2024年内蒙古赤峰市高考数学一模试卷（文科）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年内蒙古赤峰市高考数学一模试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=12−i，z−为z的共轭复数，z−A.2i B.−2i C.1 D.−i2.若全集U=R，集合A={x∈Z|x2<25}，B={x|x−2≤0}，则A∩(A.{2,3,4} B.{3,4} C.{x|2≤x<5} D.{x|2<x<5}3.下列函数中，是偶函数的是(

)A.y=sin2x B.y=|2x−1| C.y=4.已知实数a=513,b=log53,c=log15A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b5.已知直线l：y=x+b，⊙O：x2+y2=4，则“|b|<2”是“直线l与A.充分必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A的坐标是(4,3)，P为C上一点，则|PA|+|PF|的最小值为(

)A.42 B.23 C.7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高20米，攀登者们在A处测得，到觇标底点B和顶点C的仰角分别为45°，75°，则A，B的高度差约为(

)A.7.32米 B.7.07米 C.27.32米 D.30米8.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=12，a2+1是A.21 B.21或57 C.21或75 D.579.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(

)A.932 B.516 C.3810.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列{an}，则a19A.380 B.399 C.400 D.4011.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，BC，BA.26 B.13 C.112.过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为1的直线l，与CA.233 B.52 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件x−y≥−1x−3y≤3x+y≤−1，则z=3x−y的最小值为______．14.已知单位向量a、b满足|a−b|=115.《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即2，5，8，11，…，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为16.已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)+4f(x)>0，且f(0)=1，则下列说法正确的是______．

①f(x)是奇函数

②∃x∈(0,+∞)，f(x)>0

③f(1)>1e4

④∀x>0三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有500名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间[50,100]内，组委会将初赛成绩分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)试估计这500名学生初赛成绩的平均数x−及中位数(同一组的数据以该组区间的中间值作为代表)；(中位数精确到0.01)

(2)组委会在成绩为[60,80)的学生中用分层抽样的方法随机抽取5人，然后再从抽取的5人中任选取2人进行调查，求选取的2人中恰有1人成绩在[60,70)内的概率．18.(本小题12分)

在①cosA=2c−a2b，②bcosC=(2a−c)cosB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．

问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知_____．

(1)求B；

(2)若△ABC的外接圆半径为2，且cosAcosC=38，求△ABC的面积．19.(本小题12分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=4，M是线段AB的中点．

(1)求证：C1M//平面A1ADD1；

20.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnxx,g(x)=a−xx2(a∈R)．

(1)求f(x)的单调区间及最值；

(2)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，若ℎ(x)21.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)，左、右顶点分别为A，B，P(x,y)为椭圆E上一点，且(x−1)2+y2+(x+1)2+y2=4．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过22.(本小题10分)

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=t2+1t2−1y=2tt2−1(t为参数)．

(1)写出曲线C的普通方程；

(2)设P为曲线C上的一点，将OP绕原点O顺时针旋转π423.(本小题12分)

已知函数f(x)=|x−2|+|2x−1|．

(1)求不等式f(x)≥6的解集；

(2)已知对任意的x∈R，都有f(x)≥t，若a、b、c均为正实数，a+2b+2c=2t+2，在空间直角坐标系中，点(a,b,c)在以点(0,−1,−1)为球心的球上，求该球表面积的最小值．

附：空间中A.(x1,y1,参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.C

6.D

7.A

8.A

9.C

10.C

11.A

12.B

13.−7

14.315.19

16.②③

17.解：(1)平均数x−=55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95×0.1=76，

因为0.1+0.2=0.3<0.5，0.1+0.2+0.3=0.6>0.5，

所以中位数位于[70,80)内，设其为m，

则0.3+(m−70)×0.03=0.5，

解得m≈76.67，

即中位数约为76.67；

(2)由频率分布直方图可知，抽取的5人中成绩在[60,70)的学生有25×5=2人，记为A，B，成绩在[70,80)的学生有35×5=3人，记为a，b，c，

从5人中任选取2人，样本空间为{AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc}，共10个样本点，

其中选取的2人中恰有1人成绩在[60,70)内的有{Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc}，共618.解：(1)若选①，则由正弦定理可得cosA=2sinC−sinA2sinB，

可得2sinBcosA=2sinC−sinA=2sinBcosA+2cosBsinA−sinA，

可得sinA=2sinAcosB，

又在△ABC中，sinA≠0，

可得cosB=12，B∈(0,π)，

解得B=π3；

若选②，则由正弦定理可得：sinBcosC=(2sinA−sinC)cosB=2sinAcosB−sinCcosB，

所以sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

所以sin(B+C)=2sinAcosB，

即sinA=2sinAcosB，

又在△ABC中，sinA≠0，

可得cosB=12，B∈(0,π)，

解得B=π3；

(2)由(1)可得cosB=−cos(A+C)=−cosAcosC+sinAsinC=12，

又因为cosAcosC=38，

所以sinAsinC=12+3819.(1)证明：如图所示，连接AD1，

∵M为AB的中点，AB=2CD

∴AM=12AB=CD，又CD=C1D1，

∴AM=C1D1，又在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AM//DC//D1C1，

∴四边形AMC1D1是平行四边形，

∴C1M//AD1，又C1M⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，

∴C1M//平面A1ADD1；

(2)解：如图，连接B1M、B1D120.解：(1)f′(x)=1−lnxx2，且定义域为(0,+∞)，

令f′(x)>0，解得0<x<e，即f(x)的单调递增区间为(0,e)；

令f′(x)<0，解得x>e，即f(x)的单调递减区间为(e,+∞)，

所以f(x)max=f(e)=1e，无最小值．

(2)因为ℎ(x)=lnxx−1x+ax2(1<x<e2)，

所以ℎ′(x)=1−lnxx2+1x2−2ax3=2x−xlnx−2ax3，

令φ(x)=2x−xlnx−2a，则φ′(x)=2−lnx−1=1−lnx，

令φ′(x)>0，得0<x<e；令φ′(x)<0，得x>e；又x∈(1,e2)，21.解：(1)因为(x−1)2+y2+(x+1)2+y2=4，由椭圆的定义可得2a=4，c=1，

即a=2，b2=a2−c2=4−1=3，

所以椭圆E的方程为：x24+y23=1；

(2)由题意可知直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为x=my−1，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，y1>0，则y2<0，

联立x=my−1x24+y222.解：(1)根据题意，曲线C的参数方程为x=t2+1t2−1y=2tt2−1(t为参数)，

则有(x+y)(x−y)=t2+1+2tt2−1×t2+1−2tt2−1=(t+1)2(t−1)2(t2−1)2=1，

即x2−y2=1；

(2)根据题意，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

设Q的坐标为(ρ,θ)，

将OP绕原点O顺时针旋转π23.解：(1)当x≤12时，f(x)=2−x+1−2x=3−3x≥6，解得：x≤−1，此时x≤−1；

当12<x<2时，f(