统考版2024高考数学二轮复习板块2命题区间精讲精讲4统计与概率学案含解析理

PAGE16-统计与概率阅卷案例思维导图(2024·全国卷Ⅰ，T19,12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球竞赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；竞赛前抽签确定首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人接着竞赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，竞赛结束.经抽签，甲、乙首先竞赛，丙轮空．设每场竞赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).(1)求甲连胜四场的概率；(2)求须要进行第五场竞赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.本题考查：相互独立事务、互斥事务的概率等学问，逻辑推理、数学运算的核心素养.答题模板标准解答踩点得分第1步：辨型结合题干信息分析待求概率的模型.第2步：辨析辨析各事务间的关系.第3步：计算套用相应事务的概率公式计算求解.第(1)问干脆套用公式且结果正确得1分.第(2)问得分点及说明：1.每求对一种状况得1分，共3分.2.本问最终结果正确得2分.第(3)问得分点及说明：1.每求对一种状况得1分，共4分.2.本问最终结果正确得2分.命题点1用样本估计总体总体估计的方法(1)统计量法：①若数据已知，常借助eq\x\to(x)，s2等量对样本总体做出估计，其中eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2.②若数据未知，如以频率分布直方图形式给出，则应明确直方图中各统计量的求法．(2)图表分析法：若依据图表比较样本数据的大小，可依据数据分布状况直观分析，大致推断平均数的范围，并依据数据的波动状况比较方差(标准差)的大小．[高考题型全通关]1．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．经数据处理后得到该样本的频率分布直方图，其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．(1)求图中a，b，c的值；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(说明：①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确)；(3)依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定？切入点：依据eq\f(频数,样本容量)＝频率求解图中a，b，c的值；借助互斥事务的概率对(3)做出推断．[解](1)由频率分布直方图和茎叶图得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,100×0.1)＝a，,\f(10,100×0.1)＝b，,a＋b＋3＋4＋c＝\f(1,0.1)，))解得a＝0.5，b＝1，c＝1.5.(2)估计这种产品质量指标值的平均数为：eq\o(x,\s\up8(－))＝1.35×0.5×0.1＋1.45×1×0.1＋1.55×3×0.1＋1.65×4×0.1＋1.75×1.5×0.1＝1.6，估计这种产品质量指标值的方差为：s2＝(1.35－1.6)2×0.05＋(1.45－1.6)2×0.1＋(1.55－1.6)2×0.3＋(1.65－1.6)2×0.4＋(1.75－1.6)2×0.15＝0.0105.(3)∵质量指标值不低于1.50的产品占比为：0.30＋0.40＋0.15＝0.85＜0.9，∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90%”的规定．2．某音乐院校实行“校内之星”评比活动，评委由本校全体学生组成，对A，B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：(1)通过茎叶图比较A，B两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出详细值，得出结论即可)；(2)校方将会依据评分结果对参赛选手进行三向分流：所得分数低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局复赛待选干脆晋级记事务C“A获得的分流等级高于B”，依据所给数据，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率，求事务C发生的概率．[解](1)通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散．(2)记CA1表示事务：“A选手干脆晋级”；CA2表示事务：“A选手复赛待选”；CB1表示事务：“B选手复赛待选”；CB2表示事务：“B选手淘汰出局．则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CA1与CA2互斥，则C＝eq(\a\vs4\al\co1(CA1CB1))∪eq(\a\vs4\al\co1(CA1CB2))∪eq(\a\vs4\al\co1(CA2CB2))，Peq(\a\vs4\al\co1(C))＝Peq(\a\vs4\al\co1(CA1CB1))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA1CB2))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA2CB2))＝Peq(\a\vs4\al\co1(CA1))Peq(\a\vs4\al\co1(CB1))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA1))Peq(\a\vs4\al\co1(CB2))＋Peq(\a\vs4\al\co1(CA2))Peq(\a\vs4\al\co1(CB2))由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为eq\f(8,20)，eq\f(11,20)，eq\f(10,20)，eq\f(3,20).故Peq(\a\vs4\al\co1(CA1))＝eq\f(8,20)，Peq(\a\vs4\al\co1(CA2))＝eq\f(11,20)，Peq(\a\vs4\al\co1(CB1))＝eq\f(10,20)，Peq(\a\vs4\al\co1(CB2))＝eq\f(3,20)，所以Peq(\a\vs4\al\co1(C))＝eq\f(8,20)×eq\f(10,20)＋eq\f(8,20)×eq\f(3,20)＋eq\f(11,20)×eq\f(3,20)＝eq\f(137,400).命题点2回来分析进行回来分析的一般思路(1)定关系：依据样本数据散点图或相关系数r，确定两个变量是否具有较强的相关关系．(2)算各值：分别计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi的值．(3)求系数：求出回来系数eq\o(b,\s\up8(^))，eq\o(a,\s\up8(^)).其中eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).(4)写方程：eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^)).(5)作预料：依据回来方程给出预料值．提示：非线性回来分析可借助代数变换转化为线性回来分析．[高考题型全通关]1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费x(单位：千元)对年销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，对近13年的年宣扬费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，13)数据作了初步处理，得到如下图所示的散点图及一些统计量的值．由散点图知，按y＝a＋beq\r(x)，y＝c＋eq\f(d,x)建立y关于x的回来方程是合理的．令s＝eq\r(x)，t＝eq\f(1,x)，经计算得如下数据：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(s)eq\x\to(t)10.15109.943.040.16eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))siyi－13eq\o(\x\to(s))eq\o(\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))tiyi－13eq\o(\x\to(t))eq\o(\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))seq\o\al(2,i)－13eq\x\to(s)2eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))teq\o\al(2,i)－13eq\x\to(t)2eq\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－13eq\x\to(y)213.94－2.1011.670.2121.22且(si，yi)与(ti，yi)(i＝1,2，…，13)的相关系数分别为r1＝0.886与r2＝－0.995.(1)从以上模型中选择更优的回来方程，并用相关系数加以说明；(2)依据(1)的选择结果及表中数据，建立y关于x的回来方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝10y－x.依据(2)的结果回答下列问题：①年宣扬费x＝20时，年利润的预报值是多少？②年宣扬费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(ui，vi)(i＝1,2，…，n)，其回来直线v＝eq\o(α,\s\up8(^))＋eq\o(β,\s\up8(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))uivi－n\o(\x\to(u))\o(\x\to(v)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))u\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up8(^))eq\x\to(u).[解](1)由于|r1|＜|r2|＜1，故y＝c＋eq\f(d,x)更优．(2)eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))tiyi－13\o(\x\to(t))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(13),\s\do8(i＝1))t\o\al(2,i)－13\x\to(t)2)＝eq\f(－2.10,0.21)＝－10，eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up8(^))eq\x\to(t)＝109.94＋10×0.16＝111.54.则y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝111.54－eq\f(10,x).(3)由题意，年利润z＝10y－x＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)＋x))，①当x＝20时，年利润的预报值是eq\o(z,\s\up8(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,20)＋20))＝1090.4.②由基本不等式得，年利润的预报值eq\o(z,\s\up8(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)＋x))，由于x＋eq\f(100,x)≥20，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时等号成立，此时eq\o(z,\s\up8(^))max＝1115.4－20＝1095.4.[点评]处理本题(2)应抓住两点：一是会借助题设信息实现非线性回来方程与线性回来方程的转换．二是会利用已知数据进行代数运算，只要这两点到位第(2)问的求解便顺理成章．复习备考要强化这种意识，对于第(3)问，体现了函数的应用及最值的求法．实现了学问的横向联系．2．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入安排，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回来方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)依据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差肯定值大于2的数据被认为是异样数据，须要剔除．①剔除异样数据后，求出(1)中所选模型的回来方程；②广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回来直线eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为：eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x).[解](1)应当选择模型①，因为模型①的残差点比较匀称地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回来方程的预报精度高．(2)①剔除异样数据，即3月份的数据后，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y关于x的回来方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝3x＋8.04.②把x＝18代入①中所求回来方程得eq\o(y,\s\up8(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故预报值为62.04万元．命题点3独立性检验解决统计案例问题关键是过好三关：(1)假设关，即假设两个分类变量无关．(2)应用公式关，把相关数据代入独立性检验公式求出K2的观测值k.(3)对比关，将k与临界值进行对比，进而作出推断．[高考题型全通关]1．某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成果的茎叶图如图所示．该产品的质量评价标准规定：鉴定成果在[90,100)内的产品，质量等级为优秀；鉴定成果在[80,90)内的产品，质量等级为良好；鉴定成果在[60,80)内的产品，质量等级为合格．将频率视为概率．(1)完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为推断依据，推断能不能在误差不超过0.05的状况下，认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关；A机器生产的产品B机器生产的产品总计良好以上(含良好)合格总计(2)已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件，质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂确定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则保留原来的两台机器，你认为该工厂会怎么做？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.250.150.100.050.010k1.3232.0722.7063.8416.635[解](1)完成2×2列联表如下．A机器生产的产品B机器生产的产品总计良好以上(含良好)61218合格14822总计202040结合列联表中的数据，可得K2的观测值k＝eq\f(40×6×8－12×142,20×20×18×22)＝eq\f(40,11)≈3.636<3.841.故在误差不超过0.05的状况下，不能认为产品等级是否达到良好以上(含良好)与生产产品的机器有关．(2)由题意得，A机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(万元)，B机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(万元)，因为53－47＝6(万元)，6>5，所以该工厂应当会卖掉A机器，同时购买一台B机器．[点评]破解直方图、茎叶图、独立性检验相交汇的开放性问题的关键是会利用直方图、茎叶图得到相关的数据，充分利用2×2列联表精确地计算出K2的观测值k，并将K2的观测值k与临界值进行比较，进而作出统计推断．对于开放性问题要会转化，如本题第(2)小题，把所求问题转化为比较两台机器每生产10万件产品所获利润的大小，即可得出结论．2．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的挚友圈内销售商品的人(被称为微商)．为了调查每天微信用户运用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性运用微信的时间分成5组：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)依据女性频率分布直方图估计女性运用微信的平均时间；(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你依据已知条件完成2×2列联表，并推断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？微信控非微信控总计男性50女性50总计100参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，参考数据：P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)女性平均运用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小时)．(2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.由题设条件得列联表微信控非微信控总计男性381250女性302050总计6832100∴K2的观测值k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×38×20－30×122,50×50×68×32)≈2.941＞2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”．命题点4随机变量的分布列、期望与方差随机变量的分布列、期望、方差的求法(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的详细事务，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．(2)假如随机变量X能够断定听从超几何分布或二项分布，则其概率可干脆利用公式求解．①若随机变量X听从超几何分布H(N，M，n)，则p(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2,3，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，且E(X)＝eq\f(nM,N).②若随机变量X听从二项分布B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，且E(X)＝np，D(x)＝np(1－p)．[高考题型全通关]1．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为eq\f(2,3)，假定甲、乙两位同学到校状况互不影响，且任一同学每天到校状况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事务“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事务M[解](1)因为甲同学上学期间的三天中到校状况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为eq\f(2,3)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，从而P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up8(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(3－k)，k＝0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)随机变量X的数学期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事务{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事务{X＝3}与{Y＝1}，事务{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝eq\f(8,27)×eq\f(2,9)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,27)＝eq\f(20,243).2．甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，依据以往的数据统计，他们射击成果均不低于8环(成果环数以整数计)，且甲、乙射击成果(环数)的分布列如下：(1)求p，q的值；(2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；(3)若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的肯定值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解](1)由题意得p＝eq\f(1,4)，q＝eq\f(1,2).(2)记事务C：甲命中一次9环，乙命中两次9环，事务D：甲命中两次9环，乙命中一次9环，则四次射击中恰有三次命中9环为事务C＋D，∴P(C＋D)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).(3)ξ的取值分别为0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,24)，∴ξ的分布列如下表：ξ012Peq\f(7,24)eq\f(1,2)eq\f(5,24)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(5,24)＝eq\f(11,12).命题点5概率与统计的综合应用二项分布同超几何分布、正态分布的联系(1)二项分布与超几何分布：二项分布是有放回随机试验模型，而超几何分布是无放回随机试验模型，但当样本数量无限大时，超几何分布可转化为二项分布．(2)二项分布与正态分布：两种分布的图象均类同于频率分布直方图，而正态分布N(μ，σ2)中参数μ＝E(ξ)，σ2＝D(ξ)，这便在频率分布直方图的媒介下，交汇交融产生命题点．[高考题型全通关]1．(2024·甘肃五市联考)某省食品药品监管局对16个高校食堂的“进货渠道合格性”和“食品平安”进行量化评估，满分为10分，大部分高校食堂的评分在7～10分之间，以下表格记录了它们的评分状况：分数段[0,7)[7,8)[8,9)[9,10]食堂个数1384(1)现从16个高校食堂中随机抽取3个，求至多有1个高校食堂的评分不低于9分的概率；(2)以这16个高校食堂的评分数据评估全国的高校食堂的评分状况，若从全国的高校食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望．[解](1)记Ai(i＝0,1,2,3)表示“所抽取的3个高校食堂中有i个高校食堂评分不低于9分”，“至多有1个高校食堂评分不低于9分”记为事务A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＋eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(121,140).(2)由表格数据知，从这16个高校食堂中任选1个，评分不低于9分的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).由题意知，X的全部可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(3)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(2)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(1)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(3)＝eq\f(1,64).所以X的分布列为X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)数学期望E(X)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).[点评]本题完全阐释了二项分布与超几何分布间的内在联系，尽管超几何分布是无放回模拟试验，但用其估计样本总体的概率时，其可视为有放回模拟试验，即所谓的二项分布．2．(2024·广州模拟)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元，设一人每月配送的单数为X，若X∈[1,300]，每单提成3元，若X∈(300,600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2100元，设一人每月配送单数为Y，若Y∈[1,400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元．小王想在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在2024年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资(单位：元)为f(X)，B公司外卖配送员月工资(单位：元)为g(Y)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系．(2)将甲、乙4月份的日送餐量的频率视为对应公司的外卖配送员日送餐量的概率．①计算外卖配送员甲和乙的日送餐量的数学期望E(x)和E(y)；②请利用所学的统计学学问为小王做出选择，并说明理由．[解](1)当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，g(Y)＝g(X)．当x∈(300,400]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0；当X∈(400,600]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.所以当X∈(300,400]时，f(X)＞g(Y)；当X∈(400,600]时，f(X)＜g(Y)．(2)①甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)则E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16，E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×e