2025年菁优高考数学压轴训练17

Page2025年菁优高考数学压轴训练17一．选择题（共10小题）1．（2024•西城区校级模拟）已知直线，圆，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，2．（2024•达州模拟）如图，与轴交于点，，是上第一象限内的点，，分别在射线，上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为A． B． C． D．3．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆有且仅有三条公切线，则A． B．1 C．2 D．34．（2024•青原区校级模拟）已知圆及点，则下列说法正确的是A．直线与圆始终有两个交点 B．若是圆上任一点，则的取值范围为 C．若点在圆上，则直线的斜率为 D．圆与轴相切5．（2024•山东模拟）已知直线和曲线有公共点，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，6．（2024•庐阳区校级模拟）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为A． B． C． D．7．（2024•怀仁市校级四模）已知点为直线与直线的交点，点为圆上的动点，则的取值范围为A． B． C． D．8．（2024•中山市校级模拟）过直线上一点作的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为A． B． C．或 D．或9．（2024•乐山三模）已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为A． B． C． D．10．（2024•东莞市校级一模）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的的和为A．0 B． C． D．二．多选题（共5小题）11．（2024•禅城区校级模拟）如图，，，，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为12．（2024•金安区校级模拟）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为13．（2024•靖远县校级模拟）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若圆与轴有交点，则 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则14．（2024•江西模拟）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点为、，、为圆上任意两点，则下列说法中正确的有A．的取值范围为， B．四边形面积的最大值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为15．（2024•日照模拟）已知，，，是曲线上不同的两点，为坐标原点，则A．的最小值为3 B． C．若直线与曲线有公共点，则 D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直三．填空题（共5小题）16．（2024•和平区模拟）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为．17．（2024•天津模拟）设直线和圆相交于，两点，若，则实数．18．（2024•保定二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，，切点分别为、，直线，分别交轴于，两点，则，．19．（2024•洪山区校级模拟）已知点，，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为．20．（2024•龙岗区校级模拟）已知点为圆上的动点，过圆心作直线垂直于轴交点为，点为关于轴的对称点，动点满足到点与到的距离始终相等，记动点到轴距离为，则的最小值为．四．解答题（共5小题）21．（2024•黑龙江模拟）已知圆，．（1）证明：圆过定点；（2）当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积最小值，并写出此时直线的方程．22．（2024•自贡二模）已知圆与直线相交于点，．（1）求点，的坐标；（2）设是直线上，圆外的任意一点，过点作圆的切线，，切点为，，求证：经过，两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．23．（2024•苏州三模）已知圆，直线，直线和圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，．（1）求实数的取值范围；（2）若，求四边形的面积取最大值时，对应实数的值；（3）若直线和直线交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．24．（2024•徐州模拟）将圆上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为．记，，过点的直线与交于不同的两点，，直线，与分别交于点，．（1）求的方程；（2）设直线，的倾斜角分别为，．当时：求的值；若有最大值，求的取值范围．25．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点．（1）若直线垂直平分弦，求实数的值；（2）已知点，在直线上为圆心），存在定点（异于点，满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．

2025年菁优高考数学压轴训练17参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•西城区校级模拟）已知直线，圆，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆；数形结合；转化思想；综合法；数学运算【分析】判断求解的最小值，利用数形结合，转化求解即可．【解答】解：圆，圆心为：，半径为，直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则在以为直径的圆上．如图：也在圆上，圆到直线距离的最小值为2，此时，如图红色的圆的半径为1，即的最小值为1，的取值范围是：，．故选：．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题．2．（2024•达州模拟）如图，与轴交于点，，是上第一象限内的点，，分别在射线，上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为A． B． C． D．【答案】【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的性质【专题】综合法；数学运算；直线与圆；转化思想；计算题【分析】先设出点，求出直线，的方程，与直线，联立解出，两点，再根据是线段中点，即可解出，，得到点坐标，即可求出直线的方程．【解答】解：由题意可得，与轴交于点，，设，，则，直线的方程为，令，的，即，直线的方程为，令，的，即，交轴于点．直线的方程为，可得，又是线段中点，可得，，解得，又，所以，所以，，所以的直线方程为，即．故选：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题，是中档题．3．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆有且仅有三条公切线，则A． B．1 C．2 D．3【答案】【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算【分析】设，应用两点距离公式和已知条件求得动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再由公切线的条数判断位置关系，结合圆心距与半径的关系即可．【解答】解：设，则，整理得，所以动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，而圆可化为的圆心为，半径为，点的轨迹与圆有且仅有三条公切线，点的轨迹与圆外切，由于和的距离，则，．故选：．【点评】本题考查轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．4．（2024•青原区校级模拟）已知圆及点，则下列说法正确的是A．直线与圆始终有两个交点 B．若是圆上任一点，则的取值范围为 C．若点在圆上，则直线的斜率为 D．圆与轴相切【答案】【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数【专题】综合法；转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；直线与圆【分析】根据题意分别求出圆心，半径，由直线过定点可对判断；利用圆外一点到圆上距离知识可对判断；由在圆上可求得，即可对判断；根据圆心到轴的距离从而可对判断．【解答】解：依题意，圆：圆，整理得：，故圆心，半径，对于，直线，整理得：，故该直线恒过定点，而点在圆外，则过点的直线与圆可能相离，故不正确；对于，，点在圆外，由得：，故正确．对于，点在圆上，则，解得，而点，则直线的斜率为，故不正确；对于，点到轴距离为7，大于圆的半径，则圆与轴相离，即圆与轴不相切，故不正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：点和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．5．（2024•山东模拟）已知直线和曲线有公共点，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【答案】【考点】直线与圆的位置关系【分析】将曲线化为，若直线与曲线有交点，则由图可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可．【解答】解：因为，所以直线恒过定点，曲线化简即为，如图所示：由图可知，若直线与曲线有交点，则直线介于与之间即可，由圆心到直线的距离等于半径得，整理得：，解得或（舍，同理，由圆心到直线的距离等于半径得，整理得，解得（舍或，所以．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2024•庐阳区校级模拟）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为A． B． C． D．【答案】【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想；方程思想【分析】根据题意，按点的位置分2种情况讨论，分析的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①点不在坐标轴上，即点在某个象限内；若点在第一象限时，圆，的方程为的形式，代入点的坐标，可得关于的方程，此时圆，的半径，是该方程的两个不同实根，所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得；②点在坐标轴上；当点在轴上时，，此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，且，满足，同理，当点在轴上时，，同样满足，综合可得：．故选：．【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆与圆的位置关系，属于中档题．7．（2024•怀仁市校级四模）已知点为直线与直线的交点，点为圆上的动点，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围．【解答】解：因为点为直线与直线的交点，所以由可得，且过定点，过定点，所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆，圆心为，半径，所以圆且．而圆的圆心为，半径为，所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，所以的最大值为：，的最小值为：（取不到），所以的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，是中档题．8．（2024•中山市校级模拟）过直线上一点作的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为A． B． C．或 D．或【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆【分析】由题意结合点到直线的距离公式列式求解的取值范围．【解答】解：由，，，当时，，使得的点有两个则以为圆心，为半径的圆与直线有两个交点，则，解得．故选：．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查切线长定理和点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．9．（2024•乐山三模）已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【考点】圆上的点到定点的距离及其最值【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；直线与圆【分析】设动点，利用三角形相似求出点的坐标，然后代入直线的方程，得到点的轨迹方程为圆，转化为圆上的点到定点距离的最值进行求解即可．【解答】解：设，解：设，由，可得，故，所以点，，将点的坐标代入直线，化简可得，不同时为，故点的轨迹是以为圆心，为直径的圆，所以的最小值即为点到圆心的距离减去半径，故的最大值为．故选：．【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．10．（2024•东莞市校级一模）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的的和为A．0 B． C． D．【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合法；直线与圆；数学运算；计算题；转化思想【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点．【解答】解：由，可得圆心，半径由，可得，圆心，半径，所以，，故两圆相交，直线与圆及圆共有3个公共点，情形一，与圆在下方相切时，则，得，情形二，与圆在上方相切时，则，得，情形三，过两圆的交点时，两圆相减得，代入圆得：，则两交点分别为，代入直线，得，或则所有符合条件的的和为．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．二．多选题（共5小题）11．（2024•禅城区校级模拟）如图，，，，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆；运算求解【分析】分别求得以、和为直径的圆的圆心和半径，结合图形和圆的面积、矩形的面积公式可判断；求得曲线上的整点可判断；由图求得方程可判断，设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件：，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求方程，可判断．【解答】解：可设以为直径的圆的圆心为，半径为1；以为直径的圆的圆心为，半径为1；以为直径的圆的圆心为，半径为1；对于：曲线与轴围成的图形为以为直径的半圆和2个的圆弧和圆弧，加上矩形，其面积为，故错误；对于：曲线上的整点为，，，，，共5个，故正确；对于所在圆的方程，故正确；对于，所在圆的方程，与所在圆的方程，设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件可得，解得，舍去），则其公切线方程为，即，故错误．故选：．【点评】本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆相切的条件，考查点到直线的距离公式的应用，考查数形结合思想和方程思想、运算能力，属于中档题．12．（2024•金安区校级模拟）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；直线与圆【分析】利用圆心在直线上，即可判断选项，利用三角代换即可判断选项，，利用圆上点与定点连线的斜率的几何意义，即可判断选项．【解答】解：圆，可化为，圆心，半径3，．显然直线过点，其为圆的圆心，因此圆关于直线对称，因此选项正确．．点是圆上的一点，有，设，．，，则，因此选项正确．，因此选项错误．．，理解成点与点连线的斜率，取最大时，即为过点的直线与圆相切时，直线的斜率，故设过点的直线为，即，圆心到的距离，解得或（舍去），即的最大值为，因此选项正确．故选：．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与圆位置关系的应用，与圆有关的最值问题，点到直线距离公式的理解与应用，圆的方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13．（2024•靖远县校级模拟）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若圆与轴有交点，则 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则【答案】【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定【专题】直线与圆；转化思想；数学运算；计算题；综合法【分析】求出连心线所在直线方程判断；求出圆的方程判断；求出圆的圆心到轴的距离，结合直线与圆相交判断；求出点的纵坐标判断．【解答】解：圆的圆心，直线的方程为，即，由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，正确；显然，设点，，则，而，解得，，因此圆的圆心，，半径为，圆的方程为，则圆的方程为，正确；圆的圆心到轴距离为，若圆与轴有交点，则，解得，而，因此，错误；在中，令，得点的纵坐标为，因此，正确．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．14．（2024•江西模拟）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点为、，、为圆上任意两点，则下列说法中正确的有A．的取值范围为， B．四边形面积的最大值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合法；数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题【分析】根据切线长公式即可求解，，，根据三角形的面积公式可求解．【解答】解：圆心到直线的距离，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取得等号，所以的取值范围为，，故正确；因为，所以四边形的面积等于，四边形的最小值为，故错误；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，则有△，所以满足条件的点有两个，故正确；因为，所以当，即，面积有最大值为，此时四边形为正方形，则，满足要求，故错误，故选：．【点评】本题考查切线长定理，考查三角形的面积，考查两点间的距离公式，属中档题．15．（2024•日照模拟）已知，，，是曲线上不同的两点，为坐标原点，则A．的最小值为3 B． C．若直线与曲线有公共点，则 D．对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直【答案】【考点】直线与圆的位置关系【专题】解题思想；能力层次；综合题；解题方法；高考数学专题；数学运算；方程思想【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定，根据几何意义判断，根据直线与椭圆的位置关系判断，根据图形特征以及切线概念判断．【解答】解：因为，所以①当时，曲线的方程为：，即，此时，所以，解得，则此时，所以曲线是上半椭圆；②当时，曲线的方程为：，即，将代入，解得或，则此时，曲线是以为圆心，2为半径的圆在轴下侧的部分，作出曲线的图形如下：选项：当时，，当时取最小值3，当时，，当时取最小值1，则的最小值为1，故错误；选项：因为表示点，与点和点的距离之和，当时，点和点为椭圆的焦点，由椭圆定义可知，当时，点为圆的圆心，点在圆上，所以，当点在或时最大，且为2，所以，故正确；选项：直线过定点，当直线经过或时，直线斜率，联立，化简得，因直线与曲线有公共点，即△，解得或，所以直线与曲线有公共点时，故正确；选项：当点在椭圆上时，对任意位于轴左侧且不在轴上的点，则曲线在点处的切线斜率可以取任何非零正实数，曲线在轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数，同理，当点在圆上时，对任意位于轴左侧且不在轴上的点，则曲线在点处的切线斜率可以取任何非零负实数，曲线在轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任何非零正实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在点，使得曲线在，两点处的切线垂直，故正确．故选：．【点评】本题考查解析几何的综合问题，属中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•和平区模拟）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为．【答案】．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；直线与圆；综合法；数学运算【分析】确定直线过定点，可得最大半径，求出所求圆的标准方程，即可得出结论．【解答】解：直线，可化为，且，，，直线过定点，当圆半径最大时，半径，所求圆的标准方程为．故答案为：．【点评】本题考查圆的方程，考查直线过定点，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（2024•天津模拟）设直线和圆相交于，两点，若，则实数．【答案】．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与圆的位置关系【专题】综合法；直线与圆；数学运算；转化思想；计算题【分析】由已知可得为等腰直角三角形，然后求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得值．【解答】解：圆的标准方程为，圆的圆心坐标为，半径为．，，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即，即，整理得，解得（舍或．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是中档题．18．（2024•保定二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，，切点分别为、，直线，分别交轴于，两点，则2，．【答案】2；．【考点】直线与圆的位置关系【专题】转化思想；数学运算；转化法；直线与圆【分析】设，直接计算可得，由角平分线定理可得，由此求出，得出点坐标，再由直角三角形求出点坐标即可得解．【解答】解：圆的标准方程为，圆心，则为的角平分线，所以．设，，则，所以，则，即，解得，则，所以点与重合，此时，，可得，所以．故答案为：2；．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．19．（2024•洪山区校级模拟）已知点，，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为4．【答案】4．【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆；数形结合【分析】根据题意，得到点，可得点在直线上的动点，把的最大值转化为，结合对称法和圆的性质求最值，即可求解．【解答】解：由圆，可得圆心，半径为，又由点，可得点在直线上的动点，因为点是坐标原点，点是圆上的动点，则，如图所示，设点关于直线的对称点为，，可得，解得，，即，设直线与直线的交点为，则直线的方程为，联立方程组，解得，，即，则，当点与重合时，此时，则，此时取得最大值，最大值为，所以，即的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．20．（2024•龙岗区校级模拟）已知点为圆上的动点，过圆心作直线垂直于轴交点为，点为关于轴的对称点，动点满足到点与到的距离始终相等，记动点到轴距离为，则的最小值为．【答案】．【考点】直线与圆的位置关系【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直观想象；数学运算【分析】由已知画出图形，由抛物线定义可得的轨迹方程，求出，数形结合可得的最小值．【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，轴，，又点为关于轴的对称点，，到与直线的距离相等，点的轨迹方程为，如图，由抛物线定义可知，，则，，当且仅当、、三点共线时取等号，而，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查轨迹方程的请求法，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024•黑龙江模拟）已知圆，．（1）证明：圆过定点；（2）当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积最小值，并写出此时直线的方程．【答案】（1）证明见解析．（2）面积最小值为，．【考点】切点弦及所在直线的方程【专题】综合法；数学运算；计算题；直线与圆；转化思想【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：（1）依题意，将圆的方程化为，令，即，则恒成立，解得，，即圆过定点．（2）当时，圆，直线，设，依题意四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积最小，又，即当最小时，四边形的面积最小，圆心到直线的距离即为的最小值，即，，即四边形面积最小值为，此时直线与直线垂直，所以直线的方程为，与直线联立，解得，设以为直径的圆上任意一点，，故圆的方程为，即，又圆，两式作差可得直线方程．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22．（2024•自贡二模）已知圆与直线相交于点，．（1）求点，的坐标；（2）设是直线上，圆外的任意一点，过点作圆的切线，，切点为，，求证：经过，两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1），；（2）证明见解析，．【考点】直线与圆的位置关系；过圆外一点的圆的切线方程【专题】综合法；数学运算；整体思想；直线与圆【分析】（1）联立求解即可；（2）先设，，，，，然后求出经过，两点的直线方程为，再令即可求解．【解答】解：（1）已知圆与直线相交于点，，联立，解得：或，即，；（2）证明：设，设，，，，则所在直线方程为，所在直线方程为，又在切线，上，则，即经过，两点的直线方程为，令，则，即经过，两点的直线必过定点，且该定点的坐标为．【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题．23．（2024•苏州三模）已知圆，直线，直线和圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，．（1）求实数的取值范围；（2）若，求四边形的面积取最大值时，对应实数的值；（3）若直线和直线交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积取最大值．（3），理由见解答．【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合法；数学运算；方程思想；直线与圆【分析】（1）由直线与圆相交，可建立关于的不等式，解出即可；（2）联立直线与圆方程，进而用表示出四边形的面积，再构造函数，利用导数求解即可；（3）表示出直线和直线的方程，联立方程组，得到的值，再结合题意可得的值．【解答】解：（1）由已知，圆心到直线的距离，所以，即实数的取值范围为；（2）设，，，，则，，由，得，则，，四边形的面积，令（b），，则（b），令（b）得，当时，（b），（b）单调递增，当时，（b），（b）单调递减，所以当时，四边形的面积取最大值．（3），，直线和直线，联立得，所以时，点在一条平行于轴的直线上．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，涉及了利用导数研究函数的最值，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．24．（2024•徐州模拟）将圆上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为．记，，过点的直线与交于不同的两点，，直线，与分别交于点，．（1）求的方程；（2）设直线，的倾斜角分别为，．当时：求的值；若有最大值，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；．【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合法；数学运算；计算题；整体思想；直线与圆【分析】（1）设所求轨迹上的任意点为，且对应的点为，，列出关系式，代入即可求解；（2）设直线为，联立方程组，结合韦达定理求得和，再结合，，三点共线，求得，利用斜率公式，即可求解；设直线为，得到直线的斜率为，求得，利用基本不等式，得到取得最大值，再联立方程组，结合△，得到，进而求得的取值范围．【解答】（1）解：设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为，，代入方程，可得，整理得，所以曲线的轨迹方程为；（2）解：设直线的方程为，，，，，，，，，联立方程组，整理得，则△，且，可得，所以，可得，所以，同理可得，又因为，，三点共线，可得，即，所以，所以；设直线的方程为，其中，由知，直线的斜率为，则，当且仅当时，即时，等号成立，联立方程组，整理得，则△，解得，若有最大值，则，又因为，所以实数的取值范围为．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于难题．25．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点．（1）若直线垂直平分弦，求实数的值；（2）已知点，在直线上为圆心），存在定点（异于点，满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．【答案】（1）；（2）在直线上存在定点，使得为常数3．【考点】直线与圆的位置关系【专题】转化思想；直线与圆；综合法；数学运算；计算题【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，求出圆的与半径，设出直线方程，转化求解实数的值；（2）依题意，直线的方程为，设存在定点满足题意，设，，得，且得，上式对任意，恒成立，求解即可．【解答】解：（1）依题意，圆方程变形为，圆心，半径，又直线的方程即为，因为垂直平分弦，所以圆心必在直线上，所以过点和，斜率，所以；（2）依题意，直线的方程为，设存在定点满足题意，则设，，得，且，，，整理得，，上式对任意，恒成立，且，得或，解得或，又当，时，点与重合，故舍去，综上可知，在直线上存在定点，使得为常数3．【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．

考点卡片1．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．2．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．3．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（）A．1B．C．2D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，故半径等于，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．4．过圆外一点的圆的切线方程【知识点的认识】﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式：其中R是与圆外切的圆的半径．【解题方法点拨】﹣求切线方程：1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径．2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程．【命题方向】﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算．5．切点弦及所在直线的方程【知识点的认识】﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程．【解题方法点拨】﹣求弦方程：1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标．2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程．【命题方向】﹣弦方程问题：考查如何从切点和圆的方程求解弦的方程，涉及几何和代数运算．6．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到