【八年级下册】等边三角形的判定【同步练习卷】（含答案）

等边三角形的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（南岗区校级月考）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C2．（覃塘区期中）下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形3．（尚志市期末）若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（辛集市期末）如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（）A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形5．（睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形6．（岳麓区校级月考）下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形7．（文登区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个8．（费县期中）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个9．（福山区期末）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（思明区校级期中）如图1是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形如图2，那么在Rt△ABC中，若BC＝6，则AB＝（）A．3 B．63 C．12 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（长春期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．12．（金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是（只要写出一个即可）．13．（襄州区期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．14．（确山县期中）在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是．15．（临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝时，△AOP为等边三角形．16．（射洪市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．17．（船山区校级期末）如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是三角形．18．（江岸区期中）如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是三角形．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（铁东区期中）已知，如图，∠B＝60°，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．20．（惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：（1）∠B＝∠C；（2）△ABC是等边三角形．21．（赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．22．（越秀区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；（2）求证△ABC为等边三角形．23．（威海期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．24．（越秀区校级期中）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．等边三角形的判定姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（南岗区校级月考）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【解析】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．2．（覃塘区期中）下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．【解析】因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以A选项符合题意；所以B选项不符合题意；因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，所以C不符合题意；因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，所以D选项不符合题意．故选：A．3．（尚志市期末）若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】利用非负数的性质得到a﹣b＝0且b﹣c＝0，即a＝b＝c，然后根据等边三角形的判定方法进行判断．【解析】∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．故选：B．4．（辛集市期末）如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（）A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形【分析】依据作图可得CA＝CD，BA＝BD，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．【解析】由题可得，CA＝CD，BA＝BD，∴CB是AD的垂直平分线，即CE垂直平分AD，故A选项正确；∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，∴∠ACE＝∠DCE，即CE平分∠ACD，故B选项正确；∵DB＝AB，∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；∵AD与AC不一定相等，∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；故选：D．5．（睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形【分析】由等腰三角形的判定由性质分别对各个选项进行判断即可．【解析】∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴选项A不符合题意；∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴选项B、选项C不符合题意；当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（岳麓区校级月考）下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．【解析】A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；故选：D．7．（文登区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【分析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得结论【解析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，在△PEM和△PON中，∠PEM=∠PONPE=PO∴△PEM≌△PON（ASA）．∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．8．（费县期中）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A＝60°，∠B＝∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠BAC＝60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．【解析】①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B＝∠C，又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，AC=CADC=EA∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选：A．9．（福山区期末）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解析】（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．10．（思明区校级期中）如图1是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形如图2，那么在Rt△ABC中，若BC＝6，则AB＝（）A．3 B．63 C．12 【分析】根据正三角形的性质解答即可．【解析】∵Rt△ABC纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，∴AB＝2BC＝12，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（长春期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有①②③④（填序号）．【分析】根据等边三角形的定义即可判断．【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．③三个角都相等的三角形是等边三角形④三边都相等的三角形是等边三角形，故答案为①②③④．12．（金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是∠A＝60°（只要写出一个即可）．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得答案．【解析】在△ABC中，AB＝AC，再添加∠A＝60°可得△ABC是等边三角形，故答案为：∠A＝60°．13．（襄州区期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为等边三角形．【分析】根据已知条件得出OA＝OC＝AC，根据等边三角形的判定得出即可．【解析】∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，∴OA＝OC，∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形．14．（确山县期中）在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．【分析】由在△ABC中，∠A＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可求得答案．【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．故答案为：此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．15．（临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．【解析】∵AON＝60°，∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．16．（射洪市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为等边三角形．【分析】利用三角形三边关系判断三角形的形状，根据已知条件得出三角形三个边的关系式从而判断三角形的形状．【解析】由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．17．（船山区校级期末）如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是等边三角形．【分析】由作图可知所作直线为线段AB的垂直平分线，所以AD＝BD，即△ABD是等腰三角形，且∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形．【解析】由基本作图可知所作直线为线段AB的垂直平分线，所以AD＝BD，即△ABD是等腰三角形，且∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形．18．（江岸区期中）如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是等边三角形．【分析】由题意知△ADP≌△DEC，可得AD＝AE，即可证明△ADE是等边三角形．【解析】过D作AC的平行线交AB于P∴△BDP为等边三角形，BD＝BP，∴AP＝CD，∵∠BPD为△ADP的外角，∴∠ADP+∠DAP＝∠BPD＝60°而∠ADP+∠EDC＝180°﹣∠BDP﹣∠ADE＝60°∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠EDC＝60°∴∠DAP＝∠EDC，在△ADP和△DEC中，∵∠DAP=∠EDCAP=DC∴△ADP≌△DEC（ASA），∴AD＝DE∵∠ADE＝60°∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（铁东区期中）已知，如图，∠B＝60°，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．【分析】先由平行线的性质得∠DEC＝∠B＝60°，再由等边三角形的判定即可得出结论．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠DEC＝∠B＝60°，∵EC＝ED，∴△DEC为等边三角形．20．（惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：（1）∠B＝∠C；（2）△ABC是等边三角形．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，可以得到∠B＝∠C；（2）先证明Rt△AED和Rt△CFD全等，从而可以得到∠A＝∠C，再根据（1）中的结论，即可得到∠A＝∠B＝∠C，从而可以得到结论成立．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，在Rt△AED和Rt△CFD中，AD=CDDE=DF∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），∴∠A＝∠C，由（1）知，∠B＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．21．（赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AE＝BE，∴∠B＝∠EAB，∴∠EAB＝30°，∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，即∠CAE＝90°；（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AEC＝60°，∴∠DEA＝60°，∵点D为线段EC的中点，∴AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，又∵∠DEA＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝60°，∴∠ADE＝60°，∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，∴△ADE是等边三角形．方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AEC＝60°，AE=12∴∠DEA＝60°，∵点D为EC的中点，∴AD=12CE＝∴AD＝DE＝DE，∴△ADE是等边三角形．22．（越秀区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．（1）求∠EBC的度数；（2）求证△ABC为等边三角形．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质进行解答即可；（2）因为EB＝ED，CE＝CD，所以可求得∠ECB＝2∠EBC，又因为BE⊥CE，则∠ECB＝60°，AB＝BC，故△ABC是等边三角形．【解析】（1）∵CE＝CD，∴∠D＝∠DEC，∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．∵BE＝DE，∴∠EBC＝∠D．∴∠ECB＝2∠EBC．又∵BE⊥CE，∴∠ECB＝60°．∵∠ECB＝∠CED+