2025年菁优高考数学解密之集合

Page2025年菁优高考数学解密之集合一．选择题（共10小题）1．（2024•西宁二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为A．， B． C． D．，2．（2024•广汉市校级模拟）设集合，1，2，，，0，1，2，，则A．，0，1，2， B．， C．，1，2， D．，2，3．（2024•贵池区校级一模）设全集，2，3，4，5，6，，集合，2，4，，，3，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为A．， B．， C．， D．，3，4．（2024•湖北模拟）已知集合，，，则下列表述正确的是A． B． C． D．5．（2024•开封模拟）设，已知集合，，且，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，6．（2024•威海二模）在研究集合时，用（A）来表示有限集合中元素的个数．集合，2，3，，，若，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．7．（2024•长沙模拟）集合，，则A． B． C． D．8．（2024•曲靖模拟）已知集合，，，，则中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．69．（2024•连云港模拟）已知全集，集合，满足，则下列关系一定正确的是A． B． C． D．10．（2024•湖北模拟）已知集合，，，，若定义集合运算：，，，则集合的所有元素之和为A．6 B．3 C．2 D．0二．多选题（共5小题）11．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人12．（2024•南通模拟）设为全集，集合、、满足条件，那么下列各式中不一定成立的是A． B． C． D．13．（2024•庄浪县校级一模）函数的定义域为，值域为，，下列结论中一定成立的结论的序号是A．， B．， C． D．14．（2024•开封一模）设集合，，则A． B． C． D．，15．（2024•广东模拟）设是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，，都有，，，且若，则，则称是一个数域．例如，有理数集是数域．下列命题正确的是A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集一定是数域 D．数域中有无限多个元素三．填空题（共5小题）16．（2024•三明模拟）记表示个元素的有限集，（E）表示非空数集中所有元素的和，若集合，则，若，则的最小值为．17．（2024•邹城市校级三模）已知集合，1，，，，若，则实数．18．（2024•上海）设全集，2，3，4，，集合，，则．19．（2024•贵州模拟）已知集合，，若，则．20．（2024•斗门区校级模拟）已知集合，2，，，，，则集合的元素个数为．四．解答题（共5小题）21．（2024•顺义区一模）给定正整数，设集合，，，．若对任意，，2，，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（Ⅰ）分别判断集合，2，与，0，1，是否具有性质；（Ⅱ）若集合，，具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．22．（2024•景德镇模拟）设，是非空集合，定义二元有序对集合，为和的笛卡尔积．若，则称是到的一个关系．当时，则称与是相关的，记作．已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，，有，则，则称是对称的；若，，，有，，则，则称是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作．（1）设，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，与，；（2）设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集，为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，，，2，，；（3）已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为．若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合．23．（2024•马鞍山模拟）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，，总有，，，则称是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②，且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．（1）求元素个数最小的数环；（2）证明：记，证明：是数域；（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由．24．（2024•重庆模拟）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．则称集合为集合的“集”．（1）若集合，3，，求的“集”；（2）若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；（3）若，，，存在“集”，且，求的最大值．25．（2023•东城区模拟）对非空数集，，定义，，记有限集的元素个数为．（1）若，3，，，2，，求，，；（2）若，，，2，3，，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值．

2025年菁优高考数学解密之集合参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•西宁二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为A．， B． C． D．，【答案】【考点】图表示交并补混合运算【专题】数学运算；集合；数形结合法；转化思想【分析】阴影部分表示的集合为，根据集合关系即可得到结论．【解答】解：由图可知阴影部分对应的集合为，集合，，或，即．故选：．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．2．（2024•广汉市校级模拟）设集合，1，2，，，0，1，2，，则A．，0，1，2， B．， C．，1，2， D．，2，【答案】【考点】求集合的交集【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解【分析】根据集合交集运算求解即可．【解答】解：，1，2，，，0，1，2，，则，1，2，．故选：．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．3．（2024•贵池区校级一模）设全集，2，3，4，5，6，，集合，2，4，，，3，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为A．， B．， C．， D．，3，【答案】【考点】图表示交并补混合运算【专题】综合法；数学运算；集合；整体思想【分析】根据图中集合之间的关系即可得到结论．【解答】解：由题意得，6，，，3，，所以阴影部分表示的集合为，．故选：．【点评】本题主要考查图表达集合的关系和运算，属于基础题．4．（2024•湖北模拟）已知集合，，，则下列表述正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】判断两个集合的包含关系【专题】集合思想；逻辑推理；函数的性质及应用；综合法【分析】由集合间的关系判断即可得解．【解答】解：，，、，，、为奇数、为任意整数、．故选：．【点评】本题考查集合的关系的判断，集合的关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5．（2024•开封模拟）设，已知集合，，且，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】38：对应思想；：定义法；：集合【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．【解答】解：，集合，，，，又，实数的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．6．（2024•威海二模）在研究集合时，用（A）来表示有限集合中元素的个数．集合，2，3，，，若，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．【答案】【考点】交集及其运算【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解【分析】根据题意，确定，，从而求出的值．【解答】解：由题：，所以，故选：．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．7．（2024•长沙模拟）集合，，则A． B． C． D．【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】65：数学运算；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】根据集合的定义计算即可．【解答】解：由，，所以，所以．故选：．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．8．（2024•曲靖模拟）已知集合，，，，则中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．6【答案】【考点】交集及其运算【专题】定义法；集合；数学运算；集合思想【分析】利用交集定义求出，，，，则答案可求．【解答】解：集合，，，，，，，，．中元素的个数为4．故选：．【点评】本题考查交集及其运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2024•连云港模拟）已知全集，集合，满足，则下列关系一定正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用【专题】集合；定义法；对应思想；数学运算【分析】根据已知条件，求得，再进行选择即可．【解答】解：因为集合，满足，故可得，对：当为的真子集时，不成立；对：当为的真子集时，也不成立；对，恒成立；对：当为的真子集时，不成立；故选：．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．10．（2024•湖北模拟）已知集合，，，，若定义集合运算：，，，则集合的所有元素之和为A．6 B．3 C．2 D．0【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】根据的定义即可求出的元素，从而得解．【解答】解：因为，2，，所以集合的所有元素之和为6．故选：．【点评】本题考查了元素与集合的关系，的定义，是基础题．二．多选题（共5小题）11．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人【答案】【考点】图表示交并补混合运算【专题】集合；转化思想；数学运算；计算题；综合法【分析】作出韦恩图，数形结合求解．【解答】解：设参加100米、400米、1500米三个项目的集合分别为、、，则（A），（B），（C），，，，设，可得，解得，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人，故选：．【点评】本题考查韦恩图、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（2024•南通模拟）设为全集，集合、、满足条件，那么下列各式中不一定成立的是A． B． C． D．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】分①，②，，③，三种情况讨论判断即可．【解答】解：①当时，满足，但是不一定成立，也不一定成立，成立，②当，时，此时，但是不一定成立，成立，③若，时，此时，所以不一定成立的是．故选：．【点评】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了集合的基本运算，属于基础题．13．（2024•庄浪县校级一模）函数的定义域为，值域为，，下列结论中一定成立的结论的序号是A．， B．， C． D．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法【专题】综合法；数学运算；集合；整体思想【分析】先研究值域为，时函数的定义域，再研究使得值域为，得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项．【解答】解：由于，，，，，，，，，，即函数的定义域为，，当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故正确；当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故正确；即当，时，函数的值域为，，故，，故，不一定正确，故正确，错误；故选：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题．14．（2024•开封一模）设集合，，则A． B． C． D．，【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法；集合的相等【专题】综合法；数学运算；计算题；集合；集合思想【分析】由，，，可得．【解答】解：集合，，，则，．故选：．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．15．（2024•广东模拟）设是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，，都有，，，且若，则，则称是一个数域．例如，有理数集是数域．下列命题正确的是A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集一定是数域 D．数域中有无限多个元素【答案】【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用【专题】转化思想；集合；综合法；数学运算【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可．【解答】解：因为是一个数集，且至少含有两个数，可知中必有一个非零实数，对于选项：当时，、，故正确；对于选项：例如，，但，不满足条件，故错误；对于选项：例如，取，，但，所以数集不是一个数域，故错误；对于选项：由选项可知：数域必含有0，1两个数，根据数域的性质可知：数域必含有0，1，2，3，，必为无限集，故可知正确．故选：．【点评】本题考查了数域的定义，元素与集合的关系，是基础题．三．填空题（共5小题）16．（2024•三明模拟）记表示个元素的有限集，（E）表示非空数集中所有元素的和，若集合，则，7，8，，若，则的最小值为．【答案】，7，8，；21．【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，4，5，，，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出的范围，即可求得答案．【解答】解：当，时，表示3个元素的有限集，由可知，2，或，2，或，3，或，3，，故，7，8，；由题意知，4，5，，，故由可得，即，解得或（舍去），结合，故的最小值为21，故答案为：，7，8，；21．【点评】本题考查了集合新定义，属于中档题．17．（2024•邹城市校级三模）已知集合，1，，，，若，则实数．【答案】．【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】整体思想；数学运算；综合法；集合【分析】据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出的值．【解答】解：因为，所以或，或，又由集合中元素的互异性可知且且，且，综上．故答案为：．【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．18．（2024•上海）设全集，2，3，4，，集合，，则，3，．【答案】，3，．【考点】补集及其运算【专题】数学运算；转化思想；转化法；集合【分析】结合补集的定义，即可求解．【解答】解：全集，2，3，4，，集合，，则，3，．故答案为：，3，．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．19．（2024•贵州模拟）已知集合，，若，则．【答案】．【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；定义法；集合；集合思想【分析】根据元素与集合的关系列方程求解．【解答】解：由题意，或者，解得或，当时，不符合集合元素的互异性，故．故答案为：．【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．20．（2024•斗门区校级模拟）已知集合，2，，，，，则集合的元素个数为2．【答案】2．【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值【专题】数学运算；集合思想；集合；定义法【分析】利用列举法表示集合，能求出结果．【解答】解：集合，2，，，，，，则集合的元素个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四．解答题（共5小题）21．（2024•顺义区一模）给定正整数，设集合，，，．若对任意，，2，，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．（Ⅰ）分别判断集合，2，与，0，1，是否具有性质；（Ⅱ）若集合，，具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．【答案】（Ⅰ）集合，2，不具有性质，集合，0，1，具有性质．（Ⅱ）．（Ⅲ）或．【考点】元素与集合关系的判断；数列的应用【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（Ⅰ）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足．（Ⅱ）根据性质的定义，首先确定，，，再讨论是否属于集合，0，，即可确定的取值，即可求解．（Ⅲ）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）集合，2，中的，2，，，2，，所以集合，2，不具有性质，集合，0，1，中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，0，1，，所以集合，0，1，具有性质；（Ⅱ）若集合，，具有性质，记，，，则，令，则，，，从而必有，，，不妨设，则，0，，且，令，，则，，0，，且，，0，，且，以下分类讨论：①当，0，时，若，此时，，0，满足性质；若，舍；若，无解；②当，0，时，则，，0，，注意且，可知无解；经检验，0，符合题意，综上；（Ⅲ）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，不妨设，，，，0，，，，，其中，，，根据题意，，，，，，且，，，，，，从而，，或，①当，，时，，，，并且，，，，，由上可得，，，，，并且，综上可知，，，0，，；②当，，时，同理可得，，0，，，，据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，分别是，，0，1，2，，，，0，，1，，，，0，，，，，，，0，1，，，，，0，，．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．22．（2024•景德镇模拟）设，是非空集合，定义二元有序对集合，为和的笛卡尔积．若，则称是到的一个关系．当时，则称与是相关的，记作．已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，，有，则，则称是对称的；若，，，有，，则，则称是传递的．且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作．（1）设，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，与，；（2）设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集，为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，，，2，，；（3）已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为．若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系．如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合．【答案】（1），3，4，5，，，2，4，；（2）证明见解答；（3）为奇数，是上的等价关系，证明见解答．【考点】元素与集合关系的判断【专题】数学运算；综合法；集合；整体思想；综合题【分析】（1）结合所给定义，分别求出，2，3时对应的的值，，5，6时对应的的值；（2）结合所给定义中的自反性、对称性与传递性，借助反证法可得：，，总有或，即可得证；（3）借助等差数列的性质计算可得数列为等差数列，结合题目所给条件借助反证法可得，结合所给定义及奇偶性的讨论即可得解．【解答】解：（1）由，，，2，，，，，，，，，，，，当时，有，3，4，6，当时，有，5，当时，有，有，3，4，5，，又，5，，，，当时，有，4，当时，有，5，当时，有，则，2，4，；（2）证明：因为是中的一个等价关系，由自反性可知，故不为空集．若，不妨假设，所以必有与，由自反性可知即，再由传递性可知．，则，而，即，于是由传递性有，故，所以．同理可证明，所以．综上所述，，，总有或．任取构成，又任取构成，再任取构成，，以此类推，因为是有限集合，结合上述结论可知必存在有限个元素，2，，，使得，其中；（3）证明：因为，，所以，故，，所以必存在．由题意可知当时，有，整理即：，将代入得：，即，所以数列为等差数列，设其公差为，当时，有，显然成立．当时，因为，，即数列不为常数列，则，所以，所以，即，由．而，因为，所以，而，显然此方程无解，所以，与题意矛盾，综上所述只有．所以．因为，由于数列不为常数列，当为偶数时，，当为奇数时，，故为奇数．所以，，而为奇数，所以与一奇一偶，所以，，，三奇一偶或两奇两偶，又，所以，，，不可能三奇一偶，故，均为奇数，，均为偶数或，均为偶数，，均为奇数．所以或，当时，，，所以是自反的；当，，将，与，取值对调，则，，所以是对称的；当，与，，即，其中，，为奇数，，，为偶数或，，为偶数，，，为奇数，所以，，所以是传递的．综上所述，是上的等价关系，其中．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于难题．23．（2024•马鞍山模拟）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，，总有，，，则称是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②，且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．（1）求元素个数最小的数环；（2）证明：记，证明：是数域；（3）若，是数域，判断是否是数域，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）不一定是数域，理由见解析．【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（1）根据数环的概念求解；（2）根据数域的概念证明；（3）不一定是数域，举反例说明即可．【解答】解：（1）是数环，所以集合非空，即至少含有一个复数，取，则，而显然是一个数环，故；（2）证明：显然，对任意，，，，，，所以，，所以是数环，又因为，故是一个数域；（3）不一定是数域，理由如下：取，，，则，但，故不是数域，而若，是数域，且，则是数域．【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．24．（2024•重庆模拟）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．则称集合为集合的“集”．（1）若集合，3，，求的“集”；（2）若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；（3）若，，，存在“集”，且，求的最大值．【答案】（1），9，；（2）证明见解答；（3）4．【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；综合题；集合；综合法；数学运算【分析】（1）根据定义直接求解；（2）利用反证法推矛盾即可证明；（3）设，结合（2）的结论推出不成立，结合定义和得即可求解．【解答】解：（1）若，3，，由题意可得，，，，即3，9，，此时，满足题意，假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，所以不成立；若，则，所以或9或27，矛盾．故集合中无四个元素，所以集合，9，．（2）设集合，，，不妨设，假设，即，则且，，，由②知，注意到，故有，即，所以，故，即，因为集合中有4个元素，故设，由②可得：若，则，所以，矛盾；若，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾，假设错误，故．（3），不妨设，所以，，又，故，同理可得，若，与（2）类似得，从而必有，对任意的，有，即，所以，即．若，即，故，所以，即，从而必有，对任意的，必有，即，所以，即．综上，得，又时，有，4，8，，，16，32，64，符合题意，所以的最大值为4．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．25．（2023•东城区模拟）对非空数集，，定义，，记有限集的元素个数为．（1）若，3，，，2，，求，，；（2）若，，，2，3，，当最大时，求中最大元素的最小值；（3）若，，求的最小值．【答案】（1），，．（2）13．（3）15．【考点】子集与交集、并集运算的转换【专题】集合思想；转化法；集合；逻辑推理【分析】（1）根据新定义求出，，，进而可得答案．（2）设，，，，，当中元素与中元素的差均不相同时，最大值，进而可求得最大值，再通过，，，得到，推出中最大元素的最小值．（3）对非空数集，定义运算，，，首先确定中不同的元素的差均不同，中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后验证最小值可以取到即可．【解答】解：（1）因为，3，，，2，，所以，，0，2，，，，，0，1，2，，，，0，1，2，3，，所以，，．（2）设，，，，，①因为，所以，当中元素与中元素的差均不相同时等号成立，所以最大值为16．②当时，中元素与中元素的差均不同，所以，又因为，，，0，1，2，，所以，，，所以，则，综上最大值为16，中最大元素的最小值为13．（3）对非空数集，定义运算，，，①，所以，当且仅当时取等号，又因为，所以中不同元素的差均不相同，同理，中不同的元素的差均不相同，若，，，，因为，所以，②令，2，4，8，，，，，，，所以，中不同元素的差均不同，中不同元素的差均不同，所以，经检验，，符合题意，综上，的最小值为15．【点评】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．

考点卡片1．集合的表示法【知识点的认识】1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}3．图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．4．自然语言（不常用）．【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示实数x的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．2．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3．集合的相等【知识点的认识】（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．4．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．5．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（）A．A＞BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A解：由题意可得，B⊆A．故选：D．6．集合中元素个数的最值【知识点的认识】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．7．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．8．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．9．补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．10．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C