第七讲套利定价理论

第七讲套利定价理论第7讲套利定价理论2由于资本资产定价模型在理论和实证方面存在的缺陷（β不能很好地反映风险中许多重要的系统因素），一些学者开始转向研究其他的资产定价理论。史蒂芬·罗斯（1976）运用套利思想发展出了另外一种资产定价方法，即套利定价理论。该方法的应用已扩展到金融衍生产品的定价。3一套利的定义套利指的是，如果两只证券的风险水平相同，但期望收益率存在差异，那么，投资者就可以通过出售（卖空）低预期收益率的证券并将获得的资金用于购买高预期收益率的证券，从而能在不进行额外投资和承受额外风险的情况下赚取利润。可见，套利具有“午餐”的性质：零投资+无风险+正利润。4二套利定价的单因素模型证券收益率之间的协方差通常为正，因为有一些宏观经济变量会引起大多数公司业绩的同向变动，如GNP、利率、通货膨胀率、技术革命、劳动力成本和原材料成本等。如果这些变量发生了未预料到的变化，则整个证券市场的收益率会相应地发生意料外的变化。5假设我们把所有影响公司业绩的宏观经济因素组合成一个总的宏观经济指数，假定它的变化影响所有证券的收益率，并假定，除了这个宏观经济指数的影响，股票收益率的所有其他不确定性都来自于公司特有因素。6在前述假设条件下，证券的持有期收益率就可以表示为：Ri=E(Ri)+βif+ei其中，E(Ri)是证券持有期期初预期的收益率；ERi＝E0+βiEF，E0表示F为0时证券的期望收益率，βiEF表示宏观经济指数的预期变动对证券期望收益率的影响。f表示宏观经济指数未预期到的变化，βi表示证券收益率对F的敏感系数，ei表示未预期到的公司特有事件引起的证券收益率的变化。7在应用中，通常用证券市场指数（如标准普尔500指数）的收益率代表宏观经济因素的影响。这样，就可以将证券持有期的风险溢价表示为Ri-Rf=αi+βi(Rm-Rf)+ei其中，Rm表示证券市场指数的收益率，Rf表示无风险收益率，αi表示市场风险溢价为零时证券i的期望收益率，βi表示证券i的收益率变动对市场指数收益率变动的敏感度。8通过构建充分多样化的证券组合，可剔除企业特有因素对证券收益率的影响。充分多样化投资组合收益率Rp和Rm之间的关系可表示为：Rp-Rf=αp+βp(Rm-Rf)对于两个具有相同敏感系数的证券组合，进行相同头寸、相反方向（买入/卖空）的交易就能够剔除市场指数收益率未预期到的变化对投资收益率的影响。9如果两个证券组合具有相同的敏感系数，但期望收益率不同，那么，投资者通过卖空低期望收益率的证券组合，并将获得的资金用于购买高期望收益率的证券组合，就能够在无风险、零投资的情况下赚取利润。10在允许卖空的情况下，只要有少数几个投资者能够发现套利机会，他们的竞相抬价或压价就能够促使证券组合的市场相对价格发生变化，直到所有充分多样化的证券组合必定具有相同的收益－风险比率：(ERp-Rf)/βp=(ERq-Rf)/βq=…=(ERm-Rf)11如果无套利的期望收益-贝塔系数关系对无数不同的充分分散化的投资组合是成立的，那么，这一关系对所有单个证券的成立也几乎是可以肯定的。当然，这并不排除个别或一小部分证券违反该关系的可能性。因此，当证券市场处于均衡时，单个证券的预期收益率也可以表示为：ERi-Rf=βi(ERm-Rf)这意味着市场只对证券包含的系统风险提供补偿。12三金融衍生产品的套利定价理论套利定理考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合为{1,2,…,m}。假设我们在第i(i=1,2,…,n)个赌博中投入xi单位的赌金，若试验结果是j(j=1,2,…,m)，则获得收益xiri(j)，其中，ri(j)表示在第i个赌博上投入一单位赌金的收益函数。投入的赌金数量可以为正、负或零。13设赌博策略为x=(x1,x2,…xn)，则当试验结果是j(j=1,2,…,m)，该赌博策略的收益为∑xiri(j)。在该试验的所有可能结果所构成的集合上，要么存在一个概率向量p=(p1,p2,…,pm)，使得在这个概率下每一种赌博的期望收益都为零；要么存在一个在任何试验结果下都能获得正收益的赌博策略。14满足无套利条件的证券价格运动模式。由于所有的衍生证券都可以由其标的证券构造，因此，在可以选择由衍生证券和标的证券的组合作为赌博策略的情况下，需要研究什么样的证券价格运动模式才能满足无套利条件。15几何布朗运动。设现在时刻是0，用S(y)表示未来y时刻的证券价格。如果对任何非负的实数y，t，随机变量[S(t+y)/S(y)]独立于y时刻及此前的所有价格，且㏑[S(t+y)/S(y)]是均值为μt，标准差σ√t的正态随机变量，我们就称价格族S(y)，0≤y<∞服从漂移参数为μ，波动参数为σ的几何布朗运动的分布。16作为几何布朗运动的n阶近似，我们可以假设每过t/n个单位的时间，证券的价格变化一次，且要么以1/2[1+(μ/σ)√t/n]的概率上升为原价格的u=exp(σ√t/n)，要么以1/2[1-(μ/σ)√t/n]下跌为原价格的d=exp(-σ√t/n)。根据套利定理，为了不存在套利机会，在每个时期购买证券的期望收益都应为零，因此，p=1/2[1+(μ/σ)√t/n]︽1/2[1+(r/σ-σ/2)

√t/n]。17当n→∞时，该证券价格变化的概率分布就收敛为漂移参数为(r-σ²/2)，波动参数为σ的几何布朗运动的分布