量子力学试卷

05级2学分A一、答复以下问题〔每题5分，共30分〕1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？2什么是束缚态？什么是定态？3试述电子具有自旋的实验证据。4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6一维空间两粒子体系的归一化波函数为，写出以下概率：发现粒子1的位置介于和之间〔不对粒子2进行观测〕二、此题总分值10分设单粒子定态波函数为，试利用薛定谔方程确定其势场。三、此题总分值12分利用厄米多项式的递推关系和求导公式：，证明：一维谐振子波函数满足以下关系：已知一维谐振子的波函数为：四、此题总分值12分一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。五、此题总分值12分已知氢原子的电子波函数为。求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均值。六、此题总分值14分一维运动的粒子处于状态之中,其中,A为待求的归一化常数,求：(1)归一化常数;(2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;(3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。七、此题总分值10分附：氢原子能量本征值：定积分：，n为正整数球坐标系中：05级2学分B一、答复以下问题〔每题5分，共30分〕1考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？2〔1〕德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？〔2〕粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个算符的共同本征函数？5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、此题总分值14分设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。三、此题总分值15分证明：是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。已知。四、此题总分值8分证明在的本征态下，。五、此题总分值15分设粒子限制在矩形匣子中运动，即，，求粒子的能量本征值和本征波函数。六、此题总分值10分求以下算符对易关系式：1)2)七、此题总分值8分定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明：附：氢原子能量本征值：06级2学分A一、填空〔每空3分，共45分〕1一维线性谐振子的能量本征值为。2动量的三个分量的共同本征函数为。3自旋角动量算符在空间任意方向上的投影只能取值为；=。4。5德布罗意关系为

。6波函数的标准条件为。7写出量子力学五个基本假设中任意两个_____________。8费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_________性和_______性。9不考虑电子的自旋时，氢原子能级的简并度为

。10电子具有自旋的实验证据包括。11坐标和动量的对易关系为______。12测不准关系_______。13一维空间两粒子体系的归一化波函数为，x1和x2分别表示两粒子的空间位置，那么，发现粒子1的位置介于和之间〔不对粒子2进行观测〕的概率。二此题总分值7分已知角动量的对易关系为。证明：假设一个算符与角动量算符的两个分量和对易，即满足和，则算符必与的第三个分量对易，满足。三此题总分值8分厄密算符的本征方程为，试根据厄密算符的定义式，证明厄密算符的本征值是实数。四此题总分值9分设体系处于状态〔已归一化〕，求：〔1〕的测量可能值及平均值；〔2〕的测量可能值及相应的概率。五此题总分值9分氢原子处在基态，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分。六此题总分值6分一个转动惯量为I的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转子，其能量的经典表示式为，L为角动量。求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。已知角动量平方算符。七此题总分值8分在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均值。八此题总分值8分算符方程称为算符的本征方程，其中常数称为算符的本征值，函数称为算符的本征函数。试确定以下函数哪些是算符的本征函数，假设是本征函数，其对应的本征值是什么？，②，③，④，⑤06级2学分B一、答复以下问题〔每题4分，共24分〕1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？2试述电子具有自旋的实验证据。3考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、计算题〔此题总分值12分〕氦原子的动能是，k是玻耳兹曼常数，求时，氦原子的德布罗意波长。已知普朗克常数，玻耳兹曼常数，质子质量，氦原子的质量近似取为质子质量的四倍。三、计算题〔此题总分值12分〕一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。四、计算题〔此题总分值12分〕设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能量本征值为五、证明题〔此题总分值14分〕利用厄米多项式的递推关系和求导公式：，证明：一维谐振子波函数满足以下关系：已知一维谐振子的波函数为：六、证明题〔此题总分值12分〕定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明：七、证明题〔此题总分值14分〕证明：是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的本征能量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为，参数。07级2学分A一、问答题〔每空5分，共30分〕1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象。2写出量子力学五个基本假设中任意三个。3表示力学量的厄米算符有哪些特性？4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数是哪两个算符的共同本征函数？二此题总分值10分一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。三此题总分值7分设单粒子定态波函数为，试利用薛定谔方程确定其势场。四此题总分值10分算符方程称为算符的本征方程，其中常数称为算符的本征值，函数称为算符的本征函数。试确定以下函数哪些是算符的本征函数，假设是本征函数，其对应的本征值是什么？①，②，③，④，⑤五此题总分值10分氢原子处在基态，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分。六此题总分值8分已知在和的共同表象中，算符的矩阵为，求它的本征值和归一化本征函数。七此题总分值15分已知氢原子的电子波函数为。求在态中测量氢原子能量、、、、的可能值和这些力学量的平均值。八此题总分值10分在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均值。07级2学分B一、问答题〔每空5分，共30分〕1那些实验现象揭示了光的波粒二象性？2写出角动量算符、哈密顿算符、自旋算符的本征值。3什么是束缚态？什么是定态？4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？5试述电子具有自旋的实验证据。6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？二此题总分值10分一维运动的粒子处于状态之中,其中,A为待求的归一化常数,求：(1)归一化常数;(2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;(3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。三此题总分值7分厄密算符的本征方程为，试根据厄密算符的定义式，证明厄密算符的本征值是实数。四此题总分值10分氢原子处在基态，求在此态中：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分。五此题总分值15分设氢原子处于求：〔1〕的测量可能值、相应的概率及平均值；〔2〕的测量可能值、相应的概率及平均值；〔3〕的测量可能值、相应的概率及平均值。附：氢原子能量本征值：六此题总分值8分定义Pauli算符与自旋角动量算符的关系为，证明：七此题总分值10分求及的本征值和所属的本征函数。八此题总分值10分在自旋态中，求和的不确定关系：已知算符的不确定度为，平均值。05级2学分A答案一、答复以下问题〔每题5分，共30分〕1黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等2当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。假设势场恒定，，则体系处于定态。3电子具有自旋的实验证据：1〕斯特恩-盖拉赫实验2〕光谱精细结构3〕反常塞曼效应4五个基本假定：1〕微观体系的状态被一个波函数完全描述。2〕力学量用算符表示。3〕将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。4〕体系的状态波函数满足薛定谔方程。5〕在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。5厄米算符具有如下特性：1〕厄米算符的本征值为实数2〕厄米算符在任何态中的平均值均为实数3〕厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交4〕描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系6概率二、此题总分值10分将已知波函数代入球坐标系的波动方程可得所以故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数三、此题总分值12分已知所以利用四、此题总分值15分解：无关，是定态问题。其定态SE方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥⑤∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为五、此题总分值10分解：的可能值的可能值,的可能值的可能值的可能值六、此题总分值15分解：1〕由归一化条件，有2〕坐标的平均值为：坐标平方的平均值为：3〕动量平均值为：动量平方的平均值为：七、此题总分值8分解：①不是②是，1。③是，－1。④是，－1。⑤是，－1。05级2学分答案B一、答复以下问题〔每题5分，共30分〕1主量子数n，角动量量子数l，磁量子数m，自旋磁量子数ms2德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关，因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复合体系。由基本假设，波长仅取决于粒子的动量大小而与粒子本身线度无必然联系。3量子力学中角动量按下式定义：任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量，此定义较之角动量的仿经典定义更具普遍性，后者只适用于轨道角动量而不能适用于自旋。自旋是量子力学中的特有概念，无经典对应，是微观粒子的内禀属性。地球自转实际上仍然是地球各质点的轨道运动，应与轨道角动量相对应，而不是与自旋相对应。4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符对易。球谐函数是L2和Lz的共同本征函数5在其自身表象中表示为对角矩阵：，为诸本征值本征矢量为单元素的一列矩阵：，，6自旋为的半奇数倍的微观粒子，要求费米子的波函数是交换反对称的。二、此题总分值14分设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。解：，可能值，几率1；，可能值2，几率1；，可能值-，几率；可能值0，几率三、此题总分值15分试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。证：一维线性谐振子的薛定鄂方程为①把代入上式，有 把代入①式左边，得当时，左边=右边。n=3，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。四、此题总分值8分证明在的本征态下，。证明：由于；；所以五、此题总分值15分设粒子限制在矩形匣子中运动，即，，求粒子的能量本征值和本征波函数。解：匣内(3分)采用直角坐标系，方程的解可以别离变量，边界条件本征函数(4分),可得，(4分)(2分)归一化能量本征函数为六、此题总分值10分求以下算符对易关系式：1)2)解：5分5分七、此题总分值8分证明证明：〔1〕〔2〕〔1〕+〔2〕得：〔3〕〔3〕右乘：06级2学分考试答案及评分标准A一、此题共13小题，15空，每空3分，总分值45分1.〔共3分〕要点：注：该题为基此题，考核对量子力学中谐振子能量量子化问题的掌握情况。2.〔共3分〕要点：〔或〕注：该题为综合题，考核的知识点包括动量本征函数、平面波波函数和力学量的共同本征函数等，要求学生综合考虑这些知识点后作答。3.〔共6分〕要点：注：该题为基此题，考核对自旋角动量的理解和掌握情况。4.〔共3分〕要点：注：该题为基此题，考核的知识点是量子力学中非常重要的概念-球谐函数的正交性问题。5.〔共3分〕要点：注：该题为基此题，考核对量子力学中最重要的基本概念-德布罗意波的理解和掌握程度。6.〔共3分〕要点：连续性、有限性、单值性注：该题为基此题，考核对量子力学中波函数的理解和掌握情况。7.〔共3分〕要点：〔1〕波函数的统计解释。〔2〕力学量用厄密算符表示。〔3〕(4)薛定谔方程〔5〕全同性原理注：该题为基此题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意二项即可。8.〔共6分〕要点：反对称对称注：该题为基此题，考核对量子力学中全同粒子体系特性的理解情况。9.〔共3分〕要点：注：该题为基此题，考核氢原子能级和简并度等问题。10.〔共3分〕要点：1〕斯特恩-盖拉赫实验2〕光谱精细结构3〕反常塞曼效应注：该题为基此题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。11.〔共3分〕要点：注：该题为基此题，考核知识点是量子力学中重要的一个基本对易关系。12.〔共3分〕要点：注：该题为基此题，考核量子力学中的不确定关系。13.〔共3分〕要点：概率注：该题为基此题，考核概率和概率密度等知识点。二、此题总分值7分证明：设算符与角动量算符及皆对易，即┈┈2分则┈┈3分同理可知，假设算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易；假设算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易，于是，问题得证。┈┈2分注：该题为基此题，考核学生对算符运算规则和角动量算符性质的掌握情况。三、此题总分值8分证明：厄密算符的本征值方程为：┈┈2分由厄密算符的性质，假设取，┈┈3分┈┈3分注：该题为基此题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力。四、此题总分值9分解：由于，┈┈2分，┈┈2分所以〔1〕的可能值为；相应的概率为；平均值为┈┈3分〔2〕的可能值为；相应的概率为。┈┈2分注：该题为综合题，考核轨道角动量算符的本征值问题以及力学量的测量值及分布概率等问题。五、此题总分值9分解：(1)┈┈3分┈┈3分〔3〕动量几率分布函数┈┈3分注：该题为综合题，考核氢原子的波函数的意义以及力学量的测值概率和平均值等知识点。六、此题总分值6分解：而则┈┈2分为使在变化的整个区域内都是有限的，必须有〔〕〔〕┈┈2分()┈┈2分注：该题为基此题，考核角动量平方算符的本征值问题。七、此题总分值8分解：由，同理，┈┈2分┈┈2分┈┈2分┈┈2分注：该题为综合题，考核的知识点包括：波函数归一化，力学量平均值的计算以及力学量算符等。八、此题总分值8分解：①∴不是的本征函数。┈┈1分②∴是的本征函数，其对应的本征值为1。┈┈1分③∴可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。┈┈2分④∴是的本征函数，其对应的本征值为－1。┈┈2分⑤∴是的本征函数，其对应的本征值为－1。┈┈2分注：该题为基此题，考核算符的本征函数和本征值的概念06级2学分考试答案及评分标准B一、此题共6小题，每题4分，总分值24分1.〔共4分〕要点：黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等。注：该题为基此题，考核对量子力学发展过程的了解情况。要求考生至少答出其中三项。2.〔共4分〕要点：电子具有自旋的实验证据：1〕斯特恩-盖拉赫实验2〕光谱精细结构3〕反常塞曼效应注：该题为基此题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。3.〔共4分〕要点：主量子数n，角动量量子数l，磁量子数m，自旋磁量子数ms注：该题为基此题，考核描述氢原子所需的量子数这一知识点。4.〔共4分〕要点：五个基本假定：1〕微观体系的状态被一个波函数完全描述。2〕力学量用算符表示。3〕将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。4〕体系的状态波函数满足薛定谔方程。5〕在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。注：该题为基此题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意三项即可。5.〔共4分〕要点：厄米算符具有如下特性：1〕厄米算符的本征值为实数。┈┈1分2〕厄米算符在任何态中的平均值均为实数。┈┈1分3〕厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。┈┈1分4〕描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。┈┈1分注：该题为综合题，考核量子力学中一个概念--厄米算符的性质。6.〔共4分〕要点：自旋为的半奇数倍的微观粒子。┈┈2分要求费米子的波函数是交换反对称的。┈┈2分注：该题为基此题，考核自旋、费米子和波函数反对称化等知识点。二、计算题〔此题总分值12分〕解：根据┈┈3分知此题氦原子的动能为：┈┈3分显然远小于氦原子的静止能量。这样，便有┈┈6分注：该题为基此题，考核德布罗意关系。三、计算题〔此题总分值12分〕解：无关，是定态问题。其定态薛定谔方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②┈┈2分Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立