数学-四川省部分学校2025届高三12月联考试题和答案

2025届高三数学试题参考答案 /(—2)2十(—2)2=2\.2.CA={父|父2—4父十3=0}={1,3},B中最多只有2个元素.又因为A∈B,所以A=B,所以a=(1—2)2=1.3.Cf(父)的最大值为1,则g(父)的最大值为2.4.A=2,因为fI=6父2十—1,所以fI所求的切线方程为y—2=6(父—父1),即y=6父—4.5.C因为0<α<β<,所以0<α十β<π,0<β—α<.所以sin2β=sin[(α十β)十(β—α)]=sin(α十β)cos(β—α)十cos(α十β)sin(β—α)min=2,所以(.)min=22—1=3.7.C由题意可得,圆锥底面圆的直径为4,圆锥外接球的大圆为圆锥轴截面的外接圆,由正弦 定理知圆锥轴截面的外接圆半径(即球的半径)为,所以该圆锥外接球的表面积为4π×8.B由题意,各图中所含小正方形和小长方形的总个数分别为1十4,1十4十4×2,1十4十4×2十4×3,归纳可得,第n个图案中的小正方形和小长方形的总个数为1十4十4×2十4×3十…十4n=1十=2n2十2n十1,故第10个图案中的小正方形和小长方形共有221个.9.AD不妨设父1≤父2≤父3,父1I≤父2I≤父3I.因为这2组数据的中位数相同,所以父2=父2I.因为这2组数据的平均数相同,所以父1十父3=父1I十父3I①.因为这2组数据的极差相同,所以I,所以这2组数据相同,这2组数据的方【高三数学●参考答案第1页(共6页)】差也一定相等,A正确.若这2组数据分别为1,2,6和0,4,5,则这2组数据的平均数、方差、极差均相等,中位数不相等,D正确.10.BCDf(0)不一定为0,A错误.因为f(父)不是奇函数,所以3父∈R,f(—父)≠—f(父),B正确.f(父)=—|父|十1不是奇函数,且f(—1)=—f(1),符合题意,C正确.f(父)=,父≥0,不是奇函数,且f(—1)=—f(1),符合题意,D正确.11.ABD联立解得,或所以直线y=父与C只有2个公共点,A正确.因为点P(父0,y0)在C上,且父0>0,y0>0,所以3父y0—y=2>0,即,B正确.联立化简得4y3—3y十1=4(y十1)(y2=0,解得y=—1或y=.若y=—1,则父=0,若y=AY,则父=±,所以圆父2十y2=1与C有3个公共点,如图所示,所以C上的点到原点的距离的最大值即C与圆父2十y2=1的交点到原点的距离的最大值,最大值为1,C错误,D正确.12.60首先从6名志愿者中选1名去完成A工作,方法数为C;然后从其余5名志愿者中选2名去完成B工作,方法数为C;最后剩下的3名志愿者去完成C工作.故不同的安排方法共有C●C=6×10=60种.13.\,5不妨取双曲线C的一条渐近线y=父,联立1,得父2—父十1=0,Δ=●sin父十=0.显然父=0是f(父)的一个零点.2222因为—1≤sin父≤1,所以父24≤1,即父2十≤π|父|,配方得2≤0,当|2222因为—1≤sin父≤1,所以父24≤1,即父2十≤π|父|,配方得2≤0,当|父|=【高三数学●参考答案第2页(共6页)】222时,等号成立,所以当父=±2时,父—π父sin父十4=0,故f(220,—,,则g(父1)十g(父2)十…十g(父n)=2.15.解:(1)在△ACD中,cosC=AC2D2C2=.…………………3分在△ABC中,AB=\/AC2十BC2—2AC●BCcosC=\10.……………6分因为tanB=3,所以cosB=,sinB=.…………………8分 在△ABD中,AD2=AB2十BD2—2AB●BDcosB,解得AB=\10(AB=—舍去).…………………………11分△ABC的面积为AB●BCsinB=6.…………………13分22所以椭圆C的方程为十y9=1.…………522所以椭圆C的方程为十y9=1.…………5分联立,解得或即D3,.…………………8分kAB=则直线AB的方程为y=父十3,即\3父—2y十6=0.……10分|AB|=\21.设点D到直线AB的距离为d,d=,……………13分则S△ABD=|AB|●d=.………15分17.(1)证明:在△PCD中,E为CD的中点,所以PE丄CD,PE=\3CE.…1分因为平面PDC丄平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PEG平面PDC,所以PE丄平面ABCD.因为BE,ABG平面ABCD,所以PE丄BE,PE丄AB,上PEB=90。.…3分因为AB丄PB,PE∩PB=P,PE,PBG平面PBE,所以AB丄平面PBE.【高三数学●参考答案第3页(共6页)】因为BEG平面PBE,所以AB丄BE,所以上ABE=上BEC=90。.……4分因为BC,所以BE=\CE,……………5分所以PE=BE,△PBE为等腰直角三角形.………………6分AP(2)解:设DC=2,以E为坐标原点,EB,EC,EP所在直线分别为父,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则APDECyA(\,—2,0),D(0,—1,0).……8DECyAB=(\3,—2,—\3),=(0,1,\3).…………9AB易得平面PDC的一个法向量为n=(1,0,0).…10分设平面ADP的法向量为m=(父,y,z),!mDP=y十\3z=0,取y=\3,则m=(1,\i3,—1)!mDP=y十\3z=0,设二面角A-DP-C的大小为θ(0≤θ≤π),|cosθ|=|cos,……………… 故二面角A-DP-C的正弦值为.……………………15分证明:M当父∈(—∞,1)U(1,2)时,SI(父)<0;当父∈(2,十∞)时,SI(父)>0.所以S(父)在(—∞,1),(1,2)上单调递减,在(2,十∞)上单调递增,则2是S(父)的极小值点,故存在点P(2,e2),使得点P是M在f(父)的“边界点”.………………4分(2)解:M(0,0),S(父)=父4a父2=父3十a父(父≠0),SI(父)=父2十a(父≠0).因为不存在点P,使得点P是M在f(父)的“边界点”,所以S(父)没有极值点.若a≥0,则SI(父)>0,S(父)没有极值点.若a<0,则当父∈(—∞,—\—a)U(\—a,十∞)时,SI(父)>0,当父∈(—\,0)U(0,\/—a)时,SI(父)<0,所以S(父)在(—\—a,0),(0,\—a)上单调递减,在(—∞,—\—a),(\—a,十∞)上单调递增,所以—\是S(父)的极大值点,\/—a是S(父)的极小值点.综上,a的取值范围为[0,十∞) 8分【高三数学●参考答案第4页(共6页)】(3)解:M(0,0),S(父)=父=(父十a)ln父,SI(父)=ln父十因为存在两个不同的点P,使得点P是M在f(父)的“边界点”,所以S(父)有2个极值点.…………………………10分若a≤0,则gI(父)>0在(0,十∞)上恒成立,所以g(父)在(0,十∞)上单调递增,所以g(父)最多只有1个零点,即SI(父)最多只有1个零点,则S(父)最多只有1个极值点,不符合题意.…………………12分若a>0,则当父∈(0,a)时,gI(父)<0,当父∈(a,十∞)时,gI(父)>0,所以g(父)在(0,a)上单调递减,在(a,十∞)上单调递增.g(父)极小值=g(a)=lna十2.………………13分要使得S(父)有2个极值点,则g(父)有2个零点,当g(父)极小值≥0时,不符合题意.…………14分当g(父)极小值<0时,由lna十2<0,解得0<a<e—2.…………………15分此时,g(1)=a十1>0,所以h(a)在(0,e—2)上单调递减,h(a)>h(e—2)=e2—3>0,即g(a2)>0.所以3父1∈(a2,a),父2∈(a,1),g(父1)=g(父2)=0,当父∈(0,父1)U(父2,十∞)时,g(父)>0,当父∈(父1,父2)时,g(父)<0,所以S(父)在(父1,父2)上单调递减,在(0,父1),(父2,十∞)上单调递增.所以S(父)有2个极值点,符合题意.综上,a的取值范围为(0,e—2).……………17分19.解:(1)因为第1轮比赛甲、乙对打,所以第2轮比赛甲、乙不可能对打,则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打.第2轮比赛甲、丁对打的概率为.若第3轮比赛甲、丙对打,则第2轮比赛中甲胜丁,丙胜乙,或丁胜甲,乙胜丙.故所求概率为.………………4分(2)设在第n轮比赛中,甲、乙对打的概率为an,甲、丙对打的概率为bn,甲、丁对打的概率为cn,an十bn十cn=1①.………………………5分在第n十1轮比赛中,甲、乙对打的概率为an十1,甲、丙对打的概率为bn十1,甲、丁对打的概率为cn十1,【高三数学●参考答案第5页(共6页)】若在第n十1轮比赛中,甲、乙对打,则在第n轮比赛中,甲、丙对打,乙、丁对打,所以an十1=cn②.…………………7分同理可得bn十1=cn③,cn十1=bn④.……