2023-2024学年吉林省长春十一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省长春十一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合{x|(x−a2)(x−1)=0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为A.{0} B.{1} C.{−1,1} D.{0,−1,1}2.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x+sinx，当x<0时，f(x)的表达式为(

)A.x+sinx B.−x−sinx C.−x+sinx D.x−sinx3.如图所对应的函数的解析式可能是(

)A.f(x)=(x−1)ln|x|

B.f(x)=xln|x|

C.f(x)=(x−1)lnx

4.若角α的终边经过点A(−1,2sinα)，且α∈(0,π)，则α=(

)A.π6 B.π3 C.5π65.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b6.已知函数g(x)=|lnx|−(1e)x(e≈2.718)有两个零点x1A.x1x2<0 B.x1x7.定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)图象如图所示.给出下列四个命题，那么，其中正确命题是(

)

A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解 B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解

C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解 D.方程g[g(x)]=0有且仅有九个解8.已知函数f(x)=(x2−2x)⋅(ex−1+A.(−∞,2) B.(−1,2) C.(2,+∞) D.(1,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项中正确的有(

)A.若a>b，则ac2>bc2

B.若集合A={−1,2}，B={x|ax+2=0}，且B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是{−1,2}

C.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<3}，则不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x<110.下列式子成立的有(

)A.sin(−π18)>sin(−π10)11.已知函数f(x)=lnx−1−2x−1，则下列结论正确的是(

)A.f(x)的单调递增区间是(0,1)，(1,+∞)

B.f(x)的值域为R

C.f(log20232024)+f(log20242023)=1

D.若f(a)=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x>0，使2x+43x+2取得最小值时x的值为______．13.命题任意“x∈[1,3]，a≤2x+2−x14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)=log2(x+1)，给出下列结论：

①f(3)=1；②函数f(x)在[−6,−2]上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x=1对称；④若m∈(0,1)，则关于x的方程f(x)−m=0在[−8,16]上的所有根之和为12．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，点P到点(3,0)的距离与到直线x=−3的距离相等，记动点P的轨迹为C．

(1)求C的方程；

(2)直线l与C相切于点M，若点M的纵坐标为16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x(ex−ax2).

(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值．

(2)若f(x)在17.(本小题15分)

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．

(1)求B的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=4，求18.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，菱形ABCD的边长2，∠BAD=60°，PD=3．

(1)求直线PB与平面PDC所成角的正弦值；

(2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面DEF⊥PB，求线段DE的长度．19.(本小题17分)

学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛．

个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题A1，A2(判断对错)和4道连线题(由电脑随机打乱给出的四个数学定理B1，B2，B3，B4和与其相关的数学家b1，b2，b3，b4，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题)，要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功．

团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：

方式一：将班级选派的2n个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功，则该班级挑战成功．

方式二：将班级选派的2n个人平均分成2组，每组n人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功．

(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率．

(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题A1并且配对正确参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.CD

10.AD

11.ABD

12.613.{a|a>514.①④

15.解：(1)设P(x,y)，

因为点P到定点(3,0)与定直线x=−3的距离相等，

所以P点轨迹为开口向右的抛物线，且p=23，

则P点轨迹方程为y2=43x，

即C的方程为y2=43x；

(2)设M(x0,2)，

因为点M在C上，

解得x0=33，

设直线l的方程为x=m(y−2)+33，

联立x=m(y−2)+33y16.解：(1)f′(x)=ex−ax2+x(ex−2ax)=ex+xex−3ax2，

所以f′(−1)=−3a，因为曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，

所以f′(−1)=−3a=0，解得a=0，

所以f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，

当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x=−1处取得极小值为f(−1)=−1e，无极大值．

(2)若f(x)=x(ex−ax2)在(0,+∞)只有一个零点，即函数g(x)=ex−ax2在(0,+∞)只有一个零点，

即方程ex−ax2=0在(0,+∞)只有一个根，即a=exx2在(0,+∞)只有一个根，

即函数y=a与ℎ(x)=exx217.解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA，

∵sinA≠0，

∴sinA+C2=sinB，

∵sinA+C2=sin(π2−B2)=cosB2，又sinB=2sinB2cosB2，可得cosB2=2sinB2cosB2，

又∵cosB2≠0，

∴化简得sinB2=12，

∵0<B<π，

则0<B2<π2，可得B2=18.解：(1)过点B作BH⊥CD，垂足为H，

因为PD⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，

所以PD⊥BH，

又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PDC，

所以BH⊥平面PDC，PH⊂平面PDC，

所以BH⊥PH，

所以直线PB与平面PDC所成角为∠BPH，

由已知四边形ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，

所以△BCD为边长为2的等边三角形，故BH=3，

因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PD⊥BD，又PD=3，BD=2，

所以PB=13，

在△PHB中，PB=13，BH=3，∠PHB=90°，

所以sin∠BPH=BHPB=3913，

所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为3913；

(2)连接DG，点G为线段AB的中点，

由已知△ADB为等边三角形，所以DG⊥AB，又AB/​/CD，

所以DG⊥DC，又PD⊥平面ABCD，

以点D为坐标原点，DG，DC，DP为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，P(0,0,3)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，

故PB=(3,1,−3)，

设PE=λPC，则DE=DP+PE=(0,0,3)+λ(0,2,−3)=(0,2λ,3−3λ)，

因为PB⊥平面DEF，DE⊂平面DEF，

19.解：(1)记事件S为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，

则所求概率为：P(S)=12×C42A44=18；

(2)记事件A：甲同学挑战成功，

由题所求概率为：P(A)=