2023-2024学年广东省深圳市中科实验学校九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题中科实验学校2023-2024学年第一学期九年级上学期开学测试数学试卷一．选择题（共10小题，每题3分）1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列各式：，，，，，其中分式共有几个（）A. B. C. D.3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A. B.C. D.4.下列结论中，不正确的是（）A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.菱形的面积等于对角线乘积的一半D.一组对边平行，一组对边相等四边形是平行四边形5.如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（）A.与的周长相等 B.菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍C.与的面积相等 D.菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍6.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）A. B.C. D.7.如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（）A1 B.0 C. D.8.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A.3 B. C.3 D.9.已知，中，，，平分，，垂足为D，E为中点，连结，，则的值为（）A. B. C. D.10.如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（）A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④二．填空题（共5小题，每题3分）11因式分解：_______．12.如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB=3，AE=1，则BC=____．13.已知m是方程的一个根，则的值为________．14.关于的方程的解为正数，则a的取值范围为________．15.如图，E，F，G，H分别是正方形各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是__________．三．解答题（共7小题）16.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．17.先化简，再求值：，其中．18.解下列方程：（1）；（2）．19.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的A1B1C1；（2）请画出ABC绕原点逆时针旋转90°后得到的A2B2C2；（3）在平面内有一动点P，使得以点P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的个数为．20.在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A、B两种不同型号口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？21.如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F．过点F作于点G，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）若，，求的长．22.已知正方形与正方形，点是的中点，连接，．（1）如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长____________________．

中科实验学校2023-2024学年第一学期九年级上学期开学测试数学试卷一．选择题（共10小题，每题3分）1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．2.下列各式：，，，，，其中分式共有几个（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分式的概念进行判断.【详解】，，，，，中分式有：,,共计3个.故选C.【点睛】考查分式的概念，解题关键是抓住：判断一个式子是不是分式，要看分母中是否含有未知数；分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．3.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】解：A.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；B.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；C.在中，，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；D.将整理得：，，所以该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．4.下列结论中，不正确的是（）A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.菱形的面积等于对角线乘积的一半D.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】D【解析】【分析】由菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的性质与判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；C．菱形的面积等于对角线乘积的一半，故选项C不符合题意；D．一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键．5.如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（）A.与的周长相等 B.菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍C.与的面积相等 D.菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍【答案】C【解析】【分析】利用菱形的性质依次进行判断即可．【详解】解：A．在菱形中，，∵由图可知，的周长，的周长，∴的周长大于的周长故选项错误，不符合题意；B．菱形的周长与两条对角线之和无关，故选项错误，不符合题意；C．，，则与的面积相等，故选项正确，符合题意；D．菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质的运用，正确灵活的运用菱形的性质是解决问题的关键．6.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据用元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，．故选：B【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．7.如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，然后进行分类讨论，当时，当时，即可解答．【详解】解：根据题意可得：，解得：，当时，，不符合题意，当时，，符合题意，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A.3 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由矩形的性质得OA＝OB，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AO，则OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝1，∴BD＝2，∴AD＝＝＝，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，求出BD＝2是解题的关键．9.已知，中，，，平分，，垂足为D，E为中点，连结，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延长与相交于点F，过点B作于M，根据等腰三角形的性质可得，用三角形的中位线定理可得，确定的长，并计算的长，由面积法可得和的长，最后由面积法可得结论．【详解】解：如图，延长与相交于点F，过点B作于M，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵E为中点，∴是的中位线，∴，∴，由勾股定理得：，∵∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得：，∵，即，∴．故选D．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．10.如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（）A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④．【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴；故①正确；过B作，交的延长线于F，则，∵，

∴，，又∵，∴，即点B到直线的距离为1，故②不正确；如图，连接，∵，∴，，∴，故③正确；∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故④正确，综上可知，①③④正确，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．二．填空题（共5小题，每题3分）11.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：，故答案：．【点睛】本题考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．12.如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB=3，AE=1，则BC=____．【答案】4【解析】【分析】只要证明DE=DC=3，AD=BC=4，即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECD，∴∠DEC=∠ECD，∴DE=CD=3，∴AD=AE+DE=1+3=4．∴BC=4．故答案为4．【点睛】题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13.已知m是方程的一个根，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据m是方程的一个根，得出，代入即可求解．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据题意得出．14.关于的方程的解为正数，则a的取值范围为________．【答案】且【解析】【分析】方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，它的解为含有a的式子，解为正数且最简公分母不为零，得到关于a的一元一次不等式，解之即可．【详解】方程两边同乘(x−1)得：2−(5-a)=-2(x−1)解得：x=∵x>0且x−1≠0，∴解得：a<5且a≠3故答案为：a<5且a≠3【点睛】本题考查了分式方程解的定义，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于零的未知数的值，这个值叫分式方程的解，考查了一元一次不等式组的解法，求解每个不等式，再求两个不等式解集的公共部分即可．15.如图，E，F，G，H分别是正方形各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是__________．【答案】5

【解析】【分析】根据正方形的对称性，将空白处的三角形旋转即可得到4个与阴影部分全等的正方形，据此即可求解．【详解】解：由正方形的对称性可知：把所有空白处拼起来可以得到4个与阴影部分全等的正方形故阴影部分的正方形面积是大正方形的面积的所以大正方形的面积是，边长是.故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方的性质，掌握相关结论是解题的关键．三．解答题（共7小题）16.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】-2≤x＜3，表示见解析【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解：由题意得，解不等式①，得x<3，解不等式②，得x≥-2，故不等式组的解集为-2≤x＜3，在数轴上表示为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先计算括号内加法，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：当时，原式【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．18.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）运用公式法解方程即可；（2）方程整理后，运用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：，，∴，【小问2详解】解：，整理得，，∴或∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，能够选择适当的方法解方程式解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解等．19.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的A1B1C1；（2）请画出ABC绕原点逆时针旋转90°后得到的A2B2C2；（3）在平面内有一动点P，使得以点P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的个数为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；（2）根据网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对称点A2、B2、C2即可；（3）把AB平移使B点与C点重合，则A点的对应点为P1，同理方法可画出P2、P3．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，P1、P2、P2为所作，所以满足条件的点P的个数为3．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平行四边形的判定与平移变换．20.在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？【答案】（1）A型口罩的单价是4元，B型口罩的单价是2.5元（2）800个【解析】【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过7200元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【小问1详解】设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是元，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．答：A型口罩的单价是4元，B型口罩的单价是2.5元．【小问2详解】设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是个，依题意得：，解得：．答：增加购买A型口罩的数量最多是800个．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找出关键描述，找出合适的数量关系是解决问题的关键．21.如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F．过点F作于点G，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质先证得，再利用全等三角形判定证得，得到，求出，进而推出四边形是平行四边形，并根据证得四边形是菱形；（2）首先利用勾股定理求出，设，然后用x表示出和，再在中，利用勾股定理构建方程，求出x即可．【小问1详解】证明：∵，，∴，∴，∵，即，且平分，，∴，∵，，∴，∴，