2023-2024学年广东省广州市五校联考高一下学期期末数学试题及答案

试题PAGE1试题2023学年下学期高一期末五校联考试卷数学命题学校；广东实验中学命题人：高一备课组本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1.开考前，考生务必用黑色字进的钢笔或签字笔格自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的铜笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若复数满足，则（）A2 B.2023 C. D.13.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，5.函数（且）的大致图象是（）A. B.C. D.6.已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（）A.事件A与事件B互斥 B.C. D.事件A与事件B相互独立7.已知函数，则图象有如下性质（）A.关于点中心对称 B.关于直线轴对称C.关于点中心对称 D.关于点中心对称8.已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A B. C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名10.如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.直线与直线的夹角为D.若，则平面与平面的夹角为11.已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.5三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为_______.13.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则______．14.函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，函数的“囧点”坐标为______________；此时函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为_____________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设函数，若的最大值为，其中，求的值.16.为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数；（2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；（3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）；17.中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点D在边上，且直线平分.（1）求证：；（2）若，.①求面积S的最大值；②若和的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围.18.如图1，在矩形中，已知，，E为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）.（1）若，求异面直线与的夹角；（2）求证：；（3）在翻折过程中，当二面角为时，求四棱锥的体积.19.对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…，，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列．（1）若，写出，并求；（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由：（3）若数列满足，求数列A的个数．2023学年下学期高一期末五校联考试卷数学命题学校；广东实验中学命题人：高一备课组本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1.开考前，考生务必用黑色字进的钢笔或签字笔格自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的铜笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】不等式化为：，解得，即，而，所以.故选：C2.若复数满足，则（）A.2 B.2023 C. D.1【答案】D【解析】【分析】先利用虚数单位的性质化简，从而解方程，结合复数的四则运算求得，再利用共轭复数的定义与模的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，即，故，则，故，，故选：D.3.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数和余弦函数单调性，结合临界值进行判断即可.【详解】，.故选：B.4.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，【答案】C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误．【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误；对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直，也可能相交不垂直，故B错误；对于C：由，，则，又，则，故C正确；对于D：，或，故D错误.故选：C.5.函数（且）的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可将函数化简为，从而可求解.【详解】由题意，，化简得，根据函数的图象和性质，可得在内为增函数且为正值，在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.故选：C.6.已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（）A.事件A与事件B互斥 B.C. D.事件A与事件B相互独立【答案】D【解析】【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确.【详解】易知，同理可得，；由可得，即，对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误；对于B，显然，即B错误；对于C，由可得，即所以，即C错误；对于D，易知，满足独立性定义，即D正确故选：D7.已知函数，则图象有如下性质（）A.关于点中心对称 B.关于直线轴对称C.关于点中心对称 D.关于点中心对称【答案】C【解析】【分析】根据判断出C正确，AD错误；根据得到B错误.【详解】ACD选项，，故，故关于点中心对称，C正确，AD错误；B选项，，故不关于直线轴对称，B错误.故选：C8.已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，，，两边平方，整理得到，对任意实数恒成立，则，解得，则.由于，如上图，，则，则的最小值为．当且仅当终点在同一直线上时取等号.故选：B．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名【答案】ACD【解析】【分析】利用扇形图的数据得到及格率判断A；求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数判断B；求出中位数和平均数，比较大小判断C；求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数判断D.【详解】由图知，及格率为，A正确；该测试满分同学的百分比为，则有名，B错误；由图知，中位数为80分，平均数为分，C正确；由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有，D正确.故选：ACD10.如图，已知三棱柱，平面，，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.直线与直线的夹角为D.若，则平面与平面的夹角为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面平行判定定理求证，即可判断A；根据线面垂直关系先证明平面，从而得，由结合线面垂直的判定定理，即可判断B；由，，可得是等腰直角三角形，从而可得直线与直线的夹角，即可判断C；连接，先证明平面，由线面垂直关系确定平面与平面的夹角，结合三角形边角可求得夹角大小，即可判断D.【详解】因为分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，则平面，故B正确；由于为中点，且，，因此是等腰直角三角形.是的中点，则，故直线与直线的夹角为，故C错误；连接，由于，平面，所以平面，又平面，则，因此平面与平面的夹角为，由于，因此，则，因此，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】BCD【解析】【分析】根据两集合相等可以确定，则B集合中不等式可转化为，然后利用判别式法解不等式组即可求得答案.【详解】由题意知：，由知：即,由可知：且为此时须满足，解得，故实数a的取值范围是，因此a的取值可以是3,4,5，故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数概率为_______.【答案】##【解析】【分析】先计算从这个数中任意选个的情况总数，再计算当个数之和为偶数的情况数，然后利用古典概型的概率计算方法求解即可.【详解】总共个数字，选个，总共种选法，个数之和是偶数，则为两个奇数一个偶数，共有种选法,故从这个数中选个不同的数且和为偶数的概率为.故答案为：.13.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则______．【答案】【解析】【分析】依题意可得，同除，再由余弦定理、正弦定理将边化角得到，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】因为，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以.故答案为：14.函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，函数的“囧点”坐标为______________；此时函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：直接求出与y轴的交点即可求解；第二空：画出函数图象，考虑轴及轴右侧的图象，轴下方的函数图象显然过点时面积最小，轴上方的图象，设出公共点，表示出半径的平方，借助二次函数求出最小值，再比较得出半径最小值即可求解.【详解】第一空：由题意知：，，，故与y轴的交点为，则“囧点”坐标为；第二空：画出函数图象如图所示：设，，圆心为，要使“囧圆”面积最小，只需要考虑轴及轴右侧的图象，当圆过点时，其半径为2，是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设，则点到圆心的距离的平方为，令，则，当即时，最小为3，，显然在所有“囧圆”中，该圆半径最小，故面积的最小值为.故答案为：；.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设函数，若的最大值为，其中，求的值.【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式计算可得，可求得最小正周期和单调递增区间；（2）整理可得，由辅助角公式可得，结合可得.【小问1详解】易知，所以的最小正周期为，令，可得，因此的单调递增区间为【小问2详解】易知，其中，当取最大值为时需满足，可得，即，由可得，易知，解得，又，可得.16.为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数；（2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；（3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得；（2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解.（3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差.【小问1详解】由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，所以成绩在分以下的学生所占的比例为，成绩在分以下的学生所占的比例为，所以成绩的第分位数一定在内，即，因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为；【小问2详解】因为，，，所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为，则从人中选择人作为学生代表，有，共种，其中人均为航天达人为共种，所以被选中的人均为航天达人的概率为．【小问3详解】内的频率为，内的频率为，内的平均数为，内的平均数为，内的平均数为，又组的方差为12，组的方差为8，所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为.17.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边上，且直线平分.（1）求证：；（2）若，.①求面积S的最大值；②若和的内切圆半径分别是r和R，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）①3，②【解析】【分析】（1）设边上的高为，则表示出和，两式子相比可证得结论；（2）①设，由余弦定理结合三角形的面积公式可得，化简换元后可利用基本不等式求出其最大值；②利用等面积法可得，则，而，代入化简可求得结果.小问1详解】证明：设边上的高为，则，，因为直线平分，所以，所以，所以；【小问2详解】①设，因为，，所以由（1）可知，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，所以S的最大值为3；②在中，因为，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，因为，，所以，所以，，因为，且，所以，所以，则，所以，所以，所以，所以，即.【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，考查向量的数量积运算，考查基本不等式的应用，第（2）问解题的关键是利用三角形中等面积法表示出，利用向量的运算表示出，考查计算能力，属于难题.18.如图1，在矩形中，已知，，E为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）.（1）若，求异面直线与的夹角；（2）求证：；（3）在翻折过程中，当二面角为时，求四棱锥的体积.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证，则为异面直线与的夹角，计算可求（2）在矩形中，可证明，则在翻折过程中，从而可证明平面，从而可证明结论.（3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接.可证明是二面角的平面角，设，可得，进而求得，可求体积.【小问1详解】取的中点，连接，又为的中点