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率为2，所以，①不妨设的顶点为，渐近线方程为，因为双曲线的顶点到渐近线的距离为，所以，②又，③联立①②③，解得，，，则的方程为；（2）设，，，，联立，消去并整理得，此时且△，解得解得且，由韦达定理得，，所以，又点到直线的距离，所以的面积，解得或，此时满足且．故或．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．22．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3），．【考点】双曲线与平面向量【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解；（2）先设直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求；（3）由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，先设，，直线程为，直线方程，结合弦长公式求出，及平行线与之间的距离，进而表示出四边形的面积，再由函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）由题，右焦点，渐近线方程为，因此焦点到渐近线的距离为；（2）显然，直线不与轴重合，设直线方程为，由，得，联立方程，得，其中，△恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直线的方程为；（3）延长交双曲线于点，延长交双曲线于点．则由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，由题，设，，直线程为，直线方程，由第（2）问，易得，因为，得，即，因而，平行线与之间的距离为，因此，，令，则，故，得在上是严格增函数，故（等号当且仅当时成立）所以，四边形面积的取值范围为，．【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题．23．（2024•濮阳模拟）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．（1）求的方程．（2）若过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】双曲线的定点及定值问题【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）由题意，根据题目所给信息、离心率公式以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得的方程；（2）设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，将和用坐标表示出来，利用韦达定理将表述出来，再进行化简求解即可．【解答】解：（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率，且点在上，所以，解得，则的方程为；（2）为定值，理由如下：由（1）知，不妨设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，此时，因为，所以，同理得，因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以，两点在轴同侧，此时，即，解得，则．故，为定值．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．24．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，的离心率为2．点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于，两点．当轴时，直线为△的等线．（1）求的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为△的等线．【答案】（1）；（2）12；（3）证明见解答．【考点】双曲线相关动点轨迹【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算【分析】（1）求出点，，的坐标，由直线为△的等线及双曲线的性质可求出，的值，从而可得的方程；（2）切线，代入的方程，可得关于的方程，由△，可得关于的方程，表示出，进一步可得的方程为，求出点，的横纵坐标，结合面积公式求解即可；（3）表示出切线的方程，易知与在的右侧，在的左侧，分别记，，到的距离为，，，利用点到直线的距离公式推出，即可得证．【解答】解：（1）由题意知，，，显然点在直线的上方，因为直线为△的等线，所以，，，解得，所以的方程为；（2）设，，切线，代入，得，所以△，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为，当斜率不存在时，也成立，渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，，故，所以是线段的中点，因为，到过的直线距离相等，则过点的等线必满足：，到该等线距离相等且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得：，所以，所以，所以，所以；（3）证明：设，由，所以，，故曲线的方程为，由知切线为，即，即，易知与在的右侧，在的左侧，分别记，，到的距离为，，，由（2）知，，所以，由得，，因为，所以直线为△的等线．【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．25．（2024•青羊区校级模拟）已知双曲线经过点，且离心率为2．（1）求的方程；（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点．设点，为双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，若，求．【答案】（1）．（2）．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征【专题】转化思想；数学运算；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据离心率的定义得到，利用点在双曲线上代入求解即可，（2）设出直线方程，联立方程，利用设而不求思想，利用斜率关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）离心率为2，，即，则，即，则双曲线方程为双曲线经过点，，得，的方程为．（2）由题意，点坐标为，点坐标为，设，，，．法一：①若直线斜率存在，设直线方程为，，消去可得，则且△，且．整理可得，即，化简得，即，因为直线不过点，所以，所以，所以直线的方程为，恒过定点．②若直线斜率不存在，则，．则，解得，所以直线的方程为，过定点．综上，直线恒过定点．法二：直线不过点，可设直线方程为．由可得，即，即，得，等式左右两边同时除以得，△，，解得．所以直线方程为，恒过定点设点到直线的距离为，点到直线的距离为，．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线位置关系的应用，联立方程，利用韦达定理以及设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

考点卡片1．双曲线的定义【知识点的认识】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．标准方程①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．性质这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．【解题方法点拨】例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【命题方向】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．2．求双曲线的渐近线方程【知识点的认识】双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或．【解题方法点拨】1．计算斜率：利用计算渐近线的斜率．2．代入方程：写出渐近线方程．【命题方向】﹣给定双曲线的参数，求渐近线方程．﹣利用标准方程计算渐近线方程．3．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±＝04．双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴