专题03 一元二次方程应用题九年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（华师大版） 带解析

一元二次方程应用题1．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼准备以每平方米7000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5670元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择；①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案①优惠【分析】（1）根据关系式：原价=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；（2）①费用为：总房价平米数，②费用为：总房价-两年的物业费；代入数值求出结果，比较大小即可．【详解】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：解此方程得：（不符合题意，舍去）∴x＝10%，答：平均每次下调的百分率为10%；（2）方案一：100×5670×98%＝555660（元）方案二：100×5670﹣1.5×100×12×2＝563400（元），555660563400，∴方案一优惠．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握变化率公式是解决本题的关键．2．由于中国的制度优势，中国的国内新冠疫情得到了较好的控制，某企业的出口量也在逐月增加，已知第一个月的出口量是万件，到第三个月末累计出口量达到万件，若每个月的平均增长率相同，（1）求出口量的月平均增长率；（2）因条件限制，该企业每月的生产能力不超过万件，在月平均增长率不变的条件下，该企业是否有能力完成第四个月的出口任务，并说明理由．【答案】（1）50%；（2）没有，理由见解析【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的出口量，再根据第一个月的出口量加第二和第三个月的出口量等于608，列方程求解；（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的出口量，再与400比较大小即可．【详解】解：（1）设出口量的月平均增长率为x，根据题意得128+128（1+x）+128（1+x）2=608，解得

x1=0.5，x2=-3.5（舍去负值），答：出口量的月平均增长率为50%；（2）128（1+50%）3=432＞400，∴该企业没有能力完成第四个月的出口任务．【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．3．某商场代销一种产品，当每件商品售价为200元时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件，综合考虑各种因素，每售出一件产品共需支付厂家及其他费用80元，为了尽快减少库存，每天的销售量应不低于40件，求售价定为多少元时，该商店可获得月利润3000元？【答案】140【分析】设售价定为x元时，根据题意列一元二次方程解答．【详解】解：设售价定为x元时，该商店可获得月利润3000元，由题意得，解得，当x=180时，销售量为件，∵每天的销售量应不低于40件，∴x=180不合题意，舍去，∴x=140，答：售价定140元时，该商店可获得月利润3000元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键，解题中注意检验结果的正确性．4．2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？【答案】25%【分析】由题意设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，并根据2年增长率的一般计算公式列方程求解即可.【详解】解：设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，由题意列方程可得：，解得：或（舍去），所以年平均增长率为：％，答：2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．5．儿童商场购进一批服装，进价为30元/件，销售时标价为60元/件，每天可销售20件．商场现决定对这批服装开展降价促销活动，经测算，每件降价1元，每天可多销售4件．在促销期间，若要每天获得1200元利润，则每件应降价多少元？若考虑商家减少库存，在每天获利1200元时，商品应降价多少元？【答案】15元【分析】设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程，故可求解．【详解】解：设每件应降价x元，根据题意得（60-30-x）（20+4x）=1200整理得：x2-25x+150=0解方程得：x1=10，x2=15所以，若要每天获得1200元利润，则每件应降价10元或15元．若考虑商家减少库存，在每天获利1200元时，商品应降价15元．【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．6．某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只．（1）写出养殖户每天的销量y只与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？（2）若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？【答案】（1），8640元；（2）定价为44元【分析】（1）根据一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只列出函数关系式即可求得函数关系式，再将x＝2代入函数关系式即可求解；（2）根据利润＝销售量×（单价﹣成本）列出方程求解即可．【详解】解：（1）根据题意可得：养殖户每天的销量y只与降价x元之间的函数关系为，当=2时，=480，∴利润为：（元），答：当降价2元时，养殖户的利润为8640元；（2）设每只降元，根据题意可得：，解得：，因为要尽可能让利顾客，则＝6，∴定价为44(元)，答：若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为44元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出正确的方程是解决本题的关键．7．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，今年“双11”活动期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．【答案】（1）（20+2x），（40-x）；（2）20元或10元；（3）不能，理由见解析【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；

（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；（3）根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利2000元．【详解】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，故答案为：（20+2x），（40-x）；（2）根据题意，得：（20+2x）（40-x）=1200解得：x1=20，x2=10答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不能，理由如下：∵（20+2x）（40-x）=2000，整理得：x2-30x+600=0．

∵Δ=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，

∴该方程无解，

∴不可能每天盈利2000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．今年重庆最火爆的旅游景点首属“十八梯”，它是以前连接重庆下半城和解放碑较场口的一条老街，也算是连接美好生活的一条重庆特色老街，其中最知名的一家伴手礼品店铺叫《太上渝礼堂》，商家准备购进荣昌折扇，开州香绸扇共5000把，其中购进2把荣昌折扇和3把开州香稠扇共需90元，购进3把荣昌折扇和4把开州香稠扇共需125元．（1）求荣昌折扇和开州香稠扇的单价各多少元？（2）商店准备将荣昌折扇加价40%，开州香绸扇加价20%后出售．当所有物品销售完后，若利润不低于26000元，则商店至少应购进荣昌折扇多少把？（3）因销售需要商店临时调整销售方案，决定将荣昌折扇售价在进价基础上上涨（a+5）%，开州香稠扇售价在进价基础上上涨a%，在（2）中荣昌折扇购买量取得最小值的情况下，将开州香绸扇的购买量提高%，而荣昌折扇的购买量保持不变．则全部售出后，最终可获利30750元．请求a的值．【答案】（1）荣昌折扇和开州香稠扇的单价分别为15元和20元；（2）商店至少应购进荣昌折扇3000把；（3）30【分析】（1）设荣昌折扇和开州香稠扇的单价分别为a元和b元，根据题意列出方程组，可求a，b的值；（2）设应购进荣昌折扇x把，则购开州香绸扇（5000−x）把，根据题意列出不等式，可求解；（2）根据题意列出方程组，可求a的值．【详解】解：（1）荣昌折扇和开州香稠扇的单价分别为a元和b元，根据题意得：，解得，答：荣昌折扇和开州香稠扇的单价分别为15元和20元；（2）设应购进荣昌折扇x把，则购开州香绸扇（5000−x）把，根据题意得：15×40%x＋20×20%（5000−x）≥26000，解得：x≥3000．答：商店至少应购进荣昌折扇3000把；（2）根据题意得：15（a＋5）%×3000＋20×a%×（1＋%）（5000−3000）＝30750，∴a1＝30，a2＝−270（舍去）．答：a的值为30．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出正确的方程（组）是本题的关键．9．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．（1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，若商城要想销售这种商品每天的销售额为1280元，则每个应降价多少元？【答案】（1）；（2）4元．【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解；（2）假设每个应降价元，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据销售额售价销量，即可列方程求解．【详解】解：（1）设每次降价的百分率为，依题意得：，解得，（不合题意，舍去）答：每次降价的百分率是；（2）假设下调元，依题意得：．解得或．∵20-12=8＜14，故舍去，答：每个应降价4元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．10．为了优化人居环境、提升城市品质，某小区准备在空地上新建一个边长为8m的正方形花坛，如图，该花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，O为对称中心，E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，G、H分别为BE、DF的中点．（1）设AE＝xm，请用含x的代数式表示EG的长及四边形OHEG的面积S；（2）已知：小正方形ABCD中，在△AEH、四边形OHEG内分别种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元、60元，其余部分种植草坪，每平方米的种植成本为95元，若另外的3块正方形区域也按此相同方式种植，问：点E在什么位置时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用为5475元．【答案】（1），S＝－x2＋4；（2）AE为1.5m【分析】（1）分别计算出和四边形AGOH的面积即可得到答案；（2）首先计算出正方形ABCD中空白部分的面积，再根据在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用为5475元列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵AE＝x，∴BE＝4－x，EG＝BG＝2－x，∴S△AEH＝·x·（x＋2－x）＝x2＋x．而S四边形AGOH＝2×（x＋2－x）×2＝4＋x，∴S＝（4＋x）－（x2＋x）＝－x2＋4．（2）正方形ABCD中，空白部分面积为16－（4＋x）＝12－x，∴80×4（x2＋x）＋60×4（－x2＋4）＋95×4（12－x）＝5475．化简得4x2－12x＋9＝0．解得x1＝x2＝1.5．答：当AE为1.5m时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用为5475元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．11．某宾馆有80张床位，每张床每晚的收费是100元时，床位可以全部租出，若每张床每晚每提高10元，则减少5张床位租出，为获得8400元的利润，同时让消费者获得实惠，则每张床位每晚的租金为多少元？【答案】120元．【分析】设每张床位定价元，根据总价=单价×数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取让消费者获得实惠的值即可得出结论．【详解】解：设每张床位每晚的租金为元，由题意可得，整理得：，解得：，，∵要让消费者获得实惠，∴，答：每张床位每晚的租金为120元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统风俗．某商家以每盒元的价格购进一批肉粽子，在销售中，商家发现每盒按元出售，平均每天可售出盒，售价在元至元的范围内，每盒售价提高元时，其销量就减少盒，若每天赢利元，这种肉粽子每盒的售价应定为多少元?【答案】元．【分析】设每盒售价为元，从而可得销量为盒，再根据盈利数建立方程，解方程即可得．【详解】解：设每盒售价为元，则销量为盒，由题意得：，解得，（不符题意，舍去），答：这种肉粽子每盒的售价应定为元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键．13．如图，在一块长60m、宽30m的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度之比为3：2，余下的地面铺草坪．要使草坪面积达到600m2，求横、竖道路的宽．【答案】横、竖道路的宽分别为15m，10m．【分析】根据题意找到等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设横竖道路的宽分别为3xm，2xm．根据题意列方程得：(60－4x)(30－3x)＝600，(x－5)(x－20)＝0，x1＝5，x2＝20，当x1＝5，30－3x＞0，x1＝5符合题意当x2＝20，30－3x＜0，x2＝20不合题意舍去∴3x＝15，2x＝20，答：横、竖道路的宽分别为15m，10m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程．14．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．既定航线（1）如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？【答案】（1）轮船会进入台风影响区；（2）经过大约轮船就会进入台风影响区【分析】（1）对比台风中心到达A点时，C与台风中心的距离即可；（2）设时间为未知数，并求解轮船与台风中心距离等于200km时的时间．【详解】（1）当台风中心到达A时：此时轮船距A：所以轮船不改变航向，会进入台风影响区．（2）如图所示

设x小时后，轮船就进入台风影响区，根据题意可以：（千米），（千米）∵，∴∴∴解得：∴轮船经过8.35h就进入台风影响区域．【点睛】本题主要考察勾股定理的知识，根据勾股定理列方程准确求解是解题的关键．15．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【答案】扩充后广场的长为90m，宽为60m．【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价=单价×数量列出方程并解答．【详解】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x×2x×100+30（3x×2x-50×40）=642000解得x1=30，x2=-30（舍去）．所以3x=90，2x=60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，总价=单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．16．商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？【答案】当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1800元．【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：每件利润×降价后的销量=1800，根据等量关系列出方程即可．【详解】设这种衬衫的单价降了x元，根据题意得：，整理得：，，解得：．答：当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1800元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．17．如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1:2.如果要使得彩条之外的面积为512cm2，求设计横彩条的宽度【答案】设计横彩条的宽度为．【分析】设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，则彩条之外的图形面积可等于以长为，宽为的矩形的面积，列出等量关系式求解即可．【详解】设横彩条宽度为，则竖彩条的宽度为，根据题意得：，化简得：，，解得：（不合题意，舍去），，答：设计横彩条的宽度为．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用面积关系列等式是解决问题的关键．18．一块长方形草地的长和宽分别为和，在它四周外围环绕着宽度相等的小路．已知小路的面积为，求小路的宽度．【答案】【分析】设小路的宽度为xm，那么四周外围环绕着宽度相等的小路的长方形的长、宽分别为（20+2x）、（15+2x），根据长方形的面积公式和已知条件即可列出方程（20+2x）（15+2x）＝20×15+246，解方程即可求出小路的宽度．【详解】解：设小路的宽度为xm，依题意得（15+2x）（20+2x）＝246+20×15，整理：2x2+35x﹣123＝0，解之：x1＝3，x2＝﹣20.5（不合题意，舍去）．∴小路的宽度为3m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积＝各部分面积之和；剩余面积＝原面积﹣截去的面积．另外要注意方程的解不一定符合实际情况．19．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】8米【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x米，则知平行于墙的一边的长为(25-2x+1)米，根据矩形的面积为80平方米，构建方程求解，再结合实际情况取值即可．【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x米，则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)米，由题意得：x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．20．列一元二次方程解决问题：游行队伍有8行12列，后来增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行？【答案】增加了3行【分析】设队伍增加了x行，，则也增加了x列，根据游行队伍人数的等量关系列出方程即可得．【详解】解：设队伍增加了x行，则也增加了x列，解得或（舍），则增加了3行．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．21．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是．已知镜面玻璃的价格是120元/m2，边框的价格是30元/m，加工费是60元．如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．【答案】这面镜子的长为1m，宽为m【分析】根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为2x米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于210元列出方程解出即可．【详解】设这面镜子的宽为x米，则长为2x米，由题意得(x+2x)×2×30+2x×x×120+60=210整理得因式分解得解得：（舍去），∴2x=1（m），答：这面镜子的长是1m，宽是0.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，准确找到等量关系列出方程是解题的关键．22．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？【答案】2米【分析】设小道的宽为米，则长、宽分别为米、米，根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可．【详解】解：设该小道的宽为米，依题意得，解得，．因为，不合题意，舍去．所以．答：小道宽2米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用面积问题，解题的关键是巧妙的运用等积代换．23．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．【答案】．【分析】设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，依题意，得：，化简，得：，解得：，．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．由于防疫的需求，某网点销售一款“手消毒凝胶”，这款“手消毒凝胶”的成本为每瓶40元，市场监管部门规定最高售价不得超过75元．经过市场调研发现，销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：瓶）之间存在着如表的数量关系：销售单价x（单位：元）455055…月销售量y（单位：瓶）550500450…（1）求月销售量y和销售单价x之间的一次函数关系式；（2）若商家销售该“手消毒凝胶”，某月销售利润为8000元，求月销售量．【答案】（1）y=-10x+1000；（2）该月销售量是400瓶【分析】（1）设月销售量与销售单价的函数关系为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出月销售量与销售单价的函数关系式；（2）利用月销售利润=每台的利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该产品的销售单价不得高于75元，即可确定该产品的销售单，进而解决问题．【详解】解：（1）设函数关系式为y=kx+b（k≠0），由题意得解得：∴函数关系式为y=-10x+1000（2）由题意得：(x-40)(-10x+1000)=8000解得x1=60，x2=80>75舍去∴y=10x60+1000=400答：该月销售量是400瓶．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，利用待定系数法求出月销售量与销售单价的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．25．为了防控疫情的需要，某商店以每箱30元的价格购进一批消毒液．已知该商店第一天卖出消毒液80箱，每箱能获得10元的利润．后调查了解到：若每箱利润增加1元，每天就少卖4箱．某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润900元，则这天每箱消毒液的售价是多少元？【答案】这天每箱消毒液的售价是45元．【分析】利用数量关系：销售每箱消毒液的利润×销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可．【详解】解：设这天每箱消毒液的售价是元，依题意得：，整理得：，解得：，答：这天每箱消毒液的售价是45元．【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．根据题意表示出销量是解题关键．26．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元．（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？【答案】（1）10元或30元；（2）80元【分析】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，根据月销售利润＝每件利润×销售数量结合每月销售利润为8000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再计算涨价的数量即可；（2）利用月销售成本＝每件成本×月销售数量结合月销售成本不超过10000元，即可确定定价的值．【详解】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，根据题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．∴单价上涨：60－50＝10（元）或80－50＝30（元）．（2）∵销售成本不超过10000元，当x1＝60时，成本：40×[500﹣10×（60﹣50）]＝16000＞10000，故舍去；当x2＝80时，成本：40×[500﹣10×（80﹣50）]＝8000＜10000．∴该商品的销售单价应定为80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．27．平安路上，多“盔”有你．在将乐县“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，平均每天可售出20顶，每顶盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每顶每降1元，商场平均每天可多售出5顶头盔．若商店平均每天要盈利1600元，每顶头盔应降价多少元？【答案】每顶头盔应降价36元．【分析】设每件衬衫应降价x元，销售数量为（20+5x），利润为（44-x），从而可得方程，解出即可．【详解】解：设每顶头盔应降价x元依题意得：（44-x）（20+5x）=1600解得x1=36，x2=4因为要扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，所以x2不合题意舍去答：每顶头盔应降价36元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是正确表示出降价后的销量和利润，将实际问题转化为方程问题求解．28．受各方面因素的影响，最近两年来某地平均房价由10000元/平方米，下降到8100元/平方米，如果在这两年里，年平均下降率相同．（1）求年平均下降率；（2）按照这个年平均下降率，预计下一年房价每平方米多少元？【答案】（1）10%；（2）7290元【分析】（1）设年平均下降率为，可得今年的房价＝去年的房价×（1-x），去年的房价＝前年的房价×（1-x），由此可得方程．（2）由（1）得年平均下降率为10%，则可预计下一年房价为元．【详解】解：（1）设年平均下降率为，根据题意，得.解得，（不合题意，舍去），答：年平均下降率10%；（2）（元），答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米7290元．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．29．应用题：某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（本题第一问要求列方程作答）（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？【答案】（1）6；（2）13【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为15场建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球队比赛的总场数即可．【详解】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，

依题意得：，解得：或（不合题意，舍去）．答：应邀请6支球队参加比赛；（2）由题可得：（场）．答：实际共比赛13场．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键．30．小田同学用一根长为120cm的铁丝分成两段，分别用来围成两个面积之比为4：1的正方形，求较大的正方形的边长为多少？【答案】【分析】设较大正方形的边长为，较小正方形的边长为y，根据长为120cm的铁丝以及两个面积之比为4：1的正方形，列出方程组，求解即可．【详解】解：设较大正方形的边长为，较小正方形的边长为y，根据题意得：，由可得，将代入中得：，整理得：，解得：，（舍），所以较大正方形的边长为．【点睛】本题考查了二元二次方程的应用，以及解一元二次方程，根据题意列出方程组是解本题的关键．31．某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为5元．据市场调查：每杯售价30元，平均每天可销售300杯；价格每降低5元，平均每天可多销售100杯．为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利7820元，这款奶茶应售价多少元？【答案】这款奶茶应售价22元．【分析】设这款奶茶每杯降价x元，则销售量为杯，每杯利润为元，根据题意列出一元二次方程接方程求解即可．【详解】解：设这款奶茶每杯降价x元．根据题意，得(30－5－x)(300＋20x)＝7820．整理，得x2－10x＋16＝0．解得x1＝2，x2＝8．∵让顾客获得最大优惠，∴x1＝2舍去，30－8＝22．答：这款奶茶应售价22元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．32．沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆．（1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？（2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用辆．【答案】（1）25%；（2）12500【分析】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，根据等量关系：8月份租用单车次数×（1+增长率）2=10月份租用单车次数，即可列出一元二次方程，解方程即可；（2）根据：10月份租用单车次数×（1+月平均增长率）即可得11月份单车租用次数的辆数．【详解】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，则由题意可得：解方程，得：或（舍去）即该区单车租用次数的月平均增长率是25%；（2）（辆）即11月份单车次数租用12500辆；故答案为：12500．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系并列出方程是关键．33．王师傅开了一家商店，七月份盈利2500元，九月份盈利3600元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率．【答案】【分析】设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为，根据该商店七月份及九月份的盈利额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：从从七月到九月，每月盈利的平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．34．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，求增加了多少行？【答案】行【分析】设增加了行，根据体操队伍人数不变列出方程即可．【详解】解：设增加了行，根据题意得：，整理为：，解得：，（舍），答：增加了行．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．35．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利元，平均每天可售出件；（2）若商场平均每天盈利2100元，则每件衬衫应降价多少元？【答案】（1）45−x；20＋4x．（2）每件衬衫应降价30元．【分析】（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利（45−x）元，平均每天可售出（20＋4x）件，此题得解；（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可．【详解】解：（1）设每件衬衫降价x元（x为正整数），则平均每件盈利（45−x）元，平均每天可售出（20＋4x）件．故答案为：45−x；20＋4x．（2）根据题意得：（45−x）（20＋4x）＝2100，整理得：x2−40x＋300＝0，解得：x1＝10，x2＝30．∵为了尽快减少库存，∴x＝30．答：每件衬衫应降价30元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）设出未知数x，用含x的代数式表示出每件的利润及销售数量；（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，列出关于x的一元二次方程．36．如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？【答案】应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．【分析】设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意列出一元二次方程，求解再比较即可求解．【详解】解：设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意，得3x4(8-2x)=72，整理，得x2-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，当x=1时，机器人走的路程为2×3×1+4×(8-2×1)=30(米)；当x=3时，机器人走的路程为2×3×3+4×(8-2×3)=26(米)；∵26<30，∴取x=3，从而8-2x=2，答：应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列得方程，是解题的关键．37．自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．【答案】这个增长率为【分析】设这几周工作时间的增长率为，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这几周工作时间的增长率为，由题意可得：解得，（舍去）答：这个增长率为【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程．38．某商店购进60个盲盒，进价为每个20元，第一天以每个30元的价格售出20个，为了尽快售完，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出2个．（1）若商家想第2天就将这批盲盒销售完，则销售价格应定为多少？（2）第3天，商店对剩余盲盒清仓处理，以每个18元的价格全部售出，如果这批盲盒共获利330元，问第二天每个盲盒的销售价格为多少元？【答案】（1）20元；（2）25元【分析】（1）设降价x元销售，根据第一天销售量+第二天销售量=60列一元一次方程，然后解方程即可；（2）设降价y元销售，根据第一天利润+第二天利润+清仓利润=330列方程，然后解方程即可．【详解】解：（1）设降价x元销售，根据题意，得：20+（20+2x）=60，解得：x=10，∴第二天销售价格为30﹣10=20（元），答：第二天销售价格应定为20元；（2）设单价降低y元销售，根据题意，得：（30﹣20）×20+（30﹣y﹣20）（20+2y）+[60﹣20﹣(20+2y)]×（18﹣20）=330，即：y2﹣2y﹣15=0，解得：y1=5，y2=﹣3（舍去），∴30﹣5=25（元），答：第二天每个盲盒的销售价格为25元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，理清题中数量关系，正确列出方程是解答的关键．39．将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？【答案】60元或80元【分析】设涨价元，则利润为每件（10+x）元，销售量为（500-10x）个，根据总利润=单件利润×数量计算即可．【详解】，设涨价元，根据题意，得利润为每件（10+x）元，销售量为（500-10x）个，∴，解得，，∴售价分别为，或元．故售价应该定为60元或80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—利润问题，熟练掌握利润的计算方法是解题的关键．40．成都市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，于2020年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，预计2022年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为多少？【答案】20%【分析】设这两年投入资金的平均增长率为x，根据题意列出方程计算即可；【详解】设这两年投入资金的平均增长率为x，由题意得：，解得：，（舍去）；答：这两年投入资金的年平均增长率为20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．41．某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲场（长方形）的宽为米．（1）饲养场的长为______米（用含的代数式表示）；（2）若饲养场的面积为m2，求该饲养场的长和宽．【答案】（1）；（2）饲养场的长为米，宽为米．【分析】（1）用总长减去后加上三个1米宽的门即为所求；

（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为，故答案为：；（2）由（1）饲养场面积为整理得：，解得，，当时，，不符合要求舍去当时，，符合要求，答：饲养场的长为米，宽为米．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．42．李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？解决问题：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长可以表示为，请你帮助李明完成后面的解答过程．【答案】（10-x）cm，这两个正方形的边长分别为3cm和7cm．【分析】直接利用正方形的边长都相等进而得出另外一个边长，再利用正方形面积求法得出方程求出答案．【详解】解：设其中的一个正方形边长为xcm，则另一个正方形边长为：（40-4x）÷4=（10-x）cm，∵这两个正方形的面积之和等于58cm2，∴x2+（10-x）2=58，解得：x1=3，x2=7，故这两个正方形的边长分别为3cm和7cm．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．能正确表示另一个正方形的边长是解题关键．43．某小区要对一块长20米，宽8米的长方形空地ABCD进行绿化工程改建．设计方案如图所示，阴影部分为两块形状大小完全相同的长方形绿地，它们的面积之和为56平方米，长方形ABCD内空白部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．

【答案】人行通道的宽为2米．【分析】利用矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，进而得出等式求出答案．【详解】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得，（20-3x）（8-2x）=56，解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽为2米．【点睛】本题主要考查了一元二次方的应用，正确得出等量关系是解题关键．44．为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆实验外国语学校决定向某医药生产厂家购买防疫物资，学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？（2）后来，学校决定就以112000元的总资金，按照（1）中消毒液的最大数量进行购买，但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了瓶，医用酒精多订购了原计划的，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低元，消毒液单价不变，最终学校比原计划只多花费了元就完成了订购，求的值．【答案】（1）3000瓶；（2）50．【分析】（1）设原计划购买消毒液瓶，从而可得原计划购买医用酒精瓶，再根据“学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元”建立不等式，解不等式即可得；（2）先分别求出消毒液和医用酒精的数量，再根据单价和总花费建立方程，解方程即可得．【详解】解：（1）设原计划购买消毒液瓶，则原计划购买医用酒精瓶，由题意得：，解得：，答：原计划最多购买消毒液3000瓶；（2）由题意得：订购消毒液的数量为瓶，订购医用酒精的数量为（瓶），医用酒精的单价为元，则，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），答：的值为50．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，依据题意正确列出不等式和方程是解题关键．45．某商店今年7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，假设该商店销售额平均每月的增长率相同，求这个增长率．【答案】50%【分析】设该店销售额平均每月的增长率为x，根据该店7月份及9月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该商店销售额平均每月的增长率为，由题意，得，解得，（不合题意，舍去）．∴增长率为50%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．46．如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝（用含x的代数式表示）；（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？【答案】（1）；（2）通道的宽度为2米【分析】（1）设通道的宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积-通道面积=新品种花卉面积，列出关于x的方程，求这个方程的解即可得出答案．【详解】（1）设通道的宽度为x米，则，解得，故答案为：；（2）根据题意，，解得：（不合题意，舍去）．答：通道的宽度为2米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．47．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是______元．（2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）．（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．【答案】（1）,；（2）；（3）【分析】（1）根据题意，当每个水杯的售价为45元时月销量就减少个，进而求得平均每月售出的水杯个数，根据销售量乘以利润即可求得月销售利润；（2）根据题意，列出代数式即可；（3）设每个水杯售价上涨x元，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可．【详解】解：（1）依题意，（个）；（元）；故答案为：,（2）依题意：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯，故答案为：；（3）设每个水杯售价上涨x元，根据题意，得整理得，即解得尽量减少库存答：每个水杯的售价为元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．48．某市计划今年年底实现垃圾分类，第一季度已经有60个社区实现垃圾分类，第三季度有135个社区实现垃圾分类．若该市每个季度实现垃圾分类的社区数量的增长率相同，求实现垃圾分类的社区数量每个季度的平均增长率．【答案】50%【分析】设增长率为x，则第二季度实现生活垃圾分类的社区到60（1+x）个，第三季度实现生活垃圾分类的社区到60（1+x）2个，由第三季度实现生活垃圾分类的社区数建立方程求出其解即可．【详解】解：设增长率为x，根据题意得，60（1+x）2=135，

解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去），故x＝0.5＝50%．

答：这个增长率为50%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，正确理解题意、列出一元二次方程是关键．49．如图，在长60米，宽40米的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少米？【答案】观赏路面宽是5米【分析】设路宽为米，则所剩下的观赏面积的宽为米，长为米，根据要使观赏路面积占总面积的列出方程求解即可．【详解】解：设路宽为米，根据题意可得：，解得：，（不合题意，舍去），答：观赏路面宽是5米．【点睛】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．50．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省2019年公共充电桩的数量约为4万个，2021年公共充电桩的数量多达11.56万个，位居全国首位．（1）求广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计广东省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？【答案】（1）；（2）预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个，理由见解析．【分析】（1）设2019年至2021年广东省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据广东省2019年及2021年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据广东省2022年公共充电桩数量=广东省2021年公共充电桩数量×（1+增长率），即可求出结论．【详解】解：（1）设广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为解得：，（不合题意，舍去）答：年平均增长率为．（2）该省2022年公共充电桩数量答：预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．51．如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当点运动到点停止时，点也随之停止运动，问，两点从出发经过几秒时，点，间的距离是?【答案】或秒【分析】作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【详解】解：过点P做PE⊥CD交CD于E．QE=DQ-AP=16-5t，在Rt△PQE中，PE2+QE2=PQ2，可得：（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P、Q两点从出发开始1.6s或4.8s时，点P和点Q的距离是10cm．【点睛】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．52．如图所示，某小区规划在一个长40m、宽30m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块种花草的区域面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少米？【答案】米．【分析】设通道的宽应设计成米，根据通道的面积与种花草的区域面积之和等于长方形场地的面积建立方程，解方程即可得．【详解】解：设通道的宽应设计成米，由题意得：，整理得：，解得（不符题意，舍去），答：通道的宽应设计成米．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键．53．某超市连续四次销售某种饮料，已知第一次销售256箱，第二次、第三次的销售量持续增加，第三次的销量达到400箱．（1）求第二次、第三次这两次销量的平均增长率；（2）已知该种饮料的进价为每箱25元，第三次的销售价为每箱40元，第四次销售时，若该种饮料每箱每降价1元，销售量就会增加5箱，问当该种饮料每箱降价多少元时，此超市第四次销售该种饮料获利4250元？【答案】（1）第二次、第三次这两次销量的平均增长率为25%；（2）当该种饮料每箱降价5元时，此超市第四次销售该种饮料获利4250元【分析】（1）设第二次、第三次这两次销量的平均增长率为x，列方程计算即可；（2）设该种饮料每箱降价a元时，会获得利润4250，列出一元二次方程计算即可；【详解】（1）设第二次、第三次这两次销量的平均增长率为x，则，∴，（舍去）；∴第二次、第三次这两次销量的平均增长率为25%．（2）设该种饮料每箱降价a元时，∵该种饮料每箱每降价1元，销售量就会增加5箱，∴，解得：，（舍去），∴当该种饮料每箱降价5元时，此超市第四次销售该种饮料获利4250元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．54．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，月销售量为kg．（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？【答案】（1）440；（2）80元【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量＝500−（销售单价−50）×．由此可得出售价为56元/千克时的月销售量；（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．【详解】解：（1）当销售单价定为每千克56时，月销售量为：500−（56−50）×10＝440（千克），（2）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则（x−40）[500−10（x−50）]＝8000，解得：＝80，＝60．当＝80时，进货500−10（80−50）＝200kg＜250kg，符合题意，当＝60时，进货500−10（60−50）＝400kg＞250kg，舍去．答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．55．如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？【答案】隔离区的长为4米和宽2.5米【分析】设隔离区边米，得到边米，根据面积列出，求出x故可求解．【详解】设隔离区边米，则边米根据题意得方程解得：，经检验：符合实际意义，米不符合实际意义，舍去答：隔离区的长为4米和宽2.5米．【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．56．某商店经销一批季节性小家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加（或减少）元，销售量将减少（或增加）10台．（1）如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售的件数是多少？（2）商店销售该家电获利2000元，那么每台家电应定价多少元？（3）商店能否获利2400元，如果能那么每台家电应定价多少元？如果不能，请说明理由．【答案】（1）160台；（2）50元或60元；（3）不能，理由见详解．【分析】（1）根据定价每增加元，销售量将减少10台即可列式求解；（2）设每台定价增加x元，根据题意列出方程，求解，根据题意表示出家电定价，问题得解；（3）设每台定价增加x元，根据题意列出方程，解方程得此方程无实数根，即可确定商店不能获利2400元．【详解】解：（1）180-2×10=160（台），答：如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售的件数是160台；（2）设每台定价增加x元，由题意得，整理得，解得，当x=-2时，家电定价为52+x=50元，当x=8时，家电定价为52+x=60元，答：商店销售该家电获利2000元，那么每台家电应定价为50元或60元；（3）设每台定价增加x元，由题意得，整理得，a=1，b=-6，c=24，∴此方程无实数根，答：商店获利不能达到2400元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-营销问题，理解题意，明确数量关系“单件利润×件数=总利润”，用含x的式子表示出单件商品的利润和销售数量是解题关键．57．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为件．（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？【答案】（1）100；（2）y＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【分析】（1）根据“实际销量＝原销售量+10×(销售单价－原计划销售单价)”列式计算即可；（2）根据以上等量关系求函数关系式即可；（3）根据“每月销售利润＝实际销售量×（实际售价﹣每件成本）”列出方程，再进一步求解即可．【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件），故答案为：100；（2）依题意得：，∴y与x的函数关系式为y=－5x+550；（3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，解得：x1=70，x2=90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数表达式，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．58．在西安市争创全国教育强市的宏伟目标指引下，高新一中初中新校区在今年如期建成．在校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．【答案】广场中间小路的宽为1米．【分析】设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝2，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．59．列方程解应用题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【答案】（1）1008元；（2）20元【分析】（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：(件)，再利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润，直接求解即可；（2）设每件衬衫应降价元，则每天就可多售出的件数是，利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程，然后解答即可．【详解】解：（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：(件)，则，商场平均每天可盈利：(元)；（2）设每件衬衫应降价元，则每天就可多售出的件数是，依题意得，解得，，因为尽快减少库存，所以取答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元，商场平均每天要想盈利1200元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，能根据平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润计算，是解题关键．60．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件，同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元，设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？【答案】（1）；（2）55元【分析】（1）进而设销售单价为x元，平均月销售量为y件，根据题意先求得的取值范围，根据题意列出y与x的函数关系式；（2）根据题意列出方程，解一元二次方程，进而求得答案，注意的取值范围．【详解】（1）∵单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元，设销售单价为x元，，平均月销售量为y件，则；（2）根据题意得即解得答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和方程是解题的关键．61．某农户建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19米，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成；篱笆总长34米，长方形养鸡场除门外四周不留空隙．（1）若要围成的鸡场面积为160平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成养鸡场的面积能否达到180平方米？请说明理由．【答案】（1）长为16米，宽为10米；（2）不能，见解析【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2-2x）米，根据养鸡场的面积为160平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合墙长19米，即可确定养鸡场的长和宽；（2）不能，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34+2-2y）米，根据养鸡场的面积为180平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-36＜0，即可得出该方程无实数根，即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．【详解】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2-2x）米，依题意得：x（34+2-2x）=160，整理得：x2-18x+80=0，解得：x1=8，x2=10．当x=8时，34+2-2x=34+2-2×8=20＞19，不合题意，舍去；当x=10时，34+2-2x=34+2-2×10=16＜19，符合题意．答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34+2-2y）米，依题意得：y（34+2-2y）=180，整理得：y2-18y+90=0．∵△=（-18）2-4×1×90=-36＜0，∴该方程无实数根，即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．62．某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？【答案】每件商品的售价定为16元最为合适．【分析】设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件，利用每天销售这种商品的利润=每件的销售利润×日销售量（日进货量），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润”，即可得出每件商品的售价定为16元最为合适．．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件，依题意得：（x-8）（400-20x）=640，整理得：x2-28x+192=0，解得：x1=12，x2=16．又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，∴x=16．答：每件商品的售价定为16元最为合适．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．63．某企业2019年初投资100万元生产适销对路的产品，2019年底，将获得的利润与年初的投资和作为2020年初的投资．到2020年底，两年共获得56万元，已知2020年的年获利率比2019年的年获利率多10个百分点，求2019和2020年的年获利率各是多少？【答案】2019年获利率是20%，2020年获利率是30%【分析】设2019年获利率是x，则2020年获利率是（x＋0.1），然后根据两年一共获得56万元，列出方程进行求解即可【详解】解：设2019年获利率是x，由题意得：100x＋100（1＋x）（x＋0.1）＝56，∴100x＋100x2＋110x＋10－56＝0∴100x2＋210x－46＝0∴（20x＋46）（5x－1）＝0∴x1＝－2.3，（舍）x2＝0.2，∴0.2＋0.1＝0.3，答：2019年获利率是20%，2020年获利率是30%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程进行求解．64．某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件．设该商品的售价为x元．（1）每件商品的利润为

元．若超过50元，但不超过80元，每月售

件．若超过80元，每月售

件．（用x的式子填空．）（2）若超过50元但是不超过80元，售价为多少时利润可达到7200元？（3）若超过80元，售价为多少时利润为7500元？【答案】（1）（x-40），（260-x），（420-3x）；（2）80；（3）90【分析】（1）根据利润=售价-进价求每件商品的利润，根据销售量210减去减少的件数得到销售量列式；（2）根据总利润=单件的利润乘以销售数量列方程解答；（3）根据总利润=单件的利润乘以销售数量列方程解答．【详解】解：（1）设该商品的售价为x元．则每件商品的利润为（x-40）元，若超过50元，但不超过80元，每月售210-（x-50）=（260-x）件，若超过80元但少于140元时，每月售210-（80-50）-3（x-80）=（420-3x）件，故答案为：（x-40），（260-x），（420-3x）；（2）由题意得（x-40）（260-x）=7200，解得x=80或x