专题04 三角形（13个考点）【考点串讲+热点题型专训】-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版） 带解析

专题04三角形一．三角形的有关概念及表示1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，三角形用符号“”表示，读作“三角形”．2．三角形的基本要素：组成三角形的三条线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边的夹角叫做三角形的内角．二．三角形内角和三角形内角和：三角形三个内角的和等于．注意：①三角形的三个角中至少有两个是锐角，三角形中最大的角不小于．②直角三角形的两个锐角互余．③已知任意两角或它们的和，利用三角形的内角和，可以计算另一个角的度数．三．三角形的分类1．2．四．直角三角形的有关概念及性质1．表示：通常我们用“”表示“直角三角形”．直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边．2．性质：直角三角形的两个锐角互余．用几何语音表示：在中，，则．注意：直角三角形的斜边大于任何一条直角边，依据是“垂线段最短”．五．三角形的三边关系1．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．用几何语音表示：如果的三边长分别为a，b，c，则①，，．②，，．注意：①得出三角形两边之和大于第三边的依据是：两点之间，线段最短．②这里的“两边”泛指三角形的任意两边．③三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据，一般用“任意两边之和大于第三边”来验证，同时也可用于说明线段的不等关系和取值范围．六．三角形的中线1．定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．2．中线可以将一个三角形分成两个面积相等的三角形．注意：①三角形的中线是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上．②中线平分一条边．③三角形有三条中线，无论三角形的形状如何，三条中线的交点都在三角形的内部．七．三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线．三角形的三条角平分线交于一点．注意：①三角形的角平分线是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上．它不同于角的平分线，角的平分线是一条射线．②三角形有三条角平分线，无论三角形的形状如何，三条角平分线的交点都在三角形的内部．八．三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）三角形的三条高所在的直线交于一点．注意：①锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点；直角三角形的三条高线交于直角顶点；钝角三角形的三条高线交于三角形外部一点．②三角形的高是垂线段，高垂直于一条边所在的直线．九．全等图形的概念及性质1．概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形．注意：①全等图形与图形的位置无关，唯一标准就是可以完全重合．②图形经过旋转、翻折后与原图形重合．2．性质：全等图形的形状和大小都相同．推论：全等图形的周长相等，全等图形的面积相等．十．全等三角形的概念及表示方法1．概念：能够完全重合的两个三角形是全等三角形．2．表示方法：全等用符号“”来表示．注意：在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应位置上．十一．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等．推论：全等三角形的周长相等，全等三角形的面积相等．十二．探索三角形全等的条件1．边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．2．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．3．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．4．边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．注意：应用时，必须满足相等的角是分别对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”，切不可出现“边边角”的错误．十三．三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．【专题过关】一．三角形的有关概念及分类（共3小题）1．观察下列图形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．根据三角形的定义判断即可．【详解】解：A选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，故A不是三角形；B满足三角形的定义，故B是三角形；C有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形，故C不是三角形；D有1条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，故D不是三角形．故选：B．【点睛】本题考查三角形，理解三角形的定义是解题的关键．2．如图所示的图形中，三角形共有（）A．5个B．6个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据三角形的概念数出个数解答即可．【详解】解：三角形的个数有，，，，，共5个，故选：A．【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．3．有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】①根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形；②举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形；④三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．【详解】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．故选：C．【点睛】本题考查三角形，熟练掌握三角形的定义及分类是解题的关键．二．三角形内角和的应用（共2题）4．在中，若，则是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【分析】在中，若，即，，则是直角三角形．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和是．5．中，，则是三角形．【答案】【分析】根据三角形内角和为180度，结合已知条件求出，，的度数即可得到答案．【详解】解：∵，∴可设，，，∵，∴，∴，∴，，，∴是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理是解题的关键．三．三角形的三边关系（共3题）6．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm【答案】B【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：根据三角形的三边关系，得：A、，不能构成三角形；B、，能构成三角形；C、，不能构成三角形；D、，不能构成三角形．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．7．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（）A．3B．5C．7D．8【答案】D【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．【详解】解：∵，，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．8．若三角形两条边的长分别是10，15，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是．【答案】24【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【详解】解：∵第三边，即：第三边；所以最大整数是24，故答案为：24．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．四．三角形三线相关概念及运用（共7题）9．下列各图中，作边边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形的高度概念判断即可．【详解】解；A、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；B、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；C、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；D、图中是边边上的高，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．10．下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（）A．①B．①④C．②③D．②④【答案】A【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，本小题说法正确；②三角形的三条角平分线、三条中线在三角形内部，但三条高不一定都在三角形内部，故本小题说法错误；③直角三角形有三条高，故本小题说法错误；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点，故本小题说法错误；故选：A．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．11．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到，，．进而判断即可．【详解】解：∵，，分别是的中线，角平分线，高，∴，，，故选项A、B、C正确，选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．掌握定义是解题的关键．12．如图，是的中线，已知的周长为30cm，比长4cm，则的周长为．【答案】26cm【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵是的中线，∴，∵的周长为30cm，∴，∴，∵比长4cm，∴，∴，∴，∴的周长．故答案为：26cm．【点睛】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．13．如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，与垂直，交于点H，则下面结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高．其中正确的有．（填序号）【答案】③④【分析】本题是一道关于三角形的题目，回想三角形的中线、角平分线、高线的概念；由可知平分，但不是内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；接下来，根据三角形中线、高线、角平分线的概念试着分析②、③、④，相信你能解答此题了．【详解】解：对于①，由，可知平分，但不是内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误；对于②，经过的边的中点G，但不是内的线段，由三角形中线的概念，故②错误；对于③，由于于H，由三角形高线的概念可知是的边上的高，故③正确；对于④，由平分并且在内，故是的角平分线．又因为，所以也是的高，故④正确．其中正确的有③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查三角形的角平分线、高线、中线．关键是根据三角形的中线、角平分线、高线解答．14．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为cm2．【答案】1【分析】易得，为面积的一半，同理可得的面积等于面积的一半，那么阴影部分的面积等于的面积的一半．【详解】解：∵D为中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴，同理，∴，∵F为中点，∴．故答案为1．【点睛】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．15．已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于O，若，，求、的度数．【答案】；【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的性质可求出，而，然后利用进行计算即可．由三角形外角的性质求得，利用三角形内角和定理得到，所以对顶角相等：．【详解】解：①在中，∵，，∴．∵是的平分线，∴．∵是的高，∴，∴在中，，∴．②∵是的平分线，，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．五．全等图形的概念（共1题）16．下列选项中的图形与左图全等的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【详解】解：观察图形中间是正方形得出全等图形即可，原图与选项B全等．故选：B．【点睛】本题考查了全等图形的判定，能够完全重合的两个图形是全等形．六．全等三角形的性质运用（共2小题）17．如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以与的形状和大小完全相同，即．【详解】解：∵沿直角边所在直线向右平移到∴∴，所以只有选项A是错误的，故选：A．【点睛】本题涉及的是全等三角形的知识；解答本题的关键是应用平移的基本性质．18．如图，，则此图中相等的线段有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【分析】根据两个三角形全等，可以得到3对三角形的边相等，根据，又可以得到可得答案是4对．【详解】解：∵，∴，，，∵，即，∴，即有4对相等的线段．故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的对应边相等问题；做题时，结合已知，认真观察图形，得到是正确解答本题的关键．七．全等三角形的性质与判定的综合运用（共4小题）19．如图，点B、F、C，E在一条直线上，，，．求证：．【答案】见解析【分析】由“两直线平行，内错角相等”得，易证，根据全等三角形对应边相等即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，在与中，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，在四边形中，，，，垂足分别为E，F，且．求证：．【答案】见解析【分析】先证明，再由平行线的性质得，然后利用即可证明．【详解】证明：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键的明确全等三角形的判定方法．21．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，．求证：．【答案】见解析【分析】根据证明即可推出结论．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．如图，已知，点B，C分别在，上，，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】见解析【分析】（1）直接根据证明即可．（2）根据（1）得，然后证明即可．【详解】证明：（1）在和中，，∴．（2）由（1）知，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．八．三角形的稳定性的运用（共2小题）23．下列图形具有稳定性的是（填序号）．【答案】③【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，∴具有稳定性的是③，故答案为：③．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．24．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．九．全等三角形的构造方法（共7小题）25．如图，，，求证：．【答案】见解析【分析】连接，根据证明与全等，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】证明：连接，在与中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的灵活应用，根据证明与全等是解答本题的关键．26．如图，中，，E是的中点，求证：．【答案】见解析【分析】延长到F，使，连结，证明，然后证明即可解决问题．【详解】证明：延长到F，使，连结，∵E是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．27．在中，，D是边上一点，点E在的右侧，线段，且．（1）如图1，若，连接，．则的度数为；与的数量关系是．（2）如图2，若，连接、．试判断的形状，并说明理由．【答案】见解析【分析】（1）根据已知条件证明是等边三角形，然后证明，即可解决问题；（2）根据已知条件证明，是等腰直角三角形，然后证明，可得，进而可以解决问题．【详解】解：（1）当时，∵，，∴是等边三角形，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，故答案为：，；（2）是直角三角形，理由如下：当时，∴，是等腰直角三角形，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明．28．（1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，，E，F分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：．【答案】见解析【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（2）如图2，同理可得：；（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：．【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接．∵在与中，，∴．∴，，∴．∴．又，易证．∴．∵，∴．（2）（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到G，使，连接．∵，，∴，∵在与中，，∴．∴，，∴．∴．又，易证．∴．∵，∴．（3）如图2，（2）结论成立，如图3，有或．证明：在上截取，使，连接．∵，，∴．在与中，，∴．∴，，∴．∴．又，易证．∴．∵，∴．同理可得：∴∵，∴．故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或．【点睛】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题运用了类比的方法依次解决问题．29．如图1，中，是的平分线，若，那么与有怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：与的数量关系，用等式表示为：．（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2，延长到F，使，连接．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到与的数量关系．想法2：在上取一点E，使，连接，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到与的数量关系．请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中与的数量关系（一种方法即可）．【答案】见解析【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1），故答案为：，（2）如图2，延长到F，使，连接．∵是的平分线，∴，∵，且，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．30．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：；（2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；（3）如图3，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为15，求与的面积之和．【答案】见解析【分析】图①，求出，，根据证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可；图③求出的面积，根据得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案．【详解】解：（1）如图①，∵，，，∴，∴，，∴，在和中，，∴；（2）∵，，，，∴，，在和中，，∴；（3）∵的面积为15，，∴的面积是：，由（2）中证出，∴与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处．31．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．【答案】见解析【分析】（1）由条件可证明，可得，，可得；（2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论；（3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点．【详解】解：（1）如图1，∵直线l，直线l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）．如图2，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴∴，，∴；（3）如图3，过E作于M，的延长线于N．∴，由（1）和（2）的结论可知，∴．在和中，，∴，∴，∴I是的中点．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．十．三角形全等的实际应用（共5小题）32．如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带到玻璃店（）A．①B．②C．③D．①、②、③其中任一块【答案】C【分析】