2023-2024学年广东省深圳市南山第二外国语学校九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题南山第二外国语学校集团2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.搭载神舟十六号载人飞船长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若分式的值为0，则的值为（）A. B.7 C.7或 D.493.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A. B. C. D.4.已知，则下列不等式一定成立是（）A. B.C. D.5.矩形不具有的性质是（）A.四个角都相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分6.如图，在中，，，，则与间的距离为（）A.5 B.10 C. D.267.如图，在等腰中，，，，的度数为（）A. B. C. D.8.如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.49.为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（）A. B.C. D.10.菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A. B. C. D.二．填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：____________．12.关于x的一元二次方程的两根之和为______________．13.如图，ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为ACE的中位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．14.已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形的边长及等腰三角形、的腰长都是定值且相等．如图2，载物台到水平底座的距离为，此时；如图3，当时，载物台到水平底座的距离为_____________（结果精确到，参考数据：，）．15.如图，正方形的对角线交于点O，以为边向外作，，连接，，，则另一直角边的长为_____．三．解答题（共55分）16.（1）解不等式组：；（2）解方程：．17.先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．18.如图，四边形平行四边形，过点D作于点E，点F在边上，，连接，（1）求证：四边形是矩形（2）若是的平分线.若，，求的长19.如图，在等边三角形中，点D是边上的一点，连接．（1）尺规作图：在的右侧作等边三角形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，作边上的点F，且，连接，请在图中找到一个与相等的角，即________．20.2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．（1）该校第一次购置AED设备多少台？（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？21.教材再现：（1）如图1，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为．知识应用：（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积．22.【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．

南山第二外国语学校集团2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；、是中心对称图形，此选项符合题意；、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；故答案为：．【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．2.若分式的值为0，则的值为（）A. B.7 C.7或 D.49【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0，即可求解．【详解】∵分式的值为0，∴且，解得：，故选：A【点睛】本题考查分式值为0的条件，解题的关键是明确分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0．3.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义得出即可．【详解】解：A、左边不是多项式，从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C、从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断出、、的等式关系不成立，从而求出这道题的答案．【详解】解：A、，根据不等式的加法性质，不等式两边同时加上相同的数，不等号的方向不变，故不成立．B、，根据不等式的减法性质，不等式两边同时减去相同的数，不等号的方向不变，故成立．、由于是正数还是负数或是零不确定，因此也就不确定是否大于，故不成立．D、为正数，根据不等式的乘法性质，可推出，故不成立．故选：．【点睛】本题主要考查的是不等式的性质．解题的关键是明确在解题过程中根据不等式的乘法性质，不等式两边同时乘以的是正数还是负数或是0．5.矩形不具有的性质是（）A.四个角都相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】与平行四边形相比，矩形四个角是直角，对角线相等，据此逐一判断即可．【详解】解：A、四个角都相等是矩形的基本性质，故不符合题意；

B、对角线相等是矩形的基本性质，菱形不具有，故不符合题意；

C、对角线互相垂直是菱形的基本性质，矩形不具有，符合题意；

D、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具有，故不符合题意．

故选：C．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．6.如图，在中，，，，则与间的距离为（）A.5 B.10 C. D.26【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，与互相平分，推得，根据勾股定理求得，推得，即可求解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，与互相平分，又∵，∴，在中，，∴，故与间的距离为10；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线间的距离，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．7.如图，在等腰中，，，，的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据“等边对等角”求出，进一步求出，最后根据得出答案．【详解】解：∵，，∴．∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8.如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案．【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位，由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位，则，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9.为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据月平均增长率为x，可知第二个月进馆人次为，第三个月进馆人次为，根据三个月进馆人次列方程即可．【详解】解：由题意，第二个月进馆人次用含x的代数式表示为：，第三个月进馆人次用含x的代数式表示为：，∵到第三个月月末累计进馆6080人次，∴．故选：A．【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是理解月平均增长率的含义．10.菱形边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积．【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接，相交于点O，与交于点E，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴，，∴，∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，∴，∴A，，C三点共线，∴，又∵，∴，，∵重叠部分的面积，∴重叠部分的面积；②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：____________．【答案】【解析】【分析】直接利用完全平方公式即可求解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．12.关于x的一元二次方程的两根之和为______________．【答案】【解析】【分析】利用根与系数的关系进行求值．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．13.如图，ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为ACE的中位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．【答案】126°【解析】【分析】设∠EBC=∠ECB=x，利用垂直平分线和外角和中位线的性质表示∠DFG，从而可求得x，由此可求得∠AED．【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，设∠EBC=∠ECB=x，∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=2x，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACE=x，∵FG是△ACE的中位线，∴FG∥AC，∴∠EFG=∠ACE=x，∵D为BC的中点，F为CE的中点，∴DF∥AB，∴∠EFD=∠AEF=2x，∵∠DFG=∠GFE+∠EFD=x+2x=3x，∴3x=108°，∴x=36°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=2x+90°-x=90°+x=90°+36°=126°，故答案为：126°．【点睛】此题考查三角形的中位线定理，关键是根据线段平分线、角平分线以及三角形中位线定理解答．14.已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形的边长及等腰三角形、的腰长都是定值且相等．如图2，载物台到水平底座的距离为，此时；如图3，当时，载物台到水平底座的距离为_____________（结果精确到，参考数据：，）．【答案】【解析】【分析】如图2，连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，由题意易得MN=60cm，然后可得OM=15cm，则OA=30cm，如图3，连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，同理可得，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图2，连接OP并延长，交AB、EF于点M、N，连接CD，与MN交于点Q，∵四边形是菱形，等腰三角形、的腰长都是定值且相等，∴，，∵载物台到水平底座的距离为，∴，∴，∵，∴，∴，如图3，连接OP并延长，交AB、EF于点G、H，同理可得，∵，∴△OAB是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案为85．【点睛】本题主要考查菱形的性质、正方形的性质及二次根式的运算，熟练掌握菱形的性质、正方形的性质及二次根式的运算是解题的关键．15.如图，正方形的对角线交于点O，以为边向外作，，连接，，，则另一直角边的长为_____．【答案】10【解析】【分析】过点O作于点M，作，交的延长线于点N，根据，易得四边形是矩形，，根据正方形对角线性质得到，，得到，推出，推出，推出四边形是正方形，根据，推出，推出，推出．【详解】解：过点O作于点M，作，交的延长线于点N，则，∵，∴四边形是矩形，，∵正方形的对角线交于点O，∴，，∴∴，∴，∴，，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，等腰直角三角形．解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直三角形边的性质．三．解答题（共55分）16.（1）解不等式组：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．（2）利用配方法求解可得．【详解】解：（1），解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为；（2），∴，∴，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及配方法解一元二次方程是解答此题的关键．17.先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．【答案】；，原式=【解析】【分析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可．【详解】解：原式∵，，∴，，，∴，∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．18.如图，四边形是平行四边形，过点D作于点E，点F在边上，，连接，（1）求证：四边形是矩形（2）若是的平分线.若，，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】【分析】（1）根据矩形的判定方法：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可；（2）根据角平分线的性质和平行四边形的性质证明即可求出答案．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形性质、矩形的性质等，灵活运用所学知识是解题关键．19.如图，在等边三角形中，点D是边上的一点，连接．（1）尺规作图：在的右侧作等边三角形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，作边上的点F，且，连接，请在图中找到一个与相等的角，即________．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）分别以点A、D圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接即可；（2）连接，证明，可得，然后可证是等边三角形，进而证明四边形是平行四边形，据此求解即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；；【小问2详解】证明：连接．∵都是等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查作图－复杂作图，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．20.2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．（1）该校第一次购置AED设备多少台？（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？【答案】（1）第一次购买AED设备4台（2）最多可购买立式存储柜2个【解析】【分析】（1）设第一次购买AED设备台，则第二次购买AED设备台，根据“每台价格是第一次每台价格的”建立方程，解方程即可．（2）设购买立式存储柜个，则购买壁挂式存储柜个，并根据“要使购买存储柜的总费用不超过7000元”可列不等式，求解可得出结论．【小问1详解】设第一次购买AED设备台，根据题意，得解，得，经检验，是原方程的解，答：第一次购买AED设备4台；【小问2详解】设购买立式存储柜个，则购买壁挂式存储柜个，根据题意，得，解，得，因为为正整数，所以的最大值为2，答：最多可购买立式存储柜2个.【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21.教材再现：（1）如图1，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为．知识应用：（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积．【答案】（1）（2）定值，（3）【解析】【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论；（2）连接，过点M作于H，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题；（3）连接，，，由，求得，由，得，从而求出．【详解】解：（1）如下图，设与的交点为O，连接，四边形是矩形，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：；（2）四边形是矩形，，，，，如下图，连接，过点M作于H，则四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，