2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：统计（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：统计（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•邵阳三模）为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]内，其频率分布直方图如图所示，则（）A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）（多选）2．（2024•莆田模拟）若正整数数据组x1，x2，…，x7的平均数和中位数均为3，且该组数据中有唯一的众数4，则（）A．该组数据的极差为2 B．该组数据的下四分位数是2 C．去掉一个最大数和一个最小数之后，剩余5个数的平均数变大 D．去掉一个最大数和一个最小数之后，剩余5个数的方差不变（多选）3．（2024•金安区校级模拟）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50∼350KW•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si（i＝1，2，…，6），则（）A．x的值为0.0044 B．这100户居民该月用电量的中位数为175 C．用电量落在区间[150，350）内的户数为75 D．这100户居民该月的平均用电量为i=1（多选）4．（2024•福清市校级模拟）下列说法中，正确的是（）A．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32 B．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），P（ξ＜4）＝0.84，则P（2＜ξ＜4）＝0.34 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ŷ=â+b̂x，若D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为4（多选）5．（2024•安徽二模）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，⋯，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为ŷ=-x+3，且x=4．剔除一个偏离直线较大的异常点（﹣5，﹣1）后，得到新的回归直线经过点（6A．相关变量x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点（5，﹣1） D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小（多选）6．（2024•南海区校级模拟）已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为s12，平均数x1；最大和最小两个数据的方差为s22，平均数x2；原样本数据的方差为SA．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变 B．x=C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数 D．S（多选）7．（2024•安徽模拟）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差为s2，平均数x＞A．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为9s2 B．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数大于0 C．数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2 D．数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x（多选）8．（2024•衡水一模）已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A．这10个数据中至少有8个数小于或等于31 B．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31 C．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31 D．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31（多选）9．（2024•安徽模拟）某实验室搜集了大量的A，B两种相似物种，记录其身长为x（单位：cm）与体重y（单位：kg）．得A，B两物种的平均身长分别为xA=5.2，x0=6，标准差分别为0.3，0.1．令A，B两物种的平均体重分别为yA，yB．若A，B两物种其体重y对身长x的回归直线方程分别为lA：ŷ=2x﹣0.6，lB：ŷ=1.5x+0.4，相关系数分别为0.6，0.3．现发现A．yAB．A物种的体重标准差大于B物种的体重标准差 C．点（5.6，8.6）到直线lA的距离小于其到直线lB的距离 D．点（5.6，8.6）与点(xA，（多选）10．（2024•三门峡一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是2

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：统计（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•邵阳三模）为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]内，其频率分布直方图如图所示，则（）A．图中a的值为0.025 B．样本中底部周长不小于110cm的树木有12株 C．估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为115 D．估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）【考点】画频率分布直方图．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AC【分析】根据频率分布直方图的性质，以及平均数和百分位数，以及频数与频率的计算方法，逐项判定，即可求解．【解答】解：对于A中，由频率分布直方图的性质，可得（0.015+a+0.030+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.025，故A正确；对于B中，不小于110cm的频数为（0.020+0.010）×10＝0.3，所以不小于110cm的树木有0.3×60＝18株，故B错误；对于C中，前三个矩形的面积为（0.015+0.025+0.030）×10＝0.7，前四个矩形的面积为（0.015+0.025+0.030+0.020）×10＝0.9，所以80%分位数位于区间[110，120），则110+0.0100.020×10=115对于D中，估计平均数为：（85×0.015+95×0.025+105×0.030+115×0.020+125×0.010）×10＝103.5，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了百分位数和平均数的定义，属于基础题．（多选）2．（2024•莆田模拟）若正整数数据组x1，x2，…，x7的平均数和中位数均为3，且该组数据中有唯一的众数4，则（）A．该组数据的极差为2 B．该组数据的下四分位数是2 C．去掉一个最大数和一个最小数之后，剩余5个数的平均数变大 D．去掉一个最大数和一个最小数之后，剩余5个数的方差不变【考点】百分位数；平均数；中位数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】易知该组数据为1，2，3，3，4，4，4，再根据极差、百分位数、平均数和方差的定义求解．【解答】解：易知该组数据为1，2，3，3，4，4，4，所以极差为4﹣1＝3，故A错误；因为7×25%＝1.75，所以该组数据的下四分位数是2，故B正确；去掉1和4后，平均数为2+3+3+4+45=所以去掉一个最大数和一个最小数之后，剩余5个数的平均数变大，故C正确；去掉1和4后，数据的离散程度变小，所以方差变小，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了平均数、中位数、极差和方差的定义，属于基础题．（多选）3．（2024•金安区校级模拟）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50∼350KW•h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si（i＝1，2，…，6），则（）A．x的值为0.0044 B．这100户居民该月用电量的中位数为175 C．用电量落在区间[150，350）内的户数为75 D．这100户居民该月的平均用电量为i=1【考点】频率分布直方图的应用．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AD【分析】根据频率分布直方图的性质可判断AC，根据中位数和平均数的定义可判断BD．【解答】解：对于A，由频率分布直方图的性质可知，（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，解得x＝0.0044，故A正确；对于B，因为（0.0024+0.0036）×50＝0.3＜0.5，（0.0024+0.0036+0.0060）×50＝0.6＞0.5，所以中位数落在区间[150，200）内，设其为m，则0.3+（m﹣150）×0.006＝0.5，解得m≈183，故B错误；对于C，用电量落在区间[150，350）内的户数为（0.0060+0.0044+0.0024+0.0012）×50×100＝70，故C错误；对于D，这100户居民该月的平均用电量为（50+25）s1+（50×2+25）s2+…+（50×6+25）s6=i=16(50i+25)s故选：AD．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．（多选）4．（2024•福清市校级模拟）下列说法中，正确的是（）A．数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32 B．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），P（ξ＜4）＝0.84，则P（2＜ξ＜4）＝0.34 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ŷ=â+b̂x，若D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为4【考点】经验回归方程与经验回归直线；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数；百分位数．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】求出样本的中位数判定A；利用正态分布的对称性求概率判定B；由线性回归方程恒过样本点的中心求解â判定C；利用方差公式求解判断D【解答】解：数据40，27，32，30，38，54，31，50按从小到大排列为：27，30，31，32，38，40，50，54，改组数据的第50百分位数即为中位数，等于32+382=35，故已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），P（ξ＜4）＝0.84，则P（2＜ξ＜4）=1-2×0.162=0.34已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ŷ=â+b̂则â=3-2×1=1，故若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为222×2＝8，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查统计及其有关概念，熟记公式是关键，是基础题．（多选）5．（2024•安徽二模）已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，⋯，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为ŷ=-x+3，且x=4．剔除一个偏离直线较大的异常点（﹣5，﹣1）后，得到新的回归直线经过点（6A．相关变量x，y具有正相关关系 B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点（5，﹣1） D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】利用回归直线方程的斜率判断A；根据样本相关系数的性质判断B；求出去除异常点后的回归直线方程，再分别计算判断CD．【解答】解：由回归直线方程的斜率为﹣1，知变量x，y具有负相关关系，A错误；剔除一个偏离直线较大的异常点（﹣5，﹣1）后，拟合程度变大，故样本相关系数的绝对值变大，B正确；回归直线方程为ŷ=-x+3，且x=4，则剔除一个偏离直线较大的异常点（﹣5，﹣1）后，得到新的x=4×10+59=5故剔除该异常点后的回归直线方程经过点（5，﹣1），C正确；新的回归直线经过点（6，﹣4），列方程组-1=b̂×5+â-4=故剔除该异常点后的回归直线方程为ŷ斜率由﹣1变成﹣3，所以剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误．故选：BC．【点评】本题考查回归方程的应用，属于中档题．（多选）6．（2024•南海区校级模拟）已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为s12，平均数x1；最大和最小两个数据的方差为s22，平均数x2；原样本数据的方差为SA．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变 B．x=C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数 D．S【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．【答案】ABD【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为x1，x2，x3...x10，再根据中位数、平均数、百分位数与方差的定义与公式推导即可．【解答】解：设10个样本数据从小到大排列分别为x1，x2，x3...x10，则剩下的8个样本数据为x2，x3...x9．对于选项A：原样本数据的中位数为x5+x62，剩下的8对于选项B，由题意x1=18(因为x1=x故110(x1+对于选项C，因为8×14=2，故剩下8个数据的下四分位数为12(x3+x4)，又10×14=2.5对于选项D，因为x=x1=x2，故故x22+故S2=1故选：ABD．【点评】本题考查的知识要点：频率分布直方图，中位数，均值和方差，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．（多选）7．（2024•安徽模拟）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5（x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0）的方差为s2，平均数x＞A．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为9s2 B．数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数大于0 C．数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2 D．数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AD【分析】根据平均数和方差的性质逐项判断各个选项即可．【解答】解：对于A，由方差的性质可知，数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的方差为32×s2＝9s2，故A正确；对于B，由平均数的性质可知，数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3x-2因为x＞0，所以3x-2的正负无法判断，故对于C，因为x1＜0，x2，x3，x4，x5＞0，所以x1是这组数据中最小的数，去掉x1后，数据显然更集中，所以数据x2，x3，x4，x5的方差小于s2，故C错误；对于D，数据x2，x3，x4，x5的平均数为x2因为x1＜0，x＞所以x-x所以x+即数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．（多选）8．（2024•衡水一模）已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A．这10个数据中至少有8个数小于或等于31 B．把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31 C．把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31 D．把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】AB【分析】由百分位数的概念可判断．【解答】解：因为这10个数据的第75百分位数是31，由10×0.75＝7.5，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A，B正确，C，D错误．故选：AB．【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．（多选）9．（2024•安徽模拟）某实验室搜集了大量的A，B两种相似物种，记录其身长为x（单位：cm）与体重y（单位：kg）．得A，B两物种的平均身长分别为xA=5.2，x0=6，标准差分别为0.3，0.1．令A，B两物种的平均体重分别为yA，yB．若A，B两物种其体重y对身长x的回归直线方程分别为lA：ŷ=2x﹣0.6，lB：ŷ=1.5x+0.4，相关系数分别为0.6，0.3．现发现A．yAB．A物种的体重标准差大于B物种的体重标准差 C．点（5.6，8.6）到直线lA的距离小于其到直线lB的距离 D．点（5.6，8.6）与点(xA，【考点】经验回归方程与经验回归直线；样本相关系数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BD【分析】根据平均数的概念，距离公式，针对各个问题分别求解即可．【解答】解：对A选项，将xA=5.2，xB=6分别代入方程lA：y＝2x﹣0.6，lB：y＝可得yA=9.8，yB=9.4，∴对B选项，∵A物种的体重标准差为0.3，B物种的体重标准差为0.1，∴A物种的体重标准差大于B物种的体重标准差，∴B选项正确；对C选项，∵点（5.6，8.6）到直线lA：ŷ=2x﹣|2×5.6-0.6-8.6|2点（5.6，8.6）到直线lB：ŷ=1.5x|1.5×5.6+0.4-8.6|(1.5∴点（5.6，8.6）到直线lA的距离大于其到直线lB的距离，∴C选项错误；对D选项，∵点（5.6，8.6）与点(x(5.6-点（5.6，8.6）与点(x(5.6-∴点（5.6，8.6）与点(xA，yA故选：BD．【点评】本题考查线性回归分析，属中档题．（多选）10．（2024•三门峡一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是2【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BD【分析】根据题意，对于A、C，利用平均数、方差和极差的定义分析判断；对于B、D，举例说明即可得到答案．【解答】解：设这5个数字为x1，x2，x3，x4，x5，对于A，若取到数字4，不妨设为x1＝4，则它们的平均数15(4+x2+x3+x4+x5)=2，可得可知这4个数中至少有2个1，不妨设为x2＝x3＝1，则这5个数字的方差s2=1对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为x1＝1，若极差是4，这最大数为5，不妨设为x2＝5，则这5个数字的平均数x=则x3+x4+x5＝4，可知这3个数有2个1，1个2，此时，这5个数字的方差s2不合题意，故C错误；对于B、D，例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故B、D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了平均数、方差和极差的定义与计算，考查了计算能力，属于基础题．

考点卡片1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe-（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12π（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πeA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)28=1答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=14φμ，σ（x）=142πe-x（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有x1+典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，19），问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．2．画频率分布直方图【知识点的认识】﹣画频率分布直方图．【解题方法点拨】﹣绘制：根据频率分布表的数据，绘制直方图，确保每个柱子代表一个组的频数或频率．﹣调整：根据数据范围和组距调整直方图的分组和刻度．【命题方向】﹣主要考察如何根据频率分布表绘制直方图及其解释．3．频率分布直方图的应用【知识点的认识】﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．【解题方法点拨】﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．【命题方向】﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．4．用样本估计总体的集中趋势参数【知识点的认识】1．众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即x=2．众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．5．平均数【知识点的认识】﹣平均数：数据集中所有值的算术平均，计算公式为x=【解题方法点拨】﹣计算：求出数据集中所有值的总和，再除以数据的个数．【命题方向】﹣主要考察平均数的计算和解释．6．中位数【知识点的认识】﹣中位数：数据集中将数据分为两部分的中间值，数据需按顺序排列．【解题方法点拨】﹣计算：对于奇数个数据，中位数为中间值；对于偶数个数据，中位数为中间两个值的平均．【命题方向】﹣考察中位数的计算和在数据分析中的应用．7．用样本估计总体的离散程度参数【知识点的认识】用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．【解题方法点拨】例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．解：极差是：102﹣98＝4；平均数x=15（98+100+101+102+99则方差是：S2=15[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝标准差S=2可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．【命题方向】这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，