固体物理chapter-5-固体能带论

第5章固体能带论能带理论是单电子近似理论。把每个电子运动看成是独立的在一个等效势场中运动。原子结合成固体，价电子运动状态很大变化，把原子核和内层电子看成离子实,带正电。固体中电子不再束缚于某个原子，而在整个固体中运动——共有化运动。

5.2布洛赫定理一、周期性势场1、周期性势场：把孤立原子当成一个带正电的点电荷，由于晶格原子周期性排列，内部原子的势场也具有周期性，边界处势能将提高。rV(r)xV(x)孤立原子周期性势函数V(r)可展成傅立叶级数傅立叶系数一维周期性函数V(x)展成傅立叶级数2、处于周期性势场中的电子电子势函数在已知周期性外场V(r)，可通过解薛定格方程，求出电子的波函数和能量。ORnrRn+rerAB二、布洛赫定理1、布洛赫定理周期性势场中电子，波函数具有性质。说明——平移晶格矢量，波函数只增加相位因子。2、布洛赫函数的特点一维布洛赫函数由波恩—卡曼边界条件所以uk（x）也是周期性函数（与晶格相同周期）平面波因子结论：周期性势场中的电子波函数为周期性函数uk（x）和平面波

调制结果——调幅平面波。推广到三维，布洛赫函数周期性势场中电子能带理论

——3个理论模型克龙尼克模型近自由电子近似模型紧束缚近似模型xvo-bca克龙尼克模型§5.3近自由电子近似

近自由电子近似模型：离子实形成的周期性势场较弱，电子近似认为是自由电子，周期性势场看成微扰。周期性势场展成傅立叶级数其中

h=±1,±2……

微扰算符应用量子力学非简并微扰理论一、一维定态非简并微扰

近似认为近自由电子处于一维无限深势阱中，再加上周期性势场的微扰V（x）。1、能量二级近似0L∞∞零级（无微扰）一级修正能量二级近似值2、波函数的一级近似零级（无微扰）波函数一级近似调幅平面波，Bloch函数k前行平面波k’散射波能量二级近似波函数一级近似

根据量子理论，上述非简并微扰只适用于（或）比较大的情况，以便很快收敛。][22kk¢-k'k'讨论理论适用范围：这时不能用非简并微扰处理.用简并微扰处理K0π/a2π/a-π/a2π/ahπ/a-hπ/a把前行波k和反射波分为三个区域：（1）k和远离布区边界；（非简并微扰理论）（2）k和趋于布区边界，（3）k和在布区边界上，简并微扰理论处于布区边界自由电子波函数和能量为二、一维定态简并微扰简并零级波函数为自由电子波函数组合把和展式代入薛定谔方程

等式两边分别乘，全空间积分等式两边分别乘，利用积分、整理等式两边分别乘，利用积分、整理（1）最后得：A、B不全为0的条件是能量：（2）当即布里渊区的边界此处能量相等，代入（2）式微扰后，能级发生分裂，分裂为、把代入（1）式选择原点，使波函数为三、近自由电子能量的讨论自由电子E~K关系近自由电子E~K关系讨论1、当k

和k’远离布区边界时，即非简并情况，能量与波函数修正项中较大，修正项较小电子近似认为是自由电子，E~K曲线是抛物线KE2、

k

和k’处于布区边界令能级分裂为禁带宽度为

禁带（能隙）：各能带之间的间隙，不允许有电子状态。

能带分裂的位置和禁带宽度决定于晶体结构以及周期性势场。3、波矢趋于布区边界代入（2）式得hπ/aTh=Ek(0)2VhBZ边界E+E-开口向上小抛物线开口向下小抛物线开口向上小抛物线开口向下小抛物线近自由电子近似下，电子的能量与波矢（E~K）关系图第一能带第二能带第三能带第四能带KEk

和k’

远离布区边界k

和k’处于布区边界k

和k’趋于布区边界近似于自由电子能级发生分裂出现禁带开口向上小抛物线开口向下小抛物线四、色散关系图（E~K）1、扩展区图第一能带第二能带第三能带第四能带KE2.重复区图K03、简约图EK电子能带结构的特征（结合E~K图）：（1）在周期性势场中，电子有带状结构的能谱，能带与禁带交替排列；两能带之间出现能量不允许的区域，称为禁带。

(2)E是K的偶函数E(K)=E(-K)；（3）能带的分界点出现在BZ边界；（4）能量越高，能带越宽；（5）能量E与波矢K是周期函数；（6）禁带宽度为，与周期性势场有关。五、能隙产生的物理解释（波函数的讨论）电子几率密度分布ax平均势能：对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密度最大，即负电荷大部分靠近原子实，势能比平均势能低，E-

<E。

：对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密度最小，即负电荷远离带正电的原子实，势能比平均势能高E+>E

。

所以，形成两个态能量差，例：一维周期势场为其中a=4b，W为常数，求平均势能和第一禁带宽度。x2aV（x)

ba3a五、三维情况下的近自由电子近似一维三维非简并微扰简并微扰（布区边界）能带交叠——在二、三维晶格中，K不同方向能量断开的取值不同，使不同能带发生重叠。二维正方晶格第一布区[10][11]思考题：周期性势场指什么？布洛赫定理？布洛赫函数的特点？近自由电子近似模型？近自由电子近似中，禁带的成因？近自由电子近似中，晶体能带结构的特点？近自由电子近似中，能带发生分裂的位置和禁带宽度？近自由电子近似中，布区边界处电子能量特点?5.4

紧束缚近似一、紧束缚近似模型：当原子间距较大时，把电子处于很强的原子势场，近似看成孤立原子势场；把其它原子的周期性势场，当微扰来处理。孤立原子势场其它原子势场（周期性势场）二、运动电子的波函数和能量第n个电子在第n原子实附近孤立原子形成的势场为孤立原子中的电子（s态）的波函数

能量e其它原子的势场（微扰）电子总波函数总能量晶体周期性势场孤立原子势场孤立原子束缚的电子薛定谔方程（本征方程）

应具有布洛赫波函数的形式，归一化可以得出加上其它原子势场，晶体中电子波函数为孤立原子波函数的线性组合孤立原子+其它原子势场薛定格方程??同乘、全空间积分令Rn=0原点处，其它原子势场平均值Rn=0和Rn=0处，两个原子中电子波函数对微扰势的交叠积分

由于原子间距较大，只有相邻原子的电子波函数交叠，即，其它为0。由于S态的波函数的球对称性，B（Rn）应与Rn无关。S态电子的能量例：利用紧束缚近似，求面心立方结构的晶体中S态电子的能量。并计算能量的极大值、极小值和能带宽度。解:面心立方结构有12个最近邻，分别是在XOZ面同理在XOY面在YOZ面编号：①~④编号：⑤~⑧编号：⑨~⑿XZ面心立方的倒格子为体心立方，第一布区为截角八面体Γ(0,0,0)X(2π/a,0,0)通过求极值的方法可求出能量极大值和极小值16BEsaA4B12B孤立原子时周期性势场，紧束缚近似孤立原子——能级晶体——能带三、原子能级与固体能带1、运动电子的速度、加速度和有效质量电子速度

电子动量

5.6晶体中运动电子的准经典运动电子E~K关系大小：能量梯度方向：等能面的法线方向加速度对一维情况：在E~K曲线上，速度由曲线的斜率决定。电子有效质量为对一维情况，有效质量为标量。2、三维运动电子的速度、加速度和有效质量适当选择坐标系当等能面为椭球面，当等能面为球面，2、三维运动电子的速度、加速度和有效质量三维一维（1）有效质量是一个张量，主要由电子能带结构决定。当等能面为球面时，各向同性（标量）（2）在能带不同位置，有效质量不同。能带底，对应能量极小能带顶，对应能量极大Evm*E～k关系m*～k关系v～k关系准自由电子布区边界布区边界3、有效质量并不代表真正的质量，而是代表能带中电子受外力时，外力与加速度的一个比例系数。负的有效质量说明晶格对电子作负功，即电子要供给晶格能量，而且电子供给晶格的能量大于外场对电子作功。4、引入有效质量的意义概括了半导体内部势场作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。5、布区边界，有效质量与真实质量有显著差别

*晶格对电子的作用越弱，有效质量与真实质量差别越小；*晶格对电子的作用越强，有效质量与真实质量差别越大。*当电子波矢在布区边界时，散射最强，晶格对电子的作用大，有效质量与真实质量有显著差别。例：二维正方格子，晶格常数为a.求：

（1）S态电子的能量，能带宽度；（2）电子的速度；（3）能带底电子有效质量;和能带顶空穴的有效质量；（4）第一布里渊区[11]方向的能带、速度和电子有效质量。4个最近邻，坐标解：

（1）（2）

（3）能带底,电子的有效质量

能带顶空穴的有效质量（4）在[11]方向上，[11]SC倒格子是边长为简立方格子SC第一布区——立方体能量最小位置：能量最大位置：SC第一布区——立方体fccfcc第一布区——十四面体（截角八面体）能量最小位置：能量最大位置：及对称点fcc第一布区——十四面体（截角八面体）bccbcc第一布区——十二面体bcc第一布区——十二面体能量最小位置：

能量最大位置：5.7导体、绝缘体和半导体

固体导电是由于外电场作用下，电子定向运动的结果。从能带论看，电子能量的变化是电子从一个能级跃迁到另一能级上。1、满带：一个能带内的全部状态均被电子所填满。满带满带不导电满带不导电1、未加外电场满带中尽管每个电子都带一定电流，但状态k、-k的电子电流正好抵消。2、加外场时

K轴上的各k点以相同速度沿外场反方向运动，从第一布区一端移出，相当与从另一端进入。整个满带仍处于填满状态，所以不导电。A满带：无净电流，不导电XAAXXYYYEkkkZZZ0k1k2k3k4k5电子运动没有改变布区中电子分布不产生宏观电流不满带2、不满带：未被电子填充满的能带。不满带导电

在有外场时，在外力F

作用下，整个电子分布向一边移动，破坏对称性，电子电流部分抵消，