广东省佛山市顺德区2024届高三下学期2月教学质量检测（二）（二模）数学 含解析

2023学年顺德区普通高中高三教学质量检测（二）数学试题2024.2本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在数学答题卡，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B.C. D.2.复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.抛物线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.14.在中，，若，线段与交于点，则（）A. B.C. D.5.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（）A.14 B.15 C.16 D.176.小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A. B. C. D.7.已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知椭圆的上、下焦点分别为，点在椭圆上且位于第三象限，满足的角平分线与相交于点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A.等腰三角形 B.菱形 C.梯形 D.正五边形10.若，则（）ABC.D.11.已知圆，椭圆，直线，点为圆上任意一点，点为椭圆上任意一点，以下的判断正确的是（）A.直线与椭圆相交B.当变化时，点到直线的距离的最大值为C.D.12.函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（）A.当时，的值只有0或B.当时，函数既有对称轴又有对称中心C.对于给定的正整数，存在，使得成立D.当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知，则______．14.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______．15.一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A”，则估计甲的分数为______．（写出满足条件的一个整数值即可）等级划分范围（分数由高到低）A+前20%（包括20%）A前20%~35%（包括35%）B+前35%~65%（包括65%）B前65%~85%（包括85%）C+前85%~95%（包括95%）C最后5%16.在如图所示的长方形台球桌面示意图中，，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在三点所在的位置上，且三点共线．用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球），使得球沿球运动的方向径直落入三个网中之一．若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球击中球前，球移动的最短路径的路程为______．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．18.某市随机抽取名市民进行智能手机使用情况调查，使用5G手机（A类）和使用4G及以下或不使用手机（B类）的人数占总人数的比例统计如下表：A类B类大于或等于60岁小于60岁（1）若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选3人，记为3人中小于60岁的人数，求的分布列和数学期望；（2）若以60岁为年龄分界，讨论当取不同值时，依据小概率值的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关？附：．0.050.010.0013.841663510.82819.在四棱雉中，四边形为矩形，，，点为线段的中点．已知点在平面上的射影在四边形外，且直线与平面所成的角为．（1）设点为线段的中点，求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．20.在中，角所对的边分别为，其中，．（1）求角的大小；（2）如图，为外一点，，，求的最大值．21.已知双曲线中，焦距为，且双曲线过点．斜率不为零的直线与双曲线交于两点，且以为直径的圆过点．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在直线，使得点到直线距离最大？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．22已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，且满足（为自然对数的底数，）．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．2023学年顺德区普通高中高三教学质量检测（二）数学试题2024.2本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在数学答题卡，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据对数的性质化简集合，再根据集合交集的概念求解即可.【详解】由解得，所以，又，所以，故选：A2.复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数乘方以及除法运算可得，即可判断出结论.【详解】由可知，因此复数在复平面上对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A3.抛物线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率.【详解】令，得，得故选：D4.在中，，若，线段与交于点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：由可得分别为的中点，由中线性质可得，又，所以，因此.故选：B5.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】依据贬值规律，根据等比数列性质列不等式即可解得.【详解】根据题意可知，列不等式，即，又，可得.故选：B6.小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，求出，，进而计算可得答案【详解】根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，事件A包含3中情况，①走了4次1级台阶，其概率②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率，即,③走了2次2级台阶，其概率，故小明爬到第4级台阶概率在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率,故选：D7.已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦型函数图象，数形结合可得.【详解】在上，，在上，，由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为，即两区间左端点函数值均为最小值，所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同，如图的部分图象，数形结合得且，即.故选：A8.已知椭圆的上、下焦点分别为，点在椭圆上且位于第三象限，满足的角平分线与相交于点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的关系，可得，再由角平分线的性质可得，由，由椭圆的定义可得，的表达式，再由余弦定理可得，的关系，进而求出离心率的值．【详解】因为，则，由角平分线的性质可得，因为，所以，由椭圆的定义可知：，在△，，由余弦定理可得，即，整理可得：,即，可得，因为，所以．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A.等腰三角形 B.菱形 C.梯形 D.正五边形【答案】ABC【解析】【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】根据题意，当截面为三角形时，可能出现等腰三角形；如图：故A正确；当B，D分别为正方体棱中点时，截面可以为菱形，如图：故B正确;当C，D分别为正方体棱的中点，截面图可以为等腰梯形，如图：故C正确；当截面为五边形，如图，不可能是正五边形：若截面为五边形，则该面恰与五个面相交，而其中一定有两组对面，根据面面平行的性质定理，故有两组平行边，但正五边形没有平行的边，故截面不可能是正五边形.故D错误.故选：ABC.10.若，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可.【详解】将代入得，解得，A正确；由二项式定理可知展开式的通项为，令得，所以，B错误；将代入得，即，C正确；将代入得，即①，将代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正确；故选：ACD11.已知圆，椭圆，直线，点为圆上任意一点，点为椭圆上任意一点，以下的判断正确的是（）A.直线与椭圆相交B.当变化时，点到直线的距离的最大值为C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据直线过定点，可得点在椭圆内可判断A，根据圆心，可得出点到直线的距离的最大值判断B，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而可得C错误，D正确.【详解】根据题意可知圆的圆心为，半径为，椭圆的长轴为4，短轴为2，直线恒过定点，显然点在椭圆的内部，如下图所示：显然，直线与椭圆相交，即A正确；当变化时，易知圆心到直线的距离的最大值为，所以点到直线距离的最大值为，即B正确；设点满足且，可得又易知，显然，显然当时，，可得，即可得C错误，D正确；故选：ABD12.函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（）A.当时，的值只有0或B.当时，函数既有对称轴又有对称中心C.对于给定的正整数，存在，使得成立D.当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立【答案】BC【解析】【分析】A选项，，当时，，，求出的值域为，进而得到，A错误；B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，推出关于轴对称，结合为奇函数，得到关于对称，同理可得也满足要求，B正确；C选项，推出的图象关于点对称，的图象关于直线对称，故，分为偶数和为奇数两种情况，得到C正确；D选项，先得到函数的图象关于轴对称，在C选项基础上，得到时，，此时，D错误.【详解】选项A，当时，，，当时，，当时，，故时，的值域为，又为奇函数，故当时，的值域为，故，为平移得到，故的最小正周期也为，故函数的最小正周期为，故函数值域为，故A错误；B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，当时，，此时，当时，，此时，故，由于为连续函数，故，故的图象在上关于直线对称，又为奇函数，最小正周期为，结合图象可知，在图象在R上关于直线对称，所以，令，则，将用替换，有，故，所以关于轴对称，又为奇函数，故，所以，又，故，故，故关于对称，所以既有对称轴，又有对称中心，当时，同理可得既有对称轴，又有对称中心，B正确；C选项，取，则，由于为奇函数，故，又的最小正周期为，故，即，即，故的图象关于点对称，由B选项知，的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，所以，，所以，当为偶数时，，所以，当为奇数时，，所以，C正确；D选项，由于，所以成立，，故，即，故在上，又的图象关于直线对称，且最小正周期为，故函数的图象关于轴对称，所以，而成立，所以，故存在成立，D错误.故选：BC【点睛】结论点睛：函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知，则______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数关系得到，求出.【详解】，因为，所以，故，解得.故答案为：14.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______．【答案】【解析】【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值.【详解】设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，则外接球的半径，，所以，因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，所以.故答案为：15.一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A”，则估计甲的分数为______．（写出满足条件的一个整数值即可）等级划分范围（分数由高到低）A+前20%（包括20%）A前20%~35%（包括35%）B+前35%~65%（包括65%）B前65%~85%（包括85%）C+前85%~95%（包括95%）C最后5%【答案】100（答案不唯一，任选其一）【解析】【分析】根据频率分布直方图可求得，再利用成绩划分等级标准分别求出等级为“A”的分数区间，即可得出答案.【详解】利用频率分布直方图可得，解得，成绩在区间内的人数占，在内的人数占，设成绩排在前位的分数线为，则，解得；设成绩排在前位的分数线为，则，解得；因此考生的等级为“A”的分数区间为，又因为分数取整数，所以可得甲的分数所有可能取值为.故答案为：100（答案不唯一）16.在如图所示的长方形台球桌面示意图中，，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在三点所在的位置上，且三点共线．用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球），使得球沿球运动的方向径直落入三个网中之一．若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球击中球前，球移动的最短路径的路程为______．【答案】##【解析】【分析】分三种情况，结合题意，连接点与网中其中之一，得到直线，根据反射得到点的运动路径，得到最小值.【详解】因为用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球），连接并延长交于点，直线，即，令得，，故，则为的中点，故的反射直线为，则，将代入中，得，故，令得，故，为的中点，直线经过反射得到直线，将代入中，得，故，其中满足上，故球的轨迹为，其中，，，故轨迹长度为，连接并延长，交于点，直线的方程为，即，令得，故，根据反射得到反射直线，将代入得，，解得，故直线，令得，解得，故，根据反射得到直线，将代入得，，解得，故直线，令得，解得，故，根据反射得到直线，将代入得，，解得，故直线，令得，故，由于，故令中的得，故点A不在直线上，故要想点A在直线上，也要经过多次反射，故路径会大于，不合要求，舍去；连接并延长，交于点，则直线的方程为，令得，故，根据反射得到直线反射直线，将代入上式得，，解得，故直线，令得，解得，故，根据反射得到反射直线，将代入得，，解得，故，令得，故，根据反射得到反射直线，将代入得，故，由于，故令中的得，故不在反射直线上，故要想点A在直线上，也要经过多次反射，故路径会大于，不合要求，舍去；综上，球移动的最短路径的路程为.故答案为：【点睛】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）得到为常数列，结合得到，求出通项公式；（2），设的前项和为，错位相减法求和得到.【小问1详解】，故为常数列，其中，故，故，即；【小问2详解】，设的前项和为，则①，②，两式①-②得，，故.18.某市随机抽取名市民进行智能手机使用情况调查，使用5G手机（A类）和使用4G及以下或不使用手机（B类）的人数占总人数的比例统计如下表：A类B类大于或等于60岁小于60岁（1）若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选3人，记为3人中小于60岁的人数，求的分布列和数学期望；（2）若以60岁为年龄分界，讨论当取不同值时，依据小概率值的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关？附：．0.050.0100013.8416.63510.828【答案】（1）分布列见解析，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求；（2）由已知表格得到列联表，将表中数据代入的计算公式并将计算结果，分类讨论与比较大小，由此可知结果【小问1详解】由表格可知，任取一人小于60岁的概率，由题意可知：，的可能取值为0，1，2，3所以，，，所以的分布列为：所以（或者）.【小问2详解】因为使用5G手机（A类）和使用4G及以下或不使用手机（B类）的人数占总人数的比例统计如下表：A类B类大于或等于60岁小于60岁所以可得列联表A类B类总计大于或等于60岁小于60岁总计因为，，，都是正整数，且：：：=2:3:6:9所以是20的正整数倍，因为，当时，，当时，，所以当且是20的正整数倍时，依据小概率值的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关；当且是20的正整数倍时，依据小概率值的独立性检验认为喜欢旅游与性别有无关.19.在四棱雉中，四边形为矩形，，，点为线段的中点．已知点在平面上的射影在四边形外，且直线与平面所成的角为．（1）设点为线段的中点，求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）详解见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，即得证（2）利用空间向量法可求得平面PAC的法向量和平面ABCD的一个法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】作平面ABCD，连接OA，OD，OE所以直线与平面所成的角即为，又因为在等腰三角形APD中，，所以，因为，所以，故，以O为坐标原点，以垂直于OF所在直线，OF，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以所以，，所以【小问2详解】点，设平面PAC的法向量为，则有，又，所以，不妨令，则，所以，取平面ABCD的一个法向量，则20.在中，角所对的边分别为，其中，．（1）求角的大小；（2）如图，为外一点，，，求最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理分别得到，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因，化简可得，而，则，又，则【小问2详解】在中，由可得，在中，由可得，所以，设，由余弦定理，，可得，，因此，当且仅当时，即等号成立，所以的最大值为，此时.21.已知双曲线中，焦距为，且双曲线过点．斜率不为零的直线与双曲线交于两点，且以为直径的圆过点．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在直线，使得点到直线的距离最大？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）待定系数法求解双曲线方程；（2）方法一：设直线，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到，即或，分两种情况讨论，得到直线过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，从而求出直线的方程；方法二：齐次化求解，平移双曲线得，设平移后的直线方程为，变形得到，根据斜率之积为-1得到则直线过定点，从而原直线过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，从而求出直线的方程；【小问1详解】由题意得，且，又，解得，故双曲线方程为；【小问2详解】设直线，联立得，设，则，由题意得，即，将代入上式，，即，化简得，变形为，故或，当时，直线，经过定点，与重合，不合要求，当时，直线，经过定点，要想到直线的距离最大，则⊥，其中故直线的斜率，故直线的方程为，即.经检验，满足要求.方法二：平移双曲线得，即，设平移后的直线方程为，则有，