《平面与平面垂直的性质定理》知识探究

高中数学精编资源13/13《平面与平面垂直的性质定理》知识探究探究点1二面角1.二面角与平面几何中的角的对比.二面角角图形定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形从平面内一定点出发的两条射线所组成的图形表示法由“半平面—棱—半平面”构成,表示为二面角由“射线—顶点—射线”构成,表示为∠AOB理解二面角是一个半平面以其棱为轴旋转而成的角是一条射线沿着顶点的旋转量2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”,即二面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.这些要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.学科素养:理解二面角的平面角的三个条件,掌握二面角平面角的作法,并能正确求解二面角,培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养.典例1-1[分析计算能力]从空间一点P向二面角的两个面,分别作垂线PE,PF,E,F为垂足.若,则该二面角的平面角的大小是()A.B.C.或D.不确定解析:本题为求二面角的平面角,解决本题的关键是分析P点的位置(分在二面角内和二面角外,体现了分类讨论的数学思想方法),再根据二面角的平面角的定义去求解计算,注意二面角平面角的取值范围为.若点P在二面角内,则二面角的平面角为;若点P在二面角外,则二面角的平面角为.答案:C典例1-2[推测解释能力](河北衡水中学月考)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定解析:本题考查二面角的平面角的定义,解决本题的关键之处在于推理判断两个二面角的位置关系,如图所示,设平面平面BCD,平面平面ABC,当平面HDGM绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.答案:D探究点2平面与平面垂直的性质定理1.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直图形语言符号语言简记若面面垂直,则线面垂直作用①证明线面垂直、线线垂直;②构造面的垂线【要点辨析】垂直于同一平面的两个平面不一定平行,如图(1)所示,,,但与相交;如图(2)所示,,,有.2.平面与平面垂直的其他性质和结论(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.(5)三个两两垂直的平面的交线两两垂直.学科素养:理解和掌握线面垂直的判定和性质是解决直线、平面位置关系的桥梁,提升了逻辑推理核心素养.典例2-1[概括理解能力](北京人大附中高一期末)三棱锥ABC中,侧面底面ABC,,VA=VB,AC=AB,则()A.B.C.D.解析:本题考查直线与平面垂直的判定定理和性质定理、平面与平面垂直的性质定理的综合应用,解决本题的关键是对线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系和相互转化的理解与掌握.因为,AC=AB,所以为等腰直角三角形,,,过点A作于D,连接VD,因为侧面底面ABC,所以侧面VBC,所以,易得,所以,因为D,所以平面VDA,又因为平面VDA,所以VA.答案:C典例2-2[推测解释能力]若平面平面,平面平面,则()A.B.C.与相交但不垂直D.以上都有可能解析:本题通过平面