新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何测评（二）新人教B版选择性

第一章测评(二)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若平面α⊥平面β,且平面α的一个法向量为n=-2,1,1A.1,12C.(1,2,0) D.12.已知a=(1,k,2),b=(2k,2,4),若a∥b,则实数k的值为()A.2 B.2 C.1 D.13.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,P是线段D1B上一点,且BP=2D1P,若AP=xAB+yAD+zAA1,则x+y+z=(A.53 B.23 C.434.已知直线l1的一个方向向量为a=(1,2,2),直线l2的一个方向向量为b=(1,2,0),则两直线所成角的余弦值为()A.53 B.255 C.55.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°6.[2023山西高二阶段练习]有以下命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;③若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B四点共面;④若P,M,A,B四点共面,则MP=xMA+yMB;⑤若存在λ,μ∈R,使λa+μb=0,则λ=μ=0;⑥若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R).其中真命题是()A.①② B.①③ C.②③④ D.③④⑥7.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,若AB=2,AA1=2,当鳖臑A1ABC体积最大时,直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为()A.31010 B.1010 C.18.已知向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),{i,j,k}是空间中的一组单位正交基底.规定向量积的行列式计算:a×b=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k=ijkaxayazbxbybz=ayazA.(4,8,1) B.(1,4,8)C.(2,8,1) D.(1,4,8)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图,已知三棱锥OABC,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且PF=2EP,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是()A.OF=12bB.EP=16a+16b+C.FP=13a+13b+D.OP=13a+1610.在下列条件中,不能使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=2OAB.OMC.MA+MBD.OM+OA11.[2023湖南祁东高二阶段练习]如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是()A.(AA1B.AC1·(AB-C.向量B1D.BD1与AC所成角的余弦值为612.[2023安徽六安高一期末]如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱B1C1,BB1的中点,G为面对角线A1D上的一个动点,则()A.三棱锥B1EFG的体积为定值B.线段A1D上存在点G,使A1C⊥平面EFGC.线段A1D上存在点G,使平面EFG∥平面ACD1D.设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ,则sinθ的最大值为2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知空间中两点A=(2,2,0),B=(3,y,1),向量a=(3,1,3),a∥AB,则|a|=,y=.

14.在三棱锥DABC中,已知AB=AD=2,BC=1,AC·BD=3,则CD=15.如图,在三棱锥PABC中,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于点E,M是AC的中点,PB=1,则EP·EM的最小值为16.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AA1=AB=AD,E为A1D1的中点.给出下列四个说法:①∠BCC1为异面直线AD与CC1所成的角;②三棱锥A1ABD是正三棱锥;③CE⊥平面BB1D1D;④CE=12AD-AB+四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=π3(1)求B1D的长;(2)求CD118.(12分)已知a=(2,3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m).(1)若a+2b3c=(6,3,1),求实数m的值;(2)若m=2,求a·(b+c)的值.19.(12分)如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,AC的中点为D,且A1D⊥平面ABC,A1D=3.(1)求证:A1B⊥AC1;(2)在线段CC1上找一点M,使得直线A1B与平面MA1B1所成角的正弦值为31520.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:平面MND⊥平面PCD;(2)求点P到平面MND的距离.21.(12分)如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的余弦值.22.(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,点F是线段AD上的一个动点,且DF=λDA(0≤λ≤1).如图,将△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.(1)当λ=12时,求证:EF⊥BG(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由

第一章测评(二)1.C因为平面α⊥平面β,所以平面α的法向量与平面β的法向量互相垂直.设平面β的法向量为m=(x,y,z),则有n·m=2x+y+12z=0,即4x2yz=0对于A,4×12×12-对于B,4×22×(1)0≠0,故B不成立;对于C,4×12×20=0,故C成立;对于D,4×122×12≠0,故D不成立2.C根据题意,a∥b,设a=tb(t∈R),即(1,k,2)=t(2k,2,4)=(2kt,2t,4t),则有1=2kt,k=23.A∵BP=2D1P,∴BP=2PD即AP-AB=2(AD1-AP)即3AP=AB+2即AP=所以x=13,y=23,z=23,所以4.D直线l1的一个方向向量为a=(1,2,2),直线l2的一个方向向量为b=(1,2,0),则两直线所成角的余弦值为|cos<a,b>|=|a5.D平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(3,1,3),∴cos<n1,n2>=1×(-3∴平面α与β所成的角等于90°.6.B①正确,由平面向量基本定理可得,若p=xa+yb,则p与a,b共面;②不正确,若a,b均为零向量,p为非零向量,则后式不成立;③正确,由平面向量基本定理得;④不正确,若MA,MB均为零向量,⑤不正确,若a,b为相反向量,则a+b=0,λ=μ=1;⑥不正确,若a,b不共线,当p与a,b所在的平面垂直时,则后式不成立.故选B.7.A在堑堵ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,AB=2,AA1=2,当鳖臑A1ABC体积最大时,AC=BC=1.以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,则B1(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),则B1C=(0,1,2),BA=(1,1,0),BB设平面ABB1A1的法向量n=(x,y,z),则n取x=1,得n=(1,1,0).设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ(0°≤θ≤90°),则sinθ=|B所以cosθ=310所以直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为310故选A.8.C由题意得,AB×AC=(1×24×1)i+(4×32×2)j+(2×11×3)k=2i+8jk=9.ABD∵E,F分别是OA,BC的中点,∴OF=12(OB+OC)EF=OF-OE=12∵PF=2EP,∴EP=13EF,FP=23即EP=13EF=1312bFP=23EF=2312bOP=OE+EP=12a16a+16b+16c=10.ABDM与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1,对于A选项,由于211=0≠1,所以不能得出M,A,B,C共面,对于B选项,由于15+13+12≠1,所以不能得出M,A,B,C共面,对于C选项,由于MA=MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M,A,B,C共面,对于D选项,由OM+OA+OB+OC=0得11.AB以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则AA1·AB=AA1·(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA而2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2AB·AD)=21+1AC1·(AB-AD)=(AA1+AB+向量B1C=A1D,显然△AA1D所以向量A1D与又BD1=AD+AA1-AB,BD1·AC=(AD+AA所以cos<BD1,AC故选AB.12.ABD易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以G到平面BCC1B1的距离为定值.又S△B1EF为定值,所以三棱锥GB1EF即三棱锥对于B,如图所示,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),C1(0,2,2),E(1,2,2),F(2,2,1),所以A1C=(2,2,2),AC=(2,2,0),AD1=(2,0,2),设DG=λDA1(0≤λ≤1),则G(2λ,0,2所以EG=(2λ1,2,2λ2),FG=(2λ2,2,2λ1),A1C⊥平面EFG⇔A即-解得λ=14当G为线段A1D上靠近D的四等分点时,A1C⊥平面EFG,故B正确;对于C,设平面ACD1的法向量n1=(x1,y1,z1),则n取x1=1,得n1=(1,1,1).设平面EFG的法向量n2=(x2,y2,z2),则n取x2=1,得n2=1,4λ-32,1,平面ACD1∥平面EFG⇔n1∥n设n1=kn2,即(1,1,1)=k1,4λ-32解得k=1,λ=54,因为0≤λ所以线段B1C上不存在点G,使平面EFG∥平面BDC1,故C错误;对于D,平面ADD1A1的法向量为n=(0,1,0),则sinθ=|FG因为8λ212λ+9=8(λ所以sinθ=28所以sinθ的最大值为223,故D正确.13.1953因为则|a|=32因为A=(2,2,0),B=(3,y,1),所以AB=(1,y2,1).又a∥AB,则有AB=λa(λ∈R),即(1,y2,1)=λ(3,1,3),所以1=3λ,14.7设∠BAC=α,∠DAC=β,显然|AC-AB|=|BC|=1,则AC2+AB22|AC|·|AB|cosα=1,即AC24|AC|cosα=3,而AC·BD=3,即AC·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB=3,于是得2|AC|cosβ2|AC|·cosαCD2=|AD-AC|2=AD2+AC22AD·AC=4+AC24|AC|cosβ=4+AC22(3+2|AC|cosα)=10+AC24|AC|15.18连接EC,如图,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC又因为AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB.因为M是AC的中点,所以EM=12(EA又AE⊥PB,所以EP·EM=EP·12EA+12(EB+BC)=12EP·EA+12EP·EB16.②④①∠BCC1=120°,而异面直线AD与CC1所成的角为60°,故①错误;②三棱锥A1ABD的每个面都为正三角形,故为正四面体,故②正确;④根据向量加法的三角形法则,CE=CB+BA+AA③∵BD=AD-AB,∴CE·BD=12AD-AB+AA1·(AD-AB)=12|AD|2+1217.解(1)由题可知,B1那么|B1D|2=(AD-AB-AA1)2=AD2+AB2+AA122AD·AB因此B1D的长为15.(2)由题知,CD则|CD1|=CD1·B1D=(AA1-AB)·(AD-AB-AA1)=AD·AA1-AD·AB+AB18.解(1)因为a=(2,3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m),所以a+2b3c=(6,3,73m)=(6,3,1),所以73m=1,解得m=2.(2)若m=2,则c=(0,0,2),b+c=(2,0,5),所以a·(b+c)=(2,3,1)·(2,0,5)=9.19.(1)证明作DE⊥AC交AB于点E,分别以DE,DC,DA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),∴A1B=(2,1,3),AC1=(0,3,3),A1B·AC1=0+33(2)解设CM=λCC1=(0,λ,3λ),A1B1=AB=(2,2,0),A1C=(0,1,3),A1设平面MA1B1的一个法向量为n=(x,y,z),有A∴2∴x∴n=1,1,λ+13λ∵A1B=(2,1,3),若直线A1B与平面MA1B1所成角的正弦值为则|cos<n,A1B>|=即2-解得λ=13∴当CM=13CC'时,直线A1B与平面MA1B1所成角的正弦值为320.(1)证明∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两互相垂直,如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),∴MN=(0,1,1),ND=(1,1,1),PD=(0,2,2).设m=(x,y,z)是平面MND的法向量,可得m即y取y=1,得x=2,z=1,∴m=(2,1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量,∵m·n=2×0+(1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.(2)解由(1)得m=(2,1,1)是平面MND的一个法向量.∵PD=(0,2,2),得PD·m=0×(2)+2×(1)+(2)×1=4,∴点P到平面MND的距离d=|m21.解(1)分别以AB,AC,AA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,如图.则由题意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,