2025年菁优高考数学解密之数列

Page2025年菁优高考数学解密之数列一．选择题（共10小题）1．（2024•通州区模拟）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024•衡水一模）在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为，则下列各数为常数的是A． B． C． D．3．（2024•郑州模拟）已知等比数列的前三项和为56，，则A．4 B．2 C． D．4．（2024•包头一模）已知等差数列中，，，设，则A．245 B．263 C．281 D．2905．（2024•许昌模拟）已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则A． B． C．3 D．6．（2024•平谷区模拟）已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值7．（2024•山东一模）将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则A． B． C． D．8．（2024•义乌市模拟）已知是等比数列，若，，则的值为A．9 B． C． D．819．（2024•四川模拟）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则A．2 B． C． D．10．（2024•皇姑区四模）等差数列的前项和记为，若，，则A．51 B．102 C．119 D．238二．多选题（共5小题）11．（2024•泰安二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为12．（2024•贵阳模拟）设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是A．数列为等比数列 B．数列的前项和 C．数列的通项公式为 D．数列为等比数列13．（2024•山东模拟）已知数列中，，则A．的前10项和为 B．的前100项和为100 C．的前项和 D．的最小项为14．（2024•河北模拟）已知数列，，满足，，当时，，则A． B． C． D．15．（2024•广东模拟）已知一组数据，，，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小三．填空题（共5小题）16．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为．17．（2024•上海）数列，，，的取值范围为．18．（2024•全国）记等差数列的前项和为，若，，则．19．（2024•包头模拟）已知数列的前项和，当取最小值时，．20．（2024•淄博一模）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比．四．解答题（共5小题）21．（2024•回忆版）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，．（1）若，求，；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．22．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．（1）若是首项为，公差为1的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．23．（2024•朝阳区二模）设为正整数，集合，，，，，，，2，，．对于，，，，设集合，，，2，，．（Ⅰ）若，1，0，0，1，，，1，0，0，1，0，1，0，0，1，，写出集合，；（Ⅱ）若，，，，且，满足，令，，，，求证：；（Ⅲ）若，，，，且，，，，，求证：，2，，．24．（2024•湖北模拟）设是正数组成的数列，其前项和为，已知与2的等差中项等于与2的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和．25．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有、、等，不同算法密钥长度也不同，其中的密钥长度较长，用于传输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用．设，是两个正整数，若，的最大公约数是1，则称，互素．对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为．（1）试求（1）（9），（7）的值；（2）设，是两个不同的素数，试用，表示，并探究与和的关系；（3）设数列的通项公式为，求该数列的前项的和．

2025年菁优高考数学解密之数列参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•通州区模拟）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【考点】充分条件与必要条件；等差数列的前项和；等差数列的性质【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想；简易逻辑【分析】设等差数列的公差为，则，，所以再利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：设等差数列的公差为，则，所以，若，则，即，即，所以，所以，即，所以由“”可以推出“”，若，则，所以，所以，即由“”可以推出“”，故“”是“”的充分必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了等差数列的前项和公式，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．2．（2024•衡水一模）在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为，则下列各数为常数的是A． B． C． D．【答案】【考点】等比数列的性质【专题】数学运算；等差数列与等比数列；整体思想；综合法【分析】由已知可得为常数，然后结合等比数列的性质即可求解．【解答】解：因为等比数列中，为常数，则为常数，又数列的前项积为，则为常数．故选：．【点评】本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．3．（2024•郑州模拟）已知等比数列的前三项和为56，，则A．4 B．2 C． D．【答案】【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式【专题】转化法；等差数列与等比数列；转化思想；数学运算【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．【解答】解：设等比数列的公比为，等比数列的前三项和为56，，则，解得，故．故选：．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．4．（2024•包头一模）已知等差数列中，，，设，则A．245 B．263 C．281 D．290【答案】【考点】等差数列的前项和【专题】数学运算；转化思想；等差数列与等比数列；转化法【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解．【解答】解：设等差数列的公差为，则，故，所以，当时，，故．故选：．【点评】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．5．（2024•许昌模拟）已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则A． B． C．3 D．【答案】【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合【专题】数学运算；等差数列与等比数列；转化思想；综合法【分析】根据等差数列的中项性质和等比数列通项公式可构造方程求得结果．【解答】解：，，成等差数列，，又，，整理可得：，，解得：（舍或．故选：．【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．（2024•平谷区模拟）已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值【答案】【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】综合法；方程思想；数学运算；等差数列与等比数列【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得，，运用分类讨论思想解不等式可得所求取值．【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，，可得，，解得，，则，，，即，当为奇数时，时成立，其余都不成立；当为偶数时，，不等式左边小于0，不等式不成立；时，不等式左边，不等式不成立；时，不等式的左边，不等式不成立；时，不等式的左边，不等式不成立；其余的偶数，也都不成立．故选：．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及不等式的解法，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力，属于中档题．7．（2024•山东一模）将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则A． B． C． D．【答案】【考点】数列递推式；数列与三角函数的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；三角函数的求值；数学运算【分析】由三角函数的恒等变换化简方程，并求值，判断以，重复循环出现，且，，，计算可得所求和．【解答】解：，即为，即，所以或，，即或，，而，所以，，，，所以，，，，后面的值都是以，重复循环出现，且，，，所以，故选：．【点评】本题考查三角函数与数列的综合，以及三角函数的化简和求值、数列的求和，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．8．（2024•义乌市模拟）已知是等比数列，若，，则的值为A．9 B． C． D．81【答案】【考点】等比数列的通项公式【专题】定义法；方程思想；等差数列与等比数列；数学运算【分析】根据等比中项的性质即可得到答案．【解答】解：由题得，而，则．故选：．【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2024•四川模拟）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则A．2 B． C． D．【答案】【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列；方程思想；综合法；数学运算【分析】根据等差数列和等比数列的中项性质分析求解．【解答】解：由题意可得，解得，所以．故选：．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．（2024•皇姑区四模）等差数列的前项和记为，若，，则A．51 B．102 C．119 D．238【答案】【考点】等差数列的前项和【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想【分析】结合等差数列的性质先求出公差，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：等差数列中，，，即，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．二．多选题（共5小题）11．（2024•泰安二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为【答案】【考点】等差数列的前项和【专题】转化思想；数学运算；等差数列与等比数列；综合法【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可．【解答】解：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于，，错误；对于，，正确；对于，，为递减数列，正确；对于，，所以的前5项和为，错误．故选：．【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．12．（2024•贵阳模拟）设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是A．数列为等比数列 B．数列的前项和 C．数列的通项公式为 D．数列为等比数列【答案】【考点】等比数列的性质；数列递推式【专题】转化思想；数学运算；综合法；等差数列与等比数列【分析】由数列的递推式推得，结合等比数列的定义和通项公式，可判断；由与的关系，可判断；由等比数列的中项性质可判断．【解答】解：由，，可得，即有，由，可得数列是首项和公比均为2的等比数列，则，即，故正确；由时，，对不成立，故错误；由，，，，故数列不为等比数列，故错误．故选：．【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的项与和的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．13．（2024•山东模拟）已知数列中，，则A．的前10项和为 B．的前100项和为100 C．的前项和 D．的最小项为【答案】【考点】数列的求和【专题】综合法；整体思想；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【分析】．由，利用错位相减法求解判断；．由，利用幷项求和判断；．由，利用裂项相消法求解判断；．由，利用对勾函数的性质求解判断．【解答】解：对于．易知，则，则，两式相减得，，则，故错误；对于．易知，则其前100项和为，故正确；对于．，则，故正确；对于．易知，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，而，当时，，当时，，所以的最小项为，故错误．故选：．【点评】本题考查了数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法及裂项求和法，属中档题．14．（2024•河北模拟）已知数列，，满足，，当时，，则A． B． C． D．【答案】【考点】数列递推式【专题】综合法；转化思想；数学运算；等差数列与等比数列【分析】依题意可得，从而得到，则单调递增，推导出①，再由得到，结合①判断，当时，，将上式两边平方即可得到，利用不等式的性质得到，即可判断，结合函数的单调性判断，利用基本不等式判断．【解答】解：由，，所以，又，显然，所以，所以单调递增，则单调递减，即，所以①，由，设，即、为关于的方程的两根，所以，即，则，代入①得，故正确；当时，，所以，所以，所以，，，，所以，则，所以，所以，故正确；因为单调递增，所以，又因为函数在上单调递增，所以，所以，所以，故错误；因为，当且仅当时取等号，故正确．故选：．【点评】本题考查数列的递推式和数列的单调性，关键是以递推公式推导出的单调性及，再结合不等式的知识判断，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15．（2024•广东模拟）已知一组数据，，，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小【答案】【考点】等比数列的性质；用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数【专题】综合法；整体思想；概率与统计；数学运算；计算题【分析】由中位数的概念可判断，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断，由方差计算公式即可判断．【解答】解：对于选项，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，故选项正确；对于选项，原数据的平均数为，去掉后的平均数为，即平均数不变，故选项错误；对于选项，则原数据的方差为，去掉后的方差为，故，即方差变大，故选项正确，选项错误．故选：．【点评】本题考查了样本数据的数字特征，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•安徽模拟）已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为．【答案】．【考点】求等差数列的前项和【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；整体思想【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质，基本不等式即可求解．【解答】解：正项等差数列中，，所以，则，当且仅当时等号成立．故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及基本不等式的应用，属于基础题．17．（2024•上海）数列，，，的取值范围为．【答案】．【考点】等差数列的前项和【专题】数学运算；综合法；整体思想；等差数列与等比数列【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．【解答】解：等差数列由，知数列为等差数列，即，解得．故的取值范围为．故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．18．（2024•全国）记等差数列的前项和为，若，，则．【答案】．【考点】等差数列前项和的性质【专题】数学运算；综合法；等差数列与等比数列；转化思想【分析】根据等差数列的前项和公式即可得．【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，由，，得，即，解得．所以等差数列的通项公式为，．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题．19．（2024•包头模拟）已知数列的前项和，当取最小值时，3．【答案】3．【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列；整体思想；综合法；数学运算；计算题【分析】利用数列的递推式得到，利用基本不等式即可求解．【解答】解：由题意得，当时，，又满足该式，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以当取最小值时，．故答案为：3．【点评】本题考查了数列的递推式和基本不等式的应用，属于中档题．20．（2024•淄博一模）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比2．【答案】2．【考点】等比数列的前项和【专题】定义法；逻辑推理；等差数列与等比数列；方程思想；数学运算；计算题【分析】根据题意，利用进行求解即可．【解答】解：即该数列所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，是等比数列，且项数为，，则．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列前项和的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．四．解答题（共5小题）21．（2024•回忆版）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，．（1）若，求，；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．【考点】数列的应用【专题】数学运算；转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据已知条件，先求出直线方程，再与曲线方程联立，即可求解；（2）根据已知条件，推得，再结合，都在双曲线上，以及等比数列的定义，即可求证；（3）要证：，只需先尝试，即先证，再结合换元法，以及直线的斜率公式，即可求解．【解答】解：（1）在上，，解得，过且斜率为的直线方程为，即，联立，解得或，故，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，所以，；（2）证明：，关于轴的对称点是，，，，，都在同一条斜率为的直线上，；则，，都在双曲线上，，两式相减可得，，而①，②，则②①可得，，则，，故数列是公比为的等比数列；（3）证明：要证：，只需先尝试，即先证，记，，则，，而，，，，，，，．【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．22．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．（1）若是首项为，公差为1的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．【答案】（1）是数列，理由见解析（2）证明见解析（3）或．【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）由题知，，0，1，2，3，，再根据数列的定义，即可作出判断；（2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果；（3）根据题设得到，令，从而得到，再利用函数性质，建立不等关系，得到；令，由，即可求解．【解答】解：（1）是数列，理由：由题知，即，，0，1，2，3，，所以，，当时，，所以是数列．（2）证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，，所以对任意正整数，存在正整数满足：，显然时，存在，满足，取，得，所以，可以验证：当，2，3，4时，都不成立，故不是数列．（3）已知是等比数列，其首项，公比，所以，所以，由题意知对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，①令，得，且，因为，，所以当时，取到最小值，所以，所以，又，所以，所以，即；②令，得，且，所以，1综上，或．【点评】本题考查数列的新定义，等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．23．（2024•朝阳区二模）设为正整数，集合，，，，，，，2，，．对于，，，，设集合，，，2，，．（Ⅰ）若，1，0，0，1，，，1，0，0，1，0，1，0，0，1，，写出集合，；（Ⅱ）若，，，，且，满足，令，，，，求证：；（Ⅲ）若，，，，且，，，，，求证：，2，，．【答案】（1），3，，，5，8，；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【考点】数列的应用；数列与不等式的综合【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】（1）由题意，即可直接写出，；（2）由可得结合可得，，2，，，即可证明；（3）若且则，，2，，，进而，由（2）可知，分类讨论，时与的大小关系，即可证明．【解答】解：（1）由题，3，，，5，8，；（2）证明：，，，2，，，当时，，，即，，2，，，又（a），，，2，，，，，2，，，；（3）证明：对任意，令，，，，若且，则，，2，，，，，2，，，，，，2，，，，，2，，，，对，，2，，，，由（2）可知，令，则，若，则，，若，，，即（a），又，，综上，，即，2，，．【点评】本题考查了数列的应用，属于难题．24．（2024•湖北模拟）设是正数组成的数列，其前项和为，已知与2的等差中项等于与2的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和．【答案】（1）；（2）．【考点】裂项相消法【专题】数学运算；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由等差数列和等比数列的中项性质，结合与的关系，等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）化简，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）由与2的等差中项等于与2的等比中项，可得，即为，时，，解得，时，由，可得，两式相减可得为，化为，即为，由，可得，即有数列是首项为2，公差为4的等差数列，则；（2），则的前项和为．【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．25．（2024•江西模拟）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有、、等，不同算法密钥长度也不同，其中的密钥长度较长，用于传输敏感数据．在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用．设，是两个正整数，若，的最大公约数是1，则称，互素．对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为．（1）试求（1）（9），（7）的值；（2）设，是两个不同的素数，试用，表示，并探究与和的关系；（3）设数列的通项公式为，求该数列的前项的和．【答案】（1）（1）（9），（7）；（2），；（3）．【考点】错位相减法【专题】数学运算；综合法；整体思想；逻辑推理；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）由欧拉函数的定义，求（1）（9）和（7）的值；（2）由素数的性质和欧拉函数的定义，求，探究与和的关系；（3）求数列的通项，错位相减法求．【解答】解：（1）易得（1），不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则（9），不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则（7），不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，所以（1）（9），（7）．（2）在不大于的正整数中，只有的倍数不与互素，而的倍数有个，因此．由，是两个不同的素数，得，，在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，于是，所以．（3）根据（2）得，所以，，两式相减，得，所以，故．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了数列项的求解，还考查了错位相减求和，属于中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．求等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入前n项和公式，计算数列的前n项和．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的前n项和公式．﹣综合应用：将前n项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝a3，a4＝5，则Sn＝_____．解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n•a1+•2＝n2﹣2n，故答案为：n2﹣2n．5．等差数列前n项和的性质【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解题方法点拨】等差数列的前n项和具有许多重要性质，如递增性、递减性、与通项公式的关系等．﹣性质分析：分析等差数列的前n项和的性质，如递增性、递减性等．﹣公式推导：根据等差数列的定义和前n项和公式，推导出数列的性质．﹣综合应用：将前n项和的性质与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和的性质分析数列的递增性、递减性，结合具体数列进行分析．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，则Sn的最小值为_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差数列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴当n＝4时，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案为：﹣16．6．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．7．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．8．等比数列的前n项和【知识点的认识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．9．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．10．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．11．错位相减法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．【解题方法点拨】﹣错位相减：将数列{an×bn}的项乘以等比数列的公比q，再与数列{an×bn}的项进行相减，得到简化的公式．﹣化简公式：通过错位相减法化简求和公式，特别是等差和等比数列的求和．【命题方向】常见题型包括利用错位相减法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n．解：设Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，∴2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Sn＝21+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝＝2n+1﹣2﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴．12．裂项相消法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：（1）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．【解题方法点拨】裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．【命题方向】常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：+++…+．解：因为＝，所以原式＝．故答案为：1﹣．13．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．14．数列与不等式的综合【知识点的认识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【命题方向】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴＝．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝an+﹣an﹣1﹣，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1+，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．15．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和