专题07-相似三角形中的定值问题专练(一)(解析版)-九下数学专题培优训练

第=page22页，共=sectionpages22页专题07相似三角形中的定值问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连结BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连结EF，交BD于点G，交BC于点M，连结CF．

(1)△CDE与△CBF相似吗？为什么？

(2)求证：∠DBC=∠EFC；

(3)同线段GH的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是，求出这个定值．【分析】(1)根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断；

(2)想办法证明△DCB∽△ECF，可得∠DBC=∠EFC；

(3)结论：线段GH的值是定值．GH=105.由△EDC∽△EHG，可得EDEH=DCHG，由AB=DC，可得EDAB=EHHG，想办法用t表示EH，代入化简即可解决问题；

本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到方程的思想解决线段的长度问题．

【解答】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，AD//BC，AB=DC，

∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°，

∵DCBC=26=13，DEBF=t3t=13，

∴DCBC=DEBF，

∵∠CDE=∠FBC=90°

∴△CDE∽△CBF．

(2)证明：∵△CDE∽△CBF．

∴∠DCE=∠BCF，ECCF=DCBC，

∵∠DCE+∠BCE=90°，

∴∠BCE+∠BCF=90°，

∴∠ECF=90°，

∴ECDC=CFBC，

∵∠DCB=∠ECF

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC=∠EFC．

(3)解：结论：线段GH的值是定值．GH=105．

理由：作CN⊥DB于N．

∵AD=BC=6，AB=2，

∴BD=AD2−AB2=210，

∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴EDDB=EHAB，

∴t210=EH2，

∴EH=1010t，

∵△DCB如图1，已知在矩形ABCD中，AD=10，E是CD上一点，且DE=5，点P是BC上一点，PA=10，∠PAD=2∠DAE．

(1)求证：∠APE=90°；

(2)求AB的长；

(3)如图2，点F在BC边上且CF=4，点Q是边BC上的一动点，且从点C向点B方向运动．连接DQ，M是DQ的中点，将点M绕点Q逆时针旋转90°，点M的对应点是M′，在点Q的运动过程中，①判断∠M′FB是否为定值？若是说明理由．②求AM′的最小值．

【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．

(1)由SAS证明△APE≌△ADE得出∠APE=∠D=90°即可；

(2)由全等三角形的性质得出PE=DE=5，设BP=x，则PC=10−x，证明△ABP∽△PCE，得出ABPC=BPCE=APPE，得出AB=20−2x，CE=12x，由AB=CD得出方程，解方程即可得出结果；

(3)①作MG⊥B于G，M′H⊥BC于H，证明△HQM′≌△GMQ得出HM′=GQ，QH=MG=4，设HM′=x，则CG=GQ=x，FG=4−x，求出QF=GQ−FG=2x−4，得出FH=QH+QF=2x，由三角函数得出tan∠∠M′FB=HM′FH=12，即可得出结论；

②当AM′⊥FM′时，AM′的值最小，延长HM′交DA延长线于N，则NH=AB=8，NM′=8−x，AN=BH=HQ−BQ=2x−6，同①得：△ANM′∽△M′HF，得出ANM′N=HM′FH=12，解得：x=4，得出AN=2，NM′=4，在Rt△ANM′中，由勾股定理即可得出结果．

【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=10，AB=CD，∠B=∠C=∠D=90°，

∵AD=10，PA=10，∠PAD=2∠DAE，

∴AP=AD，∠PAE=∠DAE，

在△APE和△ADE中，

AP=AD∠PAE=∠DAEAE=AE,

∴△APE≌△ADE(SAS)，

∴∠APE=∠D=90°；

(2)解：由(1)得：△APE≌△ADE，

∴PE=DE=5，

设BP=x，则PC=10−x，

∵∠B=90°，∠APE=90°，

∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠CPE=90°，

∴∠BAP=∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴ABPC=BPCE=APPE，即AB10−x=xCE=105=2，

∴AB=20−2x，CE=12x，

∵AB=CD，

∴20−2x=5+12x，

解得：x=6，

∴AB=20−2x=8；

(3)解：①∠M′FB为定值，理由如下：

作MG⊥B于G，M′H⊥BC于H，如图2所示：

则MG//CD，∠H=∠MGQ=90°，

∴∠QMG+∠MQG=90°，

∵M是DQ的中点，

∴QG=CG，

∴MG是△CDQ的中位线，

∴MG=12CD=12AB=4，

由旋转的性质，QM′=QM，∠M′QM=90°，

∴∠HQM′+∠MQG=90°，

∴∠HQM′=∠QMG，

在△HQM′和△GMQ中，

∠H=∠MGQQM′=QM∠HQM′=∠QMG,

∴△HQM′≌△GMQ(ASA)，

∴HM′=GQ，QH=MG=4，

设HM′=x，则CG=GQ=x，

∴FG=4−x，

∴QF=GQ−FG=2x−(4−x)=2x−4，

如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A(0,3)，且与反比例函数y=k2(1)若B点坐标为(1,2)， ①求k1⋅ ②不等式k2x<k1x+b(2)若AB=BC，则k1⋅k2的值是否为定值【答案】解：(1)

 ①

∵

A(0,3)，B(1,2)在一次函数y=

k1∴

b=3,k1+b=2,

∵

B(1,2)在反比例函数y=k∴

k2∴

k1⋅k ②

1<x<2；(2)

k1·k设一次函数图象：y=k1x+3，反比例函数图象：y=k2x

，B(x1整理得：

k1∴x1+x2=−3k∵AB=BC，

∴x2

=2∴x1+x2=3x1·x2∴

−k22k1

=

(−∴

若AB=BC，

k1⋅k【分析】

本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，(2)中根据AB=BC，得到点B、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．

(1)①分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k1·k2进行计算即可得解；

②反比例函数图象在一次函数图象下面的x值；

(2)设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据AB=BC可知点C的横坐标是点B的横坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于k1、k2的关系式，整理即可得解．

【解答】

解：(1)①见答案；

②由①可知y=−x+3y=2x,

解得x1=1y1=2,已知：在矩形ABCD中，AB=a(a为定值)，连接AC，点O是AC上的一个动点，以AO为半径的⊙O与AD交于点P．(1)如图(a)，当∠DCP=∠DAC时，求证：PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若△APC是等腰三角形，①请你判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；②求⊙O的半径(用含a的代数式表示)；(3)如图(b)，若BC=AB=a，且点O运动到AC与BD的交点处，在弧CD上任取一点Q，连接AQ、BQ分别交BD、AC于M，N.求证：四边形ABNM的面积为定值．【分析】本题考查了切线的判定、三角形相似的判定和性质、正方形的性质，认真读图、正确作出辅助线是解题的关键．(1)连接OP，由OA=OP，得∠OPA=∠DAC，从而∠OPA+∠DPC=90º，得到∠OPC=90º，根据切线的判定定理得出结论；(2)①作OE⊥BC，关键证明OE=OP，得出结论；②设⊙O的半径为r，∠DCP=∠PCA=∠ACB=30º，根据AC=3r=2a，求得r；(3)先证明AC⊥BD，再根据△ABN∽△BMA，得到AN·BM=AB2，最后求得【解答】(1)解：连接OP由OA=OP，得∠OPA=∠DAC，又∠DCP=∠DAC，∴∠OPA=∠DCP∵∠DCP+∠DPC=90º，∴∠OPA+∠DPC=90º，∴∠OPC=90º∴PC是⊙O的切线(2)解：①作OE⊥BC于E，见上图∵AP=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵AD//BC，∠PAC=∠ACB，∴OE=OP，则⊙O与BC相切．②设⊙O的半径为r，可证∠DCP=∠PCA=∠ACB=30º，则OC=2r，则AC=3r=2a，∴r=2(3)证明：如图：若BC=AB=a，则四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD

∵∠AMB=∠BNA，∠ABM=∠BAN∴△ABN∽△BMA，则有AN·BM=A又S四边形ABNM

在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

(1)若点D在线段AM上时(如图1)，则AD______BE(填“>”、“<”或“=”)，∠CAM=______度；

(2)设直线BE与直线AM的交点为O．

①当动点D在线段AM的延长线上时(如图2)，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；

②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．

【答案】=

30【分析】(1)根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，则AD=BE；根据等边三角形的性质可以直接得出∠CAM的度数；

(2)①根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

②分两种情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由(2)可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论．

本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

【解答】解：(1))∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE

∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中

AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD=BE；

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°．

∵线段AM为BC边上的中线

∴∠CAM=12∠BAC，

∴∠CAM=30°．

故答案为：=，30；

(2)①AD=BE，

理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴AB=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，

∵∠ACD=∠ACB−∠DCB，∠BCE=∠DCE−∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴AD=BE．

②∠AOB是定值，∠AOB=60°，

理由如下：

当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，

又∠ABC=60°，

∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线

∴AM平分∠BAC，即∠BAM=12∠BAC=30°，

∴∠BOA=90°−30°=60°．

当点D在线段AM的延长线上时，如图2，

∵△ABC与△DEC都是等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE

∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠CBE=∠CAD=30°，

在△ABC中，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不含点M，C)，过点P作PD//AM交AC边于点D，交BA的延长线于点E.已知AM=5．

(1)如图1，当∠BAC=90°时，求证：PD+PE是定值；

(2)如图2，当∠BAC≠90°时，判断PD+PE是否仍是定值，请说明理由．

【分析】(1)通过证明△PCD∽△MCA，△BAM∽△BEP，可得CPCM=PDAM，PEAM=BPBM，可得CP+BPCM=PD+PE5，可得PD+PE=10，可得结论；

(2)方法同(1)，可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．

【解答】解：(1)∵M是BC的中点，

∴BM=CM=12BC，

∵PD//AM，

∴△PCD∽△MCA，△BAM∽△BEP，

∴CPCM=PDAM，PEAM=BPBM，

∴CPCM+BPBM=PDAM+PEAM

∴CP+BPCM=PD+PE5，

∴PD+PE=10，

∴PD+PE是定值；

抛物线y=ax2+c与x轴相交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于(1)如图①，若点P(1,−3)，B(4,0)．①求该抛物线的函数表达式．②若D是抛物线上一点，且满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标．(2)如图②，已知直线PA，PB与y轴分别相交于E，F两点．当点P运动时，OE+OFOC是不是定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)①y=15x2−165

；②点D的坐标为(−1,−3)【分析】

本题主要考查了二次函数的综合运用和动点问题，还有相似三角形；解题方法运用点的代入和分类讨论思想。

【解答】

(1)①将P(1,−3)，B(4,0)代入y=ax2+c，得16a+c=0a+c=−3，解得a=15c=−165,

抛物线的解析式为y=∵∠DPO=∠POB，∴DP // OB.易得点D与点P关于y轴对称，∴点D(−1,−3)．当点D在点P的右侧时，如解图②，延长PD交x轴于点Q.∵∠DPO=∠POB，∴QO=QP.设点Q(q,0)，则q2=(q−1)2+32，

解得q=5.∴点Q(5,0).易得直线PD的函数表达式为y=34x−154．

联立y=3(2)是定值．设点B(b,0)，则点A(−b,0).∵ab2+c=0.∴b2过点P(x0,y0)作PH⊥AB，垂足为H，则有y0=ax02+c.易得△EAO∽△PAH，

∴OEOA=HPHA，即OEb=−y

抛物线y=ax2+c(a<0)与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴上方．(1)如图1，若P(1,2)，A(−3,0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上异于点P一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例，二次函数与一次函数图像的交点.掌握有关性质是关键．

(1)①将P(1,2)，A(−3,0)代入y=ax2+c得方程组，解方程组即可解答；

②分两种情况讨论：

(Ⅰ)当点D在OP左侧时，由∠DPO=∠POB，得DP // OB，D与P关于y轴对称即可解答；

(Ⅱ)当点D在OP右侧时