2025年菁优高考数学压轴训练16

Page2025年菁优高考数学压轴训练16一．选择题（共10小题）1．（2024•葫芦岛模拟）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点到点的路线长的最小值是A．9 B．10 C．11 D．122．（2024•吉林模拟）过点与圆相切的两条直线夹角为，则A． B． C． D．3．（2024•下陆区校级三模）已知在等腰直角三角形中，，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为A． B． C． D．4．（2024•襄城区校级模拟）已知点是直线和的交点，，，且点满足恒成立．若，则的最小值为A． B． C． D．5．（2024•西乡塘区校级模拟）已知坐标原点在直线上的射影为点，，则为，必然满足的关系是A． B． C． D．6．（2024•爱民区校级模拟）在直角坐标系中，已知点，，，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．57．（2024•青羊区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，则最小值为A． B． C． D．8．（2024•赤峰模拟）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，边上的中线，相交于点，则直线，的夹角为A． B． C． D．9．（2024•普陀区模拟）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是A．3 B．5 C．10 D．1210．（2023•平湖市模拟）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．二．多选题（共5小题）11．（2024•辽宁一模）设直线系（其中，，均为参数，，，，，则下列命题中是真命题的是A．当，时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切 B．存在，，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C．当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为 D．当，时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则12．（2024•回忆版）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则A． B．点，在上 C．在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点，在上时，13．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点．将，和归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；④如果从第1组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．其中所有正确结论的序号是A．① B．② C．③ D．④14．（2023•深圳模拟）设直线系，下列命题中的真命题有A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等15．（2023•梅河口市校级三模）已知，，点满足，则A．点在以为直径的圆上 B．面积的最大值为 C．存在点使得 D．的最小值为三．填空题（共6小题）16．（2024•铜川一模）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营“将军饮马”的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为．17．（2024•天河区校级模拟）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是．18．（2024•新县校级模拟）已知动点，分别在圆和曲线上，则的最小值为．19．（2024•沧州三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率．如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为．20．（2024•曲靖模拟）设，是同一平面上的两个区域，点，点，，两点间距离的最小值叫做区域，间的距离，记作．若，，，则．21．（2024•东阳市模拟）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为．四．解答题（共4小题）22．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个点，和，，记，称为点与点之间的“距离”，其中，表示，中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设，是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”，求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点，，，，，，．23．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，那么称为，两点间的曼哈顿距离．（1）已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；（2）已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；（3）已知点，，点，，，，是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．24．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系中，定义，，，两点间的“直角距离”为．（Ⅰ）填空：（直接写出结论）①若，，则，B）＝_____；②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_____；③记到，两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线，则曲线所围成的封闭图形的面积的值为_____；（Ⅱ）设点，点是直线上的动点，求的最小值及取得最小值时点的坐标；（Ⅲ）对平面上给定的两个不同的点，，，，是否存在点，同时满足下列两个条件：①，，，；②，，．若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点．（1）求所在直线的一般式方程；（2）当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程．

2025年菁优高考数学压轴训练16参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•葫芦岛模拟）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点到点的路线长的最小值是A．9 B．10 C．11 D．12【答案】【考点】直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】直线与圆；计算题；综合法；转化思想；数学运算【分析】求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果．【解答】解：由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，所以，该光线从点到点的路线长的最小值为．故选：．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．2．（2024•吉林模拟）过点与圆相切的两条直线夹角为，则A． B． C． D．【答案】【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题【专题】直线与圆；对应思想；数学运算；综合法【分析】先求圆心和半径，然后设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程，再根据两直线的夹角公式即可求出．【解答】解：如图，化为标准方程为，圆心为，半径为1，过点与圆相切的两条直线夹角为，设切线为，则圆心到切线的距离，解得或，故切线为或，即一条切线为轴，如图，所以，且易知一定为第一象限角，解得．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系及直线的斜率问题，属于中档题．3．（2024•下陆区校级三模）已知在等腰直角三角形中，，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【考点】两点间的距离公式【专题】转化思想；数学运算；直线与圆；综合法【分析】利用，得出，将转化为，再利用三点共线时距离最短解决．【解答】解：如图所示，设圆与相交于点，取的中点为，连接，则，又，，，，则，即、、三点共线时最小，又，故选：．【点评】本题考查圆的有关性质，以及距离和最小问题，属于中档题．4．（2024•襄城区校级模拟）已知点是直线和的交点，，，且点满足恒成立．若，则的最小值为A． B． C． D．【答案】【考点】两点间的距离公式【专题】综合法；转化思想；数学运算；直线与圆【分析】由恒成立，结合，可得，再利用点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：设．由题可知直线过定点，过定点，且，所以点的轨迹方程为，因为恒成立，所以恒成立，结合，可得，即，由题可知，直线的方程为，所以坐标原点到直线的距离为，所以在直线上存在两个点，满足，，或，，共线，所以，即的最小值为．故选：．【点评】本题考查轨迹方程及直线与圆的相关性质，属于中档题．5．（2024•西乡塘区校级模拟）已知坐标原点在直线上的射影为点，，则为，必然满足的关系是A． B． C． D．【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】综合法；直线与圆；计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理【分析】首先求出直线所经过的定点，由射影的意义可得点在以为直径的圆上，进一步求出结果．【解答】解：直线，故在该直线经过点，由原点到直线上的射影点得到：，则点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，所以，所满足的关系式为．故选：．【点评】本题考查的知识点：定点直线系，圆的方程，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2024•爱民区校级模拟）在直角坐标系中，已知点，，，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【考点】两点间的距离公式【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；计算题；数学运算；综合法【分析】设，由题意求出的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为到直线的距离，即可求得答案．【解答】解：设，则的中点坐标为，代入，可得，故动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由于，故在抛物线内部，过点作，垂足为，则，（抛物线的定义），故当且仅当，，三点共线时，最小，即最小，最小值为点到直线的距离，所以．故选：．【点评】本题考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，属中档题．7．（2024•青羊区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，则最小值为A． B． C． D．【答案】【考点】两点间的距离公式【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；直线与圆【分析】画出函数的图象，根据图象可知，最小值为圆心到直线的距离减去半径．【解答】解：由，整理得，即在圆心，半径为1的半圆上．，当且仅当时，等号成立，所以曲线的一条切线为，数形结合可知，当，分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即的最小值为．过圆心与垂直的直线方程，与直线平行的函数的切线方程为，，所以，当且仅当即时，取到最小值．综上所述，．故选：．【点评】本题考查了利用数形结合法求最值，考查了数形结合思想，属中档题．8．（2024•赤峰模拟）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，边上的中线，相交于点，则直线，的夹角为A． B． C． D．【答案】【考点】余弦定理；两直线的夹角与到角问题【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；解三角形【分析】结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：，，，即，，，，，，所以与夹角为．故选：．【点评】本题考查解三角形，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．（2024•普陀区模拟）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是A．3 B．5 C．10 D．12【答案】【考点】直线的截距式方程【专题】数学运算；综合法；整体思想；直线与圆【分析】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解．【解答】解：设动圆的圆心坐标为，即圆半径，由题意，设，，圆与直线相切于点，则，，所以，即的周长为，所以的周长最小即为圆半径最小，因为直线过定点，所以当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，此时，化简得，则或5，当时，圆心在内，不合题意；当时，即圆半径的最小值为5，周长的最小值为．故选：．【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，直线方程的应用，属于中档题．10．（2023•平湖市模拟）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】【考点】两点间的距离公式【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算【分析】利用直线和圆的位置关系建立不等量关系，进一步求出的取值范围．【解答】解：设点，由于，所以，整理得，利用圆心到直线的距离，解得，即实数的取值范围为．故选：．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．二．多选题（共5小题）11．（2024•辽宁一模）设直线系（其中，，均为参数，，，，，则下列命题中是真命题的是A．当，时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切 B．存在，，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C．当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为 D．当，时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则【答案】【考点】点到直线的距离公式；恒过定点的直线【专题】数学运算；综合法；直线与圆；转化思想；计算题；逻辑推理【分析】直接利用点到直线的距离公式和直线的位置以及恒成立问题的应用判断、、、的结论．【解答】解：对于，当，时，直线系方程为，原点到直线的距离，此时圆与直线系中所有直线都相切，故正确；对于，当时，直线系方程为，直线经过定点，当，，时，直线方程化为，显然不过第三象限，当或或，直线，也不过第三象限，所以直线不过第三象限，故正确；对于，当时，直线系为，原点到直线系中所有直线的距离，当时，则直线系为，则原点到直线的距离，故错误；对于，当，时，直线系为，设，，故点，则点到直线系中所有直线的距离，设，故，解得，故，故正确故选：．【点评】本题考查的知识点：点到直线的距离公式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．12．（2024•回忆版）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则A． B．点，在上 C．在第一象限的纵坐标的最大值为1 D．当点，在上时，【答案】【考点】点到直线的距离公式【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；直线与圆【分析】结合题中新定义的曲线的性质对选项一一判断即可．【解答】解：对，因为在曲线上，所以到的距离为，而，所以有，，那么曲线的方程为，对，因为代入知满足方程；错，因为，求导得，那么有（2），，于是在的左侧必存在一小区间，可以取无限小的数）上满足，因此最大值一定大于1；对，曲线的方程为，可化为，即，因为．故选：．【点评】本题考查了点的轨迹方程，新定义问题，是中档题．13．（2024•辽宁模拟）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点．将，和归为第Ⅱ点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论：①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；④如果从第1组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是．其中所有正确结论的序号是A．① B．② C．③ D．④【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的性质【专题】直线与圆；定义法；转化思想；数学运算；逻辑推理；新定义【分析】由图象写出对应点的坐标，结合题意，对题目中的命题真假性进行分析、判断正误即可．【解答】解：由图象知，，，，，，，；对于①，当直线为分类直线时，，当直线为分类直线时，，所以直线分类效果好，①错误；对于②，由图知定位的位置由，，确定，所以直线过点，，的外心，设直线方程为，则由，解得，②正确；对于③，当到直线的距离与到的距离相等时为的临界值，此时点在的右侧，③正确；对于④，去掉点后，由，解得，这与原来不同，所以④正确．故选：．【点评】本题考查了直线方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．14．（2023•深圳模拟）设直线系，下列命题中的真命题有A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】【考点】命题的真假判断与应用；恒过定点的直线【专题】综合法；直线与圆；数学抽象；方程思想【分析】由点到直线的距离公式说明的集合判断；举例说明正确；由任意正边形都有内切圆判断；画图说明错误．【解答】解：点到中每条直线的距离，即为圆的全体切线组成的集合，则中存在两条平行直线，故错误；点不适合直线，存在定点不在中的任一条直线上，故正确；对任意、存在正边形使其内切圆为圆，故正确；如图：中边能组成两个大小不同的正三角形和，故错误．故选：．【点评】本题考查恒过定点的直线，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．15．（2023•梅河口市校级三模）已知，，点满足，则A．点在以为直径的圆上 B．面积的最大值为 C．存在点使得 D．的最小值为【答案】【考点】两点间的距离公式【专题】转化思想；方程思想；数学运算；计算题；综合法；直线与圆【分析】设，根据题意能求出点的轨迹方程为，再求出以为直径的圆的圆心和半径，能判断；根据题意求出直线的方程，再验证圆的圆心在直线的方程上，从而得到点到直线的距离为圆的半径时，的面积最大，进而求解即可判断；根据，结合在直角三角形中，角对应的直角边是斜边的一半，从而即可判断；设，则，再结合余弦定理可得，从而能判断．【解答】解：设，则，，，，化简得，点的轨迹方程是，对于，以为直径的圆的圆心为，，半径为，故错误；对于，依题意可得直线的方程为，即，圆的圆心在直线的方程上，点到直线的距离为圆的半径时，的面积最大，面积的最大值为，故正确；对于，由，在直角三角形中，角对应的直角边是斜边的一半，又，则点在圆内，存在点使得，此时，故正确；对于，设，则，由余弦定理有，，当，即时，有，故正确．故选：．【点评】本题考查点的轨迹方程、圆、直线与圆的位置关系、余弦定理、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三．填空题（共6小题）16．（2024•铜川一模）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营“将军饮马”的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】整体思想；直线与圆；综合法；数学运算【分析】由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，然后结合对称性可求．【解答】解：由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，则，解得，，即，将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，联立，解得，，即．故答案为：．【点评】本题主要考查了点关于直线的对称性的应用，属于中档题．17．（2024•天河区校级模拟）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是．【答案】．【考点】两直线的夹角与到角问题；直线的斜率【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；直线与圆【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围．【解答】解：由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点，设，分别交于，，角平分线交于点，所以，，又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为，所以直线的斜率，所以，则，所以为中点．由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以，因为，不垂直，所以不是直角．当为锐角时，则，夹角为，所以；当为钝角时，则，夹角为的补角，，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意．综上，的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了直线的斜率，直线的夹角问题，是中档题．18．（2024•新县校级模拟）已知动点，分别在圆和曲线上，则的最小值为．【答案】．【考点】两点间的距离公式【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆【分析】设，则，得出圆心轨迹为，由函数与函数的图象关于直线对称，结合导数的几何意义可得的最小值为，进而确定的最小值．【解答】解：因为圆，设，则，所以，即圆心在曲线上运动，易知，函数与函数的图象关于直线对称，而曲线与直线相切于点，曲线与直线相切于点，所以的最小值为，即的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查切线的应用，属于中档题．19．（2024•沧州三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率．如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为．【答案】．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】综合法；直线与圆；计算题；转化思想；数学运算【分析】根据折射定律求解折射角的正弦，进而求得直线斜率和经过的点，得到直线方程．【解答】解：如图，入射角，，，．易知，．该光线再次返回空气中时，其所在直线的斜率为．直线的方程为，整理得．故答案为：．【点评】本题主要是考查了光的折射，解答此类题目的关键是弄清楚光的传播情况，画出光路图，通过光路图根据几何关系、折射定律进行分析，是中档题．20．（2024•曲靖模拟）设，是同一平面上的两个区域，点，点，，两点间距离的最小值叫做区域，间的距离，记作．若，，，则．【答案】．【考点】两点间的距离公式【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【分析】方法一：表示函数图象上的动点与函数图象上动点的距离的最小值，利用互为反函数和点到直线的距离和构造函数的最小值，即．方法二：函数与互为反函数，函数图象上任意点与图象上任意点之间的最小值恰好等于点与之间的距离，再平移后求解最小值．【解答】解：方法一：表示函数图象上的动点与函数图象上动点的距离的最小值，即．由，得，所以，互换，得，因此与互为反函数，它们的图象关于直线对称，则恰好等于函数图象上的动点到直线的距离的最小值的2倍．点到直线的距离，设，则，当时，；当时，；函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以．方法二：函数与互为反函数，函数图象上任意点与图象上任意点之间的最小值恰好等于点与之间的距离，图象向上平移2024个单位得到的图象，图象向右平移2024个单位得到的图象．从而就等于点与点的距离，故．故答案为：．【点评】本题考查了新定义题的解法与应用问题，是中档题．21．（2024•东阳市模拟）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为1．【答案】1．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式【专题】计算题；数学运算；综合法；逻辑推理；转化思想；直线与圆【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可．【解答】解：由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，到直线的距离为，所以圆心到直线距离的最小值为．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点：圆的方程，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）22．（2024•合肥模拟）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一，对平面直角坐标系中两个点，和，，记，称为点与点之间的“距离”，其中，表示，中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设，是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”，求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点，，，，，，．【答案】（1）；（2）圆的面积为4；（3）证明见解析．【考点】两点间的距离公式【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想【分析】（1）直接根据“距离”的定义代入数据求解即可；（2）根据“距离”，“圆”的定义，求出圆的半径，即可求得圆的面积；（3）根据“距离”的定义，代入化简，结合绝对值不等式证明即可．【解答】解：（1）由题中“距离”的定义可得，（2）设是以原点为圆心，以为半径的圆上任一点，则，若，则，；若，则有，，作出图像如下：以原点为圆心，以为半径的圆为一个正方形，边长为2，面积为4；（3）证明：考虑函数，求导可得，所以函数在区间，上单调递增．又由绝对值不等式，可得，当且仅当时，不等式取等，同理有，不妨设，则，，，故不等式成立．【点评】本题考查了两点间的距离公式，新定义问题，绝对值不等式，是中档题．23．（2024•兰州模拟）定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，那么称为，两点间的曼哈顿距离．（1）已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；（2）已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；（3）已知点，，点，，，，是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．【答案】（1）的最小值为2，的最小值为1；（2）5；（3）．【考点】两点间的距离公式【专题】计算题；数学运算；综合法；函数的性质及应用；整体思想【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到，从而得到的最大值；（3）根据题意，令，然后分别构造函数，，，即可得到，从而得到结果．【解答】解：（1），则，即的最小值为2；，则，即的最小值为1；（2）当时，，点为直线上一动点，则当时，，即；当时，，即；所以，又当时，，当时，，所以的最大值为5；（3）令，则，，，，令，，则在区间，内成立，则在区间，内单调递增，则，令，，则在区间，内成立，则在区间，内单调递减，则（e）（1），所以，所以，当且时，取最小值，的最小值．【点评】本题考查了新概念问题，属于难题．24．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系中，定义，，，两点间的“直角距离”为．（Ⅰ）填空：（直接写出结论）①若，，则，B）＝_____；②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是_____；③记到，两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线，则曲线所围成的封闭图形的面积的值为_____；（Ⅱ）设点，点是直线上的动点，求的最小值及取得最小值时点的坐标；（Ⅲ）对平面上给定的两个不同的点，，，，是否存在点，同时满足下列两个条件：①，，，；②，，．若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由．【答案】见解答．【考点】两点间的距离公式【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；分类讨论【分析】（Ⅰ）对于①②③利用，代入即可，再结合方程画出图像求面积；（Ⅱ）设点的坐标，代入．利用绝对值性质求最值．（Ⅲ）分三种情况结合绝对值性质求解．【解答】解：（Ⅰ）填空：①；②即；③因为，所以，如图：即封闭图形的面积时一个正方形与两个全等的三角形面积之和，即；（Ⅱ）因为点为直线上的动点，故可设点的坐标为，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为此时点的坐标为，因为点为直线上的动点，故可设点的坐标为，则，①当时，当且仅当时取得等号；②当．，当且仅当时取得等号；③当时，当且仅当时取得等号；综上，当且仅当时等号成立，故的最小值为此时点的坐标为．（Ⅲ）注意到点，与点，不同，下面分三种情况讨论：（1）若，则，由条件②得，即所以，由条件①得，所以，所以，即，因此，所求的点为；（2）若则类似于前证，可得符合条件的点为；（3）若且时，不妨设，由条件①得，，，当且仅当与同时成立时取等号，即当且仅当与同时成立时条件①成立，若时，则由上述证明可知，要使条件①成立，则有，从而由条件②得，因此所求点的集合为，若时，类似地由条件①可得且，从而由条件②得，因此所求点的集合为．【点评】本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．25．（2023•固镇县三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点．（1）求所在直线的一般式方程；（2）当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程．【考点】直线的一般式方程与直线的性质；与直线有关的动点轨迹方程【专题】计算题；转化思想【分析】（1）求出所在直线的向量，然后求出所在的直线方程；（2）设点的坐标是，点的坐标是，，利用平行四边形，推出与坐标关系，利用当在线段上运动，求线段的中点的轨迹方程．【解答】（本小题满分10分）解：（1），所在直线的斜率为：．所在直线方程是，即．（2）：设点的坐标是，点的坐标是，，由平行四边形的性质得点的坐标是，是线段的中点，，，于是有，，点在线段上运动，，，即，．【点评】本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．3．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠）（2）斜率公式：k＝．3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．4．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．5．直线的一般式方程与直线的性质【知识点的认识】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．6．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．7．恒过定点的直线【知识点的认识】﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0其中a和b是直线的方向向量分量．【解题方法点拨】﹣求方程：1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．3．标准方程：得到直线方程如：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0【命题方向】﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．8．与直线关于点、直线对称的直线方程【知识点的认识】﹣对称直线：﹣点对称：直线l关于点（x0，y0）的对称直线方程为：﹣直线对称：给定直线l和对称直线l'，可以利用垂直平分线的方程来确定l'的方程．【解题方法点拨】﹣求对称直线方程：1．点对称：将直线关于点对称，得到对称点和新直线方程．2．直线对称：对直线关于另一条直线的对称，先找到垂直平分线，再确定对称方程．【命题方向】﹣对称直线：常考查如何利用点对称或直线对称求得直线方程．9．两点间的距离公式【知识点的认识】﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．2．简化计算：计算平方差的和