三角函数解答题十一大题型（老师版）

题型1识图问题 1题型2单调性问题 7题型3对称轴与对称中心问题 14题型4值域问题 题型5最值问题 题型6凑角求值问题 题型7方程的根问题 46题型8零点问题 题型9恒成立问题 题型10有解问题 题型11实际应用问题 801.注意正余弦"第一零点"和"第二零点"的区别和联系.正弦“第一零点”：x=2kπ;正弦“第二零点”：x=π+2kπ.余弦"第一零点"：x=-+2kx；余弦"第二零点"：x=+2kπ2.【例题1】（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）已知函数fx=2sin(wx+φ(0<φ<的部分图像如图，该图像与Y轴交于点A(0,3)，与x轴交于点B，C两点，D为图像的最高点，且△BCD的面积为.（1）求fx的解析式及其单调递增区间；（2）若将fx的图像向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变得到函数gx的图像，若gα=<α<π)，求sinα+的值.【详解】分析1）由△BCD的面积为可得T=π,w=2，由f0=2sinφ=3，从而可解得φ的值，从而解得fx=2sin2x+，由−+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z，即可求得fx的单调递增区间为(k∈Z)；（2）由题意易知gx=2sinx+，从而有sinα+=，再利用两角和的正弦公式即可.详解1）因为函数fx=2sin(wx+φ)的最大值为2，故△BCD的面积S=×BC×2=，∴BC=，所以函数fx的周期T=π,即w=2，由函数fx的图像与y交于点A(0,3)，得f0=2sinφ= 所以fx=2sin2x+.所以fx的单调递增区间为−+kπ,+kπI(k∈Z).（2）由题意易知gx=2sinx+，∵gα=，得sinα+=，∴cos(α+35所以sinα+=sinα++=sinα+cos+cosα+点睛：本题考查由y=Asin(wx+φ)的部分图像确定其解析式，考查三角函数间的基本关系与两角和的正弦公式，考查三角函数的平移变换，属于中档题【变式1-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数sinwx+coswx的周期为4.(1)求fx的解析式；(2)将fx的图像沿x轴向右平移个单位得到函数gx的图像，p，Q分别为函数gx图像的最高点和最低点(如图求∠OQp的大小.【答案】(1)fx=3sinx+(2)∠OQp=【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为fx=3sinwx+，根据函数的周期为4=，求得w的值，可得fx的解析式；（2）由条件根据y=Asin(wx+φ)的图像变换规律，可得函数gx=3sinx，求出p，Q的坐标，可得OP=2，PQ=4，OQ=12，利用余弦定理求得cosθ的值，从而得θ的值.fx=sinwx+coswx，=3sinwx+coswx)，=3sinwxcos+coswxsin，=3sin(wx+，∴fx=3sinx+.将fx的图像沿x轴向右平移个单位得到函数gx=3sinx)，∵P，Q分别为该图像的最高点和最低点，∴P(1,3，Q3,−3)，∴∠OQP=.【变式1-1】2.（2022湖南长沙·统考一模）如图是函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ<)图像的一部分.（1）求出A,w,φ的值；（2）当x∈(0,)时，求不等式的解集.【分析】（1）由三角函数的图像确定函数f(x)=Asin(wx+φ)的步骤①求A：确定函数的最大值M和最小值m，则A=;②求w，确定函数的周期T，则w=;③求φ,一般来说，先找最大值点及最小值点，其次找零点，一定要确定好是第一个零点还是第二个零点，以便正确的求出φ值；（2）求三角不等式的解集，一般要把三角函数化为Asin(wx+φ)等于一个常数的形式，进行求解.【详解】（1）由图可知，该函数的最大值M=2和最小值m=该函数周期T=4×=2，得f=2sin（2）由2sin2x>4sin2x−2⇒sin2x+cos2x>0⇒sin(2x+)>0由x∈(0,)得2x+∈(,,∴<2x+<π⇒x∈(0,).【变式1-1】3.（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）已知函数fx=Asin(wx+φ)(x∈R,A>0,w>0,0<φ<图像如图，P是图像的最高点，Q为图像与x轴的交点，O为原点．且OQ=2，OP=5PQ=13（1）求函数y=fx的解析式；（2）将函数y=fx图像向右平移1个单位后得到函数y=gx的图像，当x∈0,2时，求函数ℎx=fx·gx的最大值.【答案】（1）fx=sinx+（2）ℎmaxx=.【分析】（1）运用余弦定理，解△OPQ，算出P点的坐标，求得A，w,φ;（2）根据函数平移性质，求出gx的解析式，对ℎx进行恒等变换，用辅助角公式将ℎx变为单一的三角函数式即可求解.【详解】(1)由余弦定理，得cos∠POQ=OP+OQiPQ2=，sin∠POQ=，∴fx=sinx+，(2)由题意，gx=fx−1=sinx，ℎx=fx·gx=sinx+sinx=sin2x+sinxcosx=+sinx=sinx−+，当x−=即x=1时，ℎmaxx=；综上，fx=sinx+，ℎx的最大值为.【变式1-1】4.（2022秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数fx=sin(wx+φ)(w>0,φ<π)的部分图象如图所示，其中MN//x轴.π8(1)求函数y=fx的解析式；π8(2)将y=fx的图像向右平移个单位，再向上平移2个单位得到y=gx的图像，求g的值.【答案】(1)fx=sin2x−)【分析】（1）根据图象可求函数的对称方程及T，故可求函数的解析式；（2）根据图象平移可求gx的解析式，故可求g的值.【详解】（1）由图象可得函数图象的一条对称轴为故×=+=，故w=2，故fx=sin(2x+φ)，而φ故φ=−故f=sin（2）将y=fx的图像向右平移个单位，再向上平移2个单位得到y=gx的图像，故gx=sin2x−−+2=−sin2x−+2，函数Y=sinxY=cosxY=tanx单调性[−+2kπ,+2kπ](kEZ)上递增；[+2kπ,+2kπ](kEZ)上递减[−π+2kπ,2kπ](kEZ)上递增；[2kπ,π+2kπ](kEZ)上递减kπ)(kEZ)上递增【例题2】（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）设函数fx=sinxsinx+−cos2x+.（1）求fx的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论fx在区间−,上的单调性.【答案】（1）最小正周期π;当x=kπ+,k∈Z时，最大值为2）递增区间为−,，递减区间为−,−,,.【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简函数fx=sin2x−,再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由x∈−,，可得−≤2x−≤,结合正弦函数的图象与性质，即可求解函数的单调区间.【详解】（1）由题意，函数fx=sinxsinx+cosx)−cos2x+ =+sin2x−+=sin2x−cos2x=sin2x−,所以fx的最小正周期T==π,当2x−=2kπ+,k∈Z，即x=kπ+,k∈Z时，fx)取最大值为.结合正弦函数的图象与性质，可得：当−≤2x−≤,即−≤x≤,函数fx单调递增；当≤2x−≤,即≤x≤,函数fx单调递减，综上可得，函数fx的单调递增区间为−,，单调递减区间为−,−与,上单调递减.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的恒等变换，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.ω>0与其图象的对称轴x=相邻的f（x）的个零点为.（1）判断函数f（x）在区间[,【答案】(1)fx在区间−,上单调递增.(2)a=3,b=3【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得ω的值，可得函数f（x）在区间[,]上的单调性.（2）利用两个向量垂直的性质，求出C，再利用正弦定理求得b=3a．再利用余弦定理，【详解】（1）fx=3sin2wx+1+cos2wx−1=sin(2wx+，∵与fx图像的对称轴x=相邻的fx的零点为，∴fx=sin2x+，则函数y=sinz单调增区间是−+2kπ,+2kπ,k∈Z.∴−+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调增区间为−+kπ,+kπl，k∈Z.当k=0时，fx单调增区间为−,,所以f(x)在区间−,上单调递增.（2）fC=sin2C+−1=0，则sin(2C+=1.即sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a①,由余弦定理得c2=a2+b2−2abcos，由①②解得a=3,b=3.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，两个向量垂直的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题【变式2-1】2.（2022·天津河西·统考三模）已知函数fx=cos2x+3sinxcosx−x∈R)（1）求fx的最小正周期；（2）讨论fx在区间−,上的单调性；【答案】（1）π.（2）fx在区间−,上单调递增；在区间[,上单调递减.【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简f(x)为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得f(x)在R上的单调增区间，结合区间−,，即可求得结果.fx=cos2x+3sinxcosx−=+sin2x−=sin2x+所以T=2π=π. w所以fx的单调递增区间为−+kπ,+kπ,k∈Z.所以当x∈−,时，fx)在区间−,上单调递增；在区间,上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题(1)求f(x)的最小正周期；(2)讨论f(x)在区间(0,)上的单调性.【答案】(1)T=π(2)f(x)在区间(0,)上单调递增，在区间,上单调递减.【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得fx的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,上单调区间，即得fx在区间0,上的单调性.fx,=sinx+3cosx⋅cosx=sinxcosx+3cos2x，∵x∈0,，∴fx在区间0,上单调递增，故fx在区间,上单调递减【变式2-1】4.（2022秋·四川雅安·高三雅安中学阶段练习）已知函数fx=23sinxcosx−2cos2x+1.(1)求fx的最大值和对称中心坐标；(2)讨论fx在0,π上的单调性.【答案】(1)最大值为2，对称中心为：+,0)k∈Z)(2)递增区间：0,和,π;递减区间：,【分析】（1）由正余弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为fx=2sin2x−,可知最大值为2，对称中心由2x−=kπ求解即可；（2）先求得fx最大增区间与减区间，再与0,π求交集，即可求得单调性.【详解】（1）fx=3sin2x−cos2x=2sin2x−,所以最大值为2，由2x−=kπ,解得x=+，所以对称中心为：+,0)ck∈Z)；（2）先求fx的单调增区间，由−+2kπ≤2x−≤+2kπ,k∈Z，解得−+kπ,+kπ,k∈Z，在0,π上的增区间有0,和,π].同理可求得fx的单调减区间+kπ,+kπ,k∈Z，在0,π上的减区间有,.故fx的递增区间：0,和,π1；递减区间：,【变式2-1】5.（2022春·安徽安庆·高三阶段练习）已知函数f(x)=sinx·(2cosx−sinx)+cos2x.（1）讨论函数f(x)在[0,π]上的单调性；（2）设<α<，且f(α)=−,求sin2α的值.【答案】（1）f(x)在区间[0,]、[,π]上递增，在区间[,]上递减2.【详解】（1）将函数化简得f(x)=2sin(2x+)，由正弦函数性质可求出函数f(x)在区间<，所以可求出cos(2α+)=−,由sin2α=sin[(2α+)−]展开即可.试题解析1）f(x)=sin2x−sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+)，当2x+∈[,]即x∈[0,]时，f(x)递增；当2x+∈[,]即x∈[,]时，f(x)递减；当2x+∈[,]即x∈[,π]时，f(x)递增.综上，函数f(x)在区间[0,]、[,π]上递增，在区间[,]上递减.（2）由f(α)=−,即2sin(2α+)=−,得sin(2α+)=−,因为<α<，所以<2α+<，可得cos(2α+)=−,则sin2α=sin[(2α+)−]=sin(2α+)−cos(2α+)【点睛】本题考查三角恒等变换、函数的的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.第一小题先将函数化简，再求出在R上的单调性，再求出[0,π]上的单调性；第二小题求出sin(2α+)，再求出cos(2α+)，再利用凑角法和两角和差公式即可求得正解.函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ=kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx+φ)为奇函数；φ=kπ+∈Z)时，函数y＝Asin(2)周期性：y＝Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期为(3)单调性：根据y＝sint和t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究，由＋2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx+φ≤+2kπ得单调减区间.(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)来解，令ωx+φ=kπ(k∈Z)，求得其对称中心.利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ+来解，令ωx+φ=kπ+得其对称轴【例题3】已知函数fx=2cosx(sinx−cosx)+1,x∈R(1)求函数fx的对称轴和对称中心；(2)当x∈,，求函数fx的值域.【答案】(1)函数fx的对称轴为,k∈Z，对称中心(2)−1,2kπ2,k∈Z【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简fx，再根据正弦函数的性质运算求解；（2）采用整体替换的方法，先确定出2x−的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出fx的值域.【详解】（1）因为fx=2cosx(sinx−cosx)+1=2sinxcosx−(2cos2x−1)=sin2x−4cos2x=2sin2x−π4令2x−=kπ,k∈Z，解得x=+,k∈Z；所以函数fx的对称轴为x=+,k∈Z，对称中心+,0),k∈Z.当2x−=，即x=时，函数fx取到最大值2；当2x−=，即x=时，函数fx取到最小值−1；所以函数fx的值域为[−1,2].【变式3-1】1.（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数f(x)=2sinwxcoswx+3+3cos2wx−3+1.将周期为π的函数fx图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图像对应的函数为gx.(1)求gx的单调区间；(2)求gx图像的对称轴方程和对称中心坐标.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【分析】（1）先求得函数fx解析式，进而得到函数gx解析式，利用代入法去求gx的单调区间；（2）利用代入法去求gx的图像的对称轴方程和对称中心坐标.【详解】（1）f(x)=2sinwxcoswx+3+3cos2wx−3+1=sin2wx+3cos2wx−+1=2sin(2wx+)−+1则g(x)=2sin(wx+)−+1由函数fx周期为π,可得=π,解之得w=±1当w=1时，g(x)=2sin(x+)−+1则gx的单调增区间为−+2kπ,+2kπ,k∈Z由+2kπ≤x+≤+2kπ,可得+2kπ≤x≤+2kπ则gx的单调减区间为+2kπ,+2kπ,k∈Z当w=−1时，g(x)=2sin(−x+)−+1=2sin(x+)−由−+2kπ≤x+≤+2kπ,可得−+则gx的单调增区间为−+2kπ,−+2kπ,k∈Z由+2kπ≤x+≤+2kπ,可得−+2kπ≤x≤+2kπ则gx的单调减区间为−+2kπ,+2kπ,k∈Z（2）当w=1时，g(x)=2sin(x+)−+1由x+=+kπ,可得x=+kπ则g(x)的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z则g(x)的对称中心为−+kπ,−+1)，k∈Z当w=−1时，g(x)=2sin(−x+)−+1=2sin(x+)−则g(x)的对称轴方程为x=−+kπ,k∈Z则g(x)的对称中心为−+kπ,−+1)，k∈Z【变式3-1】2.（2022秋·江苏苏州·高三苏州市第五中学校开学考试）已知函数f(x)=5sinxcosx−53cos2x+(x∈R).(1)求f(x)的周期和最值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)写出f(x)的图象的对称轴方程和对称中心坐标.【答案】（1）π,f(x)max=5，f(x)min=−52）[−+kπ,+kπ](k∈Z)3）对称轴方程是x=+k∈Z，(+,0)(k∈Z)【分析】（1）化简函数f(x)=5sinxcosx−53cos2x+=5sin(2x−)，由T=即可得到周期；当2x−=+2kπ(k∈Z)与当2x−=−+2kπ(k∈Z)时取得最值，从而求得答案；（2）由−+2kπ≤2x−≤+2kπ(k∈Z)即可得到f(x)的单调增区间；（3）由2x−=+kπ(k∈Z)得f(x)的图象的对称轴方程；由2x−=kπ(k∈Z)可得f(x)的图象的对称中心坐标.【详解】f(x)=5sinxcosx−53cos2x+=sin2x−(1+cos2x)+=5sin(2x−).(1)T==π;当2x−=+2kπ(k∈Z)即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)max=5；当2x−=−+2kπ(k∈Z)即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)min=−5.故f(x)的单调增区间为：[−+kπ,+kπ](k∈Z).(3)由2x−=+kπ(k∈Z)得x=+k∈Z).故f(x)的图象的对称轴方程是x=+k∈Z)；由2x−=kπ(k∈Z)得x=+(k∈Z).f(x)的图象的对称中心坐标是(+,0)(k∈Z).【变式3-1】3.（2022·山西吕梁·统考一模）已知函数f(x)=2asin2x+2sinxcosx−a的图象过点(0,−3).（1）求常数a；（2）求函数f(x)的最小正周期、单调区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当x∈[0,]时，求函数f(x)的值域.【详解】试题分析1）把点(0,−3)代入函数表达式即可求得a的值2）首先利用倍角公式下两角差的正弦函数化简函数解析式，然后利用正弦函数的图象与性质解答3）利用正弦函数的图象与性质解答即可.（2）f(x)=23sin2x+sin2x−3=sin2x−3cos2x=2sin(2x−).周期T=π;单调增区间[−+kπ,+kπ](k∈Z)；单调减区间[+kπ,+kπ](k∈Z).对称轴x=+(k∈Z)；对称中心(+,0)(k∈Z).所以−3≤2sin(2x−)≤2，故f(x)的值域为[−3,2].考点：1、倍角公式；2、两角差的正弦函数；3、正弦函数的图象与性质【变式3-1】4.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）设函数fx=cos2x−−3cos2x−.(1)求fx的最小正周期及其图象的对称中心；(2)若x0∈,且fx0=−,求cos2x0的值.【答案】(1)最小正周期为π,对称中心为+,−k∈Z)【分析】（1）展开化简fx=sin2x−−,最小正周期为π,令2x−=kπk∈Z)对称中心为+,−k∈Z)；（2）根据fx0=−,求得sin2x0−=，配凑cos2x0=cosI(2x0−+从而带入求值.【详解】（1）因为fx=cos2x−−3cos2x−所以fx的最小正周期为T==π.令2x−=kπk∈Z)，解得x=+k∈Z)，所以fx的对称中心为+,−k∈Z)（2）因为fx0=−,即fx0=sin2x0−−=−,所以sin2x0−=，因为x0∈,，所以2x0−∈,π,所以cos(2x0−)=−1−sin2(2x0−=−,所以cos2x0=cosI(2x0−+=cos2x0−cos−sin2x0−sin【变式3-1】5.已知向量=(sinwx+coswx,sinwx)，向量=(sinwx−coswx,23coswx)，设函数fx=+1x∈R的图象关于直线x=对称，其中常数w∈(0,2).(1)求函数fx的单调递减区间；(2)将函数fx的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数gx的图象，求出函数gx对称中心.【答案】(1)kπ+,kπ+(k∈Z)(2)(,0)(k∈Z)【分析】（1）先通过向量的数量积及降幂公式进行化简，利用关于直线x=对称，求出参数w=1，再利用正弦函数的单调递减区间求解；（2）直接将函数进行平移得到gx，再按照正弦函数的对称中心求解.(1)∵向量=(sinwx+coswx,sinwx)，向量=(sinwx−coswx,23coswx)，π62sin2wx−)+1.π6∵图象关于直线x=对称，其中常数w∈(0，2).∴f(x)=2sin2x−+1，∵令2kπ+≤2x−≤2kπ+π(k∈Z)，得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，∴f(x)=2sin2x++的单调减区间为kπ+,kπ+(k∈Z).(2)将函数fx的图象向左平移个单位，得y=2sin2x+π−π+1=2sin2x+1.再向下平移1个单位后得到函数gx=2sin2x.令2x=kπ(k∈Z)，则有x=,(k∈Z)，求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤11≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性.【例题4】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）设函数=2sin(1)列表并画出y=fx，x∈−2,10的图象；(2)求函数gx=f(1+x+f4−x)在区间0,6上的值域.【答案】(1)答案见解析(2)−2,22.【分析】（1）根据五点作图法画出图象.（2）化简gx的解析式，根据三角函数值域的求法求得正确答案.πx+π0π2π2x147y0200作图：（2）由已知gx=f1+x+f4−x)=2sinx++2sinπ−x)=2cosπx+2sinπx=22sinπx+π∴−2≤gx≤22，∴函数gx=f(1+x+f4−x)在区间0,6上的值域是[−2,22【变式4-1】1.（2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）设函数fx=sinx+2cosx.(1)是否存在m>0，使得fx=f(m−x)对∀x∈R恒成立？若存在，试给出一个符合题意的实数m并加以证明；若不存在，请说明理由；(2)若x∈−,πI时，求fx的值域.【答案】(1)存在，取m=(2k+1πk∈Z)中任意一个值；(2)1−,5l.【分析】（1）由题可得f(2k+1)π−x=f(x)，进而即得；（2）利用（1）可得fx在−,π上的值域即为fx在−,上的值域，然后利用辅助角公式及三角函数的性质结合条件即得.【详解】（1）取m=(2k+1πk∈Z)中任意一个值即可，证明如下：因为f[(2k+1)π−x]=sin(2kπ+π−x)+2cos2kπ+π−x)l=sinx+2cosx=fx，所以m=(2k+1πk∈Z)符合题意.（2）由（1）可知，fx=f(π−x)恒成立，所以fx在,π上的值域与fx在0,上的值域相同.因此fx在−,π上的值域即为fx在−,上的值域，当x∈−,时，cosx≥0，所以fx=sinx+2cosx=5sinx+φ,其中tanφ=2，,所以f(x)min=minf−,f=1−,f(x)max=5所以fx在−,π上的值域为1−,5.,【变式4-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=sinxcosx−3cos2x+.（1）求函数fx的单调递减区间；（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数gx的图象，求函数ℎx=fx+g2x在x∈,的值域.【分析】（1）通过降幂公式和辅助角公式将函数f（x）化简，进而求出单调递减区间；（2）先通过图象变换求出函数g（x进而通过降幂公式和辅助角公式将函数h（x）化简，进而求出函数的值域.【详解】（1）fx=sin2x−3+=sin2x−cos2x=sini2x−)，令+2kπ≤2x−≤+2kπk∈Z,则+kπ≤x≤+kπk∈Z,∴函数fx的单调递减区间为：+kπ,+kπ(k∈Z).（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sinx−的图象，再将图象向左平移个单位，得到gx=sinx+−=sinx−的图象，∴ℎx=sin2x−+sin2x−=sin2x−+=sin2x−+，∵x∈π,7π∴2x−7π∈−π,7π∴sin2x−7π∈−即ℎx)的值域为：0,.【变式4-1】3.（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，A+B=2C且cosA+sinB=sinA+cosB.(1)求角B的大小；(2)设函数fx=2cosxsinx+−2sin2xsinB+3sinxcosxcos(2A+C)，当x∈,时，求f(x)的值域.【答案】(1)B=【分析】（1）根据A+B=2C解得C=，然后根据三角恒等变化求解角B的大小；（2）化简函数解析式，然后利用整体代入法求解函数的值域；所以C=.因为cosA+sinB=sinA+cosB，所以cosA−sinA=cosB−sinB，根据三角恒等式变化，2cosA+=2cosB+,解得：A=B，所以B+B+=π,即B=.（2）fx=2cosxsinx+−2sin2xsinB+3sinxcosxcos(2A+C)=2cosxsinx+cosx)−3sin2x−3sinxcosx=3cos2x−3sin2x−2sinxcosx=−sin2x+3cos2x=2cos(2x+，则fx的值域为−,−1.【变式4-1】4.（2023春·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）已知函数fx=sin(π−wx)coswx+cos2wxw>0，y=fx的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求w的值；(2)将函数y=fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，求函数y=gx在区间0,上的值域.【答案】(1)1(2)0,【分析】（1）根据题意利用二倍角公式和辅助角公式可得fx=sin(2wx++，又知周期为T=π即可得w=1；（2）根据三角函数平移规则可得gx=sin4x++，利用整体代换即可求得其在区间0,上的值域.fx=sinwxcoswx+cos2wx=sin2wx+=sin2wx++；由题意可得=，即T=π（2）由（1）知fx=sin2x++由平移规则可得gx=sin4x++，当x∈0,时，4x+∈,由正弦函数单调性可知−≤sin4x+≤1，所以gx=sin4x++∈0,即函数y=gx在区间0,上的值域为0,【变式4-1】5.已知数f(x)=3sinwx++2sin2+)−1(w>0)的相邻两对称轴间的距离为.（1）求f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的，得到函数y=g(x)的图像，当x∈−,时，求函数g(x)的值域.（3）对于第（2）问中的函数g(x)，记方程g(x)=在x∈,，上的根从小到依次为x1,x2,⋯xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn的值.【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式化简f(x)，再根据相邻两对称轴间的距离为，所以T=π求解w即可；（2）根据三角函数的图象变换得到g(x)=2sin4x−,再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；（3）结合三角函数图象，画图分析x1,x2,⋯xn的位置，再根据对称性的性质结论求解即可【详解】（1）由题意，函数f(x)=3sin(wx+)+2sin2wx+)−1=3sin(wx+)−cos(wx+)=2sinwx+−=2sinwx因为函数f(x)图像的相邻两对称轴间的距离为，所以T=π,可得w=2.故f(x)=2sin2x（2）将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，可得y=2sin2x−的图像.再把横坐标缩小为原来的，得到函数y=g(x)=2sin4x−的图像.当4x−=−时，函数g(x)取得最小值，最小值为−2，当4x−=时，函数g(x)取得最大值，最大值为3，故函数g(x)的值域[−2,3].（3）由方程g(x)=，即2sin4x−=，即sin4x−=，结合正弦函数y=sinθ的图像，可得方程sinθ=在区间其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π即4x1−+4x2−=3π,4x2−+4x3−=5π,4x3−+4x4−=7π,4x4−+4x5−解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=【变式4-5】6.（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=sinx−cosx(x∈R).(1)求函数y=f(x)⋅f(−x)的最小正周期及其对称中心；2(2)求函数y=[f(x)]2+fx+在−,上的值域.2【答案】(1)周期π,对称中心为+,0)(k∈Z)【分析】（1）利用二倍角公式将y=f(x)⋅f(−x)的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数y=f(x)⋅f(−x)的对称中心；2（2）将函数y=[f(x)]2+fx+)的表达式展开，并化简，根据x∈−,的范围，结合正弦函数的性质可确定答案.2函数y=f(x)⋅f(−x)=cos2x−sin2x=cos2x，所以最小正周期令2x=+kπ(k∈Z)，解得x=+(k∈Z)，所以对称中心为π42函数y=[f(x)]2+fx+)=(sinx−cosx)2+[sin(x+)−cos(x+)]22=1−sin2x+1−sin(2x+)=2−sin2x−cos2x【例题5】（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数f(x)=2cos2wx+23sinwxcoswx+a（w>0，a∈R）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)解析式的两个合理条件作为已知，条件①：f(x)的最大值为1；条件②：f(x)的一条对称轴是直线x=−;条件③：f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为.求：(1)求函数f(x)的解析式；并求f(x)的单调递增区间、对称中心坐标；(2)若将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,m]上的最小值为g(0)，求m的最大值.【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将f(x)化为f(x)=2sin(2wx+)+a+1，然后根据函数性质选择条件求出w和a，进而得到f(x)=2sin2x+−1，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；（2）利用函数平移变换得gx)=2sin(4x−)−1，利用函数的性质得到4m−≤进行求解.【详解】（1）fx=2cos2wx+23sinwxcoswx+a=cos2wx+3sin2wx+a+1=2s显然条件②不合理；综上所述，条件①③能确定函数fx解析式，且f(x)=2sin2x+−1；所以函数f(x)的单调递增区间为[−+kπ,+kπ]（k∈Z所以函数f(x)的对称中心坐标为(−+kπ,−1)，k∈Z；（2）将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=2sin(4x+)−1的图象，再向右平移单位，得到函数y=2sin[4(x−)+]−1=2sin(4x−)−1的图象，即gx=2sin4x−−1；因为gx在区间0,m上的最小值为g0，所以4m−≤,解得0<m≤.所以m的最大值为.【变式5-1】1.（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知函数fx=2sin(wx+φ+1w>0,φ<，fx图象上两相邻对称轴之间的距离为(Ⅰ)在①fx的一条对称轴x=−;②fx)的一个对称中心,1)；③fx的图象经过点,0)这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；(Ⅱ)若动直线x=t(t∈0,π与fx和gx=23sinxcosx的图象分别交于P、Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(Ⅰ)选①或②或③,fx=2sin2x++1；(Ⅱ)当t=0或t=π时，线段PQ的长取到最大值2.【解析】(Ⅰ)先根据题中信息求出函数y=fx的最小正周期，进而得出w=2.选①,根据题意得出−+φ=+kπk∈Z)，结合φ的取值范围可求出φ的值，进而得出函数y=fx的解析式；选②,根据题意得出+φ=kπk∈Z，结合φ的取值范围可求出φ的值，进而得出函数y=f(x)的解析式；选③,根据题意得出sin+φ)=−,结合φ的取值范围可求出φ的值，进而得出函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)令ℎx=fx−gx，利用三角恒等变换思想化简函数y=ℎx的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出ℎt在t∈0,π上的最大值和最小值，由此可求得线段PQ长度的最大值及此时t的值.【详解】(Ⅰ)由于函数y=fx图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为T=2×=π,∴w===2，此时fx=2sin(2x+φ)若选①,则函数y=fx的一条对称轴x=−,则−+φ=+kπk∈Z)，此时，fx=2sin2x++1；若选②,则函数y=fx的一个对称中心,1)，则+φ=kπk∈Z，此时，fx=2sin2x++1；若选③,则函数y=fx的图象过点,0)，则f=2sin+φ)+1=0，∴+φ=，解得φ=，此时，fx=2sin2x++1.综上所述，fx=2sin2x++1；(Ⅱ)令ℎx=fx−gx=2sin2x++1−23sinxcosx=2sin2x+cos2x)+线段PQ的长取到最大值2.【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.【变式5-1】2.（2022秋·安徽·高三校联考期末）设向量-→=(2coswx,3sinwx),=(coswx,2coswx)，函数f(x)=-→⋅+a(w>0,a∈R)的最大值为1，且图象中心之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,t]上的最小值为g(0)，求实数t的最大值.【答案】(1)f(x)=2sin2x+−1【分析】（1）先将f(x)用三角恒等变换公式化简，再根据最大值和相邻两条对称轴之间的距离分别求出a和ω代入即可；（2）根据三角函数图像变换规律，得到函数g(x)的解析式，再根据正弦函数的图像与性质求m的最大值. 3sin2wx+a=2sin(2wx+所以f(x)的最大值为2+a+1=1，所以a=−2，又因为该函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，所以该函数的最小正周期为π,所以=π,w=1，所以f(x)=2sin2x+−1.（2）由题意得g(x)=2sin4x−+−1=2sin4x−−1，则y=sinx在−,上单调递增，在,上单调递减，且sin=sinπ+=−sin=6sin(−6故实数t的最大值为.【变式5-1】3.（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且sinCcos(1)当B=，求sinc+sinA的值(2)求B的最大值.【答案】(1)sinC+sinA=1【分析】（1）代入B=，解得sinc+cosc=，对sinc+sinA变形得到sinc+sinA= 3sinc+cosc)=1，求出答案2）对题干条件两边同乘以2cos，变形得到sinc+sinA=sinB，利用正弦定理得到a+c=b，利用余弦定理和基本不等式求出B的最大值.即3sinc+1则sinc+sinA=sinc+sinc+=sinc+cosc=3sinc+cosc)=1（2）sinccos=(−cosc)sin，两边同乘以2cos得：2sinccos2=(−cosc)⋅2sincos，即sinc1+cosB=(−cosc)⋅sinB，整理得：sinc+sinA=sinB，由正弦定理得：a+c=23因为ac≤=b2，当且仅当a=c时等号成立，此时cosB=−1≥−,由于B∈0,π,而y=cosx在0,π上单调递减，故B的最大值为【变式5-1】4.已知=(3,−1),=tsin2x,cos2x−,函数f(x)=⋅.（1）若A={x|f(x)=0,x∈R},B=[−π,π]，用列举法表示A∩B；（2）求函数f(x)的单调递增区间以及当函数取得最大值时，和的夹角θ.,夹角为.（2）结合正弦函数性质可求得f(x)的增区间和最大值，及相应的x值，从而向量确定，由向量的夹角公式求夹角.【详解】（1）由题意f(x)=3sin2x−cos(2x−)=3sin2x−(cos2x+sin2x)=sin2x−cos2x=sin(2x−)，f(x)=sin(2x−)=0，2x−=kπ,x=+,k∈Z，A∩B={−,−,,}；（2）由（1）f(x)=sin(2x−)，∴增区间为[kπ−,kπ+]，k∈Z.f(x)max=1，此时2x−=2kπ+，x=kπ+，k∈sin2x=sin(2kπ+)=sin=，cos(2x−)=cos(2kπ+)=cos=，∴<,>=.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，考查三角函数的图象与性质，考查数量积与求向量的夹角．三角函数问题中的函数常常化为f(x)=Asin(wx+φ)形式，然后结合正弦函数性质解题，向量夹角公式为：cos<,>=【变式5-1】5.在△ABC中的内角A、B、C，sin(A−B)=sinC−sinB，D是边BC的三等分点（靠近点Bt=.（1）求A的大小.（2）当t取最大值时，求tan∠ACD的值.【详解】试题分析;（1）由sin(A−B)=sinC−sinB，可得sinB=sin(A+B)−sin整理得sinB=2cosAsinB.又sinB≠0，所以cosA=，即A=.（2）设BD=x，∠BAD=θ,θ∈0,，则DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC=sin−θ).又sinC=sin−B)=cosB+sinθ,由cosB+sinθ)，得cosB=tcos+θ).因为sin2B+cos2B=t2sin2θ+t2cos2+θ)=1，所以t.因为θ∈0,，所以−<2θ−<.所以当2θ−=0，即θ=时，t取得最6大值3+1，由此可得，tan∠ACD=试题解析1）因为sin(A−B)=sinC−sinB，所以sinB=sinC−sin(A−B)，即sinB=sinA+B−sinA−B，整理得sinB=2cosAsinB.又sinB≠0，所以cosA=，即A=.（2）设BD=x，∠BAD=θ,θ∈0,，则DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC==sin−θ).又sinC=sin−B)=cosB+sinB=cosB+sinθ,由cosB+sinθ=sin−θ)，得cosB=tcos+θ).因为sin2B+cos2B=t2sin2θ+t2cos2=1，所以t2=.因为θ∈ ,所以B=，tan∠ACD=tan【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力.2.“重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”【例题6】已知函数f(x)=3sincos+cos2+3coswx+-(w>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为.（1）求函数y=fx的解析式：（2）已知角α,β,θ满足：f.f)=-且α+β=，tanθ=2，求的值.【答案】（1）f(x)=2cos2x2【分析】（1）化简函数得到f(x)=2coswx，根据周期为T=π,计算得到答案.（2）代入数据得到cosα.cosβ=-，计算cos(α+β)得到sinα.sinβ=，最后利用齐次式计算得到答案.【详解】（1）f(x)=3sinwx+1+coswx+3coswx+π-1=sinwx+coswx+3coswx+=sinwx++3coswx+=2sinwx+=2coswx由条件可得T=π,所以w=2，则f(x)=2cos2x（2）“f.f)=2cosα.2cosβ=-2:cosα.cosβ=-又“cos(α+β)=cosα.cosβ-sinα.sinβ=--sinα.sinβ=cos=-:sinα.sinβ=∴原式=(sinαcosθ+cos)osθ+cosβsinθ)sinαsinβcos2θ+cosαcosβsin2θ+sin(α+β)sinθcosθcos2θ-sin2θcos2θ-sin2θ+sinθcosθcos2θ-sin2θ:w=1；【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式I三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键I需要熟练掌握.【变式6-1】1.已知函数f（x）=2sinwxcoswx-23sin2wx+3（w＞0）I直线x=x1Ix=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴I且Ix1-x2I的最小值为.(Ⅱ)求函数f（x）的单调增区间；(Ⅲ)若f(α)=I求sinπ-4α)的值.见解析；7-.0【详解】试题分析I）利用二倍角公式即辅助角公式I化简函数I利用直线x=x1Ix=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴I且Ix1-x2I的最小值为I可得函数的最小正周期为πI根据周期公式I可求w的值；（II）利用正弦函数的单调性I可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=I可得sin（2a+=I根据sinπ-4a）=sin-2（2a+]=-cos[2（2a+]=2sin2（2a+-1I即可求得结论.解I）:f（x）=2sinwxcoswx-23sin2wx+3=sin2wx+3cos2wx=2sin（2wx+:直线x=x1Ix=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴I且Ix1-x2I的最小值为I:函数的最小正周期为π:=π∴+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[+kπ,+kπ]，k∈Z；∴sinπ﹣4a）=sin2（2a+]=﹣考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性.【变式6-1】2.已知函数f(x)=2sin(wx+φ)(w>0,φ<)图象的一条对称轴方程为x=，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)若sin4α−cos4α=−,α∈0,，求fα+.【答案】(1)f(x)=2sin2x+【分析】(1）先求出周期,由此求出w的值,利用对称轴方程求出φ,即可得到函数的解析式;(2)利用平方差公式以及同角三角函数关系式,结合二倍角的余弦公式,求出cos2α,由此得到sin2α,然后利用两角和差公式求解即可.因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为，6故f(x)=2sin2x+π;6当sin4α−cos4α=−,α∈0,时，因为sin4α−cos4α=(sin2α−cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α−cos2α=−cos2α=−故cos2α=，因为α∈0,，所以sin2α=，则fα+=2sin2α+)+=2sin2α+)=2sin2αcos+2cos2αsin=.【变式6-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinwx(sinwx+coswx)−w>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.(1)求f(x)的单调递增区间以及f(x)图象的对称中心坐标；(2)是否存在锐角α,β,使α+2β=，f(α+)⋅f(2β+)=若存在，求出角α,β的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)递增区间为[−+4kπ【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；（2）由诱导公式可得f(α+)⋅f(2β+)=sincosβ=，又α+2β=，代入化简解：f(x)=sinwx(sinwx+coswx)−=sin2wx+sinwxcoswx−=+sin2wx−=sin2wx−cos2wx=sin(2wx−)，由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,得f(x)的最小正周期T=4π=，解得w= 1 .4所以f(x)=sin(x−)，由−+2kπ≤x−≤+2kπ（k∈Z得−+4kπ≤x≤+4kπ（k∈Z所以f(x)的递增区间为[−+4kπ,+4kπ]（k∈Z由x−=kπ（k∈Z得x=+2kπ（k∈Z所以f(x)图象的对称中心的坐标为(+2kπ,0)（k∈Z）.因为f(α+)=sin，f(2β+)=sin(β+)=cosβ,所以f(α+)⋅f(2β+)=sincosβ=，所以sincosβ=.又α+2β=，α=−2β,所以sincosβ=sin(−β)cosβ=，即(cosβ−sinβ)cosβ=，即cos2β−sinβcosβ=，即×−sin2β=，即3cos2β−sin2β=0，所以tan2β=3，由β为锐角，得0<2β<π,所以2β=，β故存在α=，β=符合题意.【变式6-1】4.（2022·全国·高三专题练习）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.①图象上一个最低点为M,−2)；②直线x=是其图象的一条对称轴；③点N(,0)是其图象的一个对称中心.问题：已知函数fx=4coswxsinwx+φ−1w>0,0<φ<的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且.（1）求fx的解析式；（2）若α为锐角，且f=，求fα+的值.【答案】条件选择见解析.（1）fx=2sin2x+2【分析】（1）先化简fx，由题意计算出w的值，若选①将最低点M,−2)代入，计算出结果；若选②,x=是一条对称轴求得φ的值，即可得到结果；选③将N(,0)代入求得φ的值，计算出结果；（2）由题意计算出sinα+和cosα+的值，即可计算出结果.【详解】（1）fx=4coswxsin(wx+φ)−1=2cosφsin2wx+2sinφcos2wx+2sinφ−1=2sin2wx+φ,+2sinφ−1，相邻交点距离，可得若选择条件①,由最小值点M,−2)，则f=−2，即2所以fx=2sin2x+；若选择条件②,因为一条对称轴为x=，所以2+φ=+kπk∈Z⇒φ=+k所以fx=2sin2x+；若选择条件③,2+φ=kπk∈Z⇒φ=kπ−,所以fx=2sin2x+；α2（2）因为α2=2sinα+π=当t∈,时，sint=<sin60°=，则t∈,；当t∈,时，sint=<sin60°=，则t>，矛盾.∴f(α+)=2sin2α+)+=2sin2α+=2sin2t=4sintcost=48【变式6-1】5.（2022·浙江·高三专题练习）已知函数f(x)=2sin(wx+φ)(0<w<6,|φ|<,f(x)的图象的一条对称轴是x=，一个对称中心是,0).（1）求f(x)的解析式；（2）已知△