北师大版九年级上册数学第三次月考试题及答案

北师大版九年级上册数学第三次月考试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列各式中是一元二次方程的有（）A．3x2=1 B．x2+y2=4 C． D．xy=22．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等C．平行四边形是轴对称图形 D．等腰梯形的对角线相等3．当a≠0时，函数y=ax+1与函数在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．下列各立体图形中，自己的三个视图都全等的图形有（）个①正方体；②球；③圆柱；④圆锥；⑤正六棱柱.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字-1，1，2，从中随机取出一个，其上的数字记为k，放回后再取一次，其上的数记为b，则函数y=kx+b是增函数的概率为（）A． B． C． D．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边上的高，AC=2，AD=1，则BC的长是（）A．4 B．3 C． D．7．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是A．的长 B．的长 C．的长 D．的长8．若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y39．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在10．如图1，在等边△ABC中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B作匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）

A．9 B． C．4 D．3二、填空题11．=_________．12．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________．13．已知(a2+b2)(a2+b2+3)=18，则a2+b2的值为____________.14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是____________.15．如图所示，正方形ABCD中，AB=8，BE=DF=1，M是射线AD上的动点，点A关于直线EM的对称点为A′，当△A′FC为以FC为直角边的直角三角形时，对应的MA的长为___________.三、解答题16．先化简，再求值：，其中．17．某校为了解本校中考体育备考情况，随机抽去九年级部分学生进行了一次测试（满分60分，成绩均记为整数分）并按测试成绩（单位：分）分成四类：A类（54≤a≤60），B类（48≤a≤53），C类（36≤a≤47），D类（a≤35）绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）请补全统计图；

（2）在扇形统计图汇总，表示成绩类别为“C”的扇形所对应的圆心角是__°；（3）该校准备召开体育考经验交流会，已知A类学生中有4人满分（男生女生各有2人），现计划从这4人中随机选出2名学生进行经验介绍，请用树状图或列表法求所抽到的2，名学生恰好是一男一女的概率18．弦歌七十载，芬芳新时代，2019年9月21日郑州一中70年校庆之际，小明来到一中校园，参与到这隆重的庆典之中.在一中校园中参观之时，小明看到了一中秀丽的钟楼，想要测量钟楼的高度，如果钟楼的底部可以到达，如图，他在点A处测得钟楼最高点C的仰角为45°，再往钟楼方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=7m，根据测得的数据，计算钟楼的高度CD．（tan36°≈0.73，结果保留整数）．19．如图，在△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF·AC=BC·FE.20．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从A出发沿射线AG以1cm/s的速度与运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).(1)连接EF，当EF经过AC边的中点D是，求证△ADE≌△CDF；(2)填空题：①当t为________s时，四边形ACFE是菱形；②当t为________s时，以A，C，F，E为顶点的四边形为平行四边形.21．为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

（1）求证：∠CBP=∠ABP；

（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的长；

（3）当∠ABC=60°，BC=2时，点N为BC的中点，点M为边BP上一个动点，连接MC，MN，求MC+MN的最小值．23．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，2）．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）并根据图象写出不等式＞x+b，当x＜0时的解集．参考答案1．A【解析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．B、是二元二次方程，故本选项错误；

C、是分式方程，故本选项错误；

D、是二元二次方程，故本选项错误；

故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键．2．D【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的性质进行逐一分析解答即可．【详解】A、错误，矩形的对角线相等；

B、错误，菱形的对角线相互垂直；

C、错误，平行四边形是中心对称图形；

D、正确，等腰梯形的对角线相等．

故选：D．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉其性质定理．3．C【详解】反比例函数和一次函数的图象性质．【分析】∵当a＞0时，y=ax+1过一．二．三象限，经过点（0，1），过一．三象限；当a＜0时，y=ax+1过一．二．四象限，过二．四象限．∴选项A的y=ax+1，a＞0，经过点（0，1），但的a＜0，不符合条件；选项B的y=ax+1，a＜0，，的a＜0，但y=ax+1不经过点（0，1），不符合条件；选项C的y=ax+1，a＞0，经过点（0，1），的a＞0，符合条件；选项D的y=ax+1，a＞0，，的a＞0，但y=ax+1不经过点（0，1），不符合条件．故选C．4．B【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】正方体的三种视图都是正方形，所以三视图全等；

球的三种视图都是圆，所以球的三视图也全等．

其他那几个几何体的三视图都不全等．

故选：B．【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解题关键在于要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出每个几何体的三视图．5．D【分析】分别计算所有情况数及满足条件的情况数，代入概率计算公式，可得答案．【详解】盒子中装有形状、大小完全相同的3个小球，球上分别标有数字-1，1，2，

从中随机取出一个，其上的数字记为k，放回后再取一次，其上的数记为b，

则共有9种情况，分别为：

（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），

其中函数y=kx+b是增函数有6种情况，分别为：

（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），

故函数y=kx+b是增函数的概率P=，

故选：D．【点睛】此题考查概率计算公式，解题关键在于列出所有可能出现的情况．6．D【分析】先求出△ADC∽△ACB，列出比例式求解即可．【详解】∵∠ACB=∠ADC=90°，∠CAB=∠DAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∵AC=2，AD=1，

∴，

解得AB=4．BC=

故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得出△ADC∽△ACB，此题也可用射影定理求解．7．B【详解】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得：∵∴∴AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.8．B【分析】反比例函数y=（k＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y随x的增大而减小，而A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上的点，可得y2＜y1＜0，C（1，y3）在第一象限双曲线上的点y3＞0，于是对y1、y2、y3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=（k＞0）的图象在一、三象限，

∴在每个象限内y随x的增大而减小，

∵A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上，

∴y2＜y1＜0，

∵C（1，y3）在第一象限双曲线上，

∴y3＞0，

∴y3＞y1＞y2，

故选：B．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k＞0，时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．9．A【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合=4m，即可求出m的值．【详解】∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0，∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∵=4m，∴=4m，∴m=2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m=2，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．10．C【分析】根据图2可得：等边三角形的边长为4，根据三角形的特殊角的三角函数求高AD的长，由三角形面积可得结论．【详解】由图2可知：等边三角形的边长为4，

如图3，作高AD，

∴AC=4，∠C=60°，

sin60°=，

AD=ACsin60°=4×，

∴y=BC•AD=×4×2=4．

故选：C．【点睛】此题考查动点问题的函数图象，从图象中通过确定点P与C重合时的位置得到等边三角形的边长是解题关键．11．【分析】根据绝对值的意义化简即可．【详解】解：∵＜0，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是判断绝对值符合内的数是正是负，再进行化简．12．且【详解】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4-12m＞0且m≠0，∴m＜且m≠0，故答案为m＜且m≠0．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．13．3【分析】设t=a2+b2，则由原方程得到关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t即a2+b2的值．注意t是非负数．【详解】设t=a2+b2，（t≥0）则

t（t+3）=18，

整理，得

（t-3）（t+6）=0，

解得t=3或t=-6（舍去）．

故a2+b2的值为3．

故答案为：3．【点睛】此题考查解一元二次方程-换元法，解题关键在于掌握把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．14．-（a+3）．【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．【详解】设点B的横坐标为x，

则B、C间的横坐标的长度为-1-x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，

∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，

∴2（-1-x）=a+1，

解得x=-（a+3）．

故答案为：-（a+3）．【点睛】此题考查位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．15．或【分析】由正方形的性质可得AB=CD=8，∠D=∠C=90°，由折叠的性质可得AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求MA的长．【详解】如图，若∠FCA'=90°，即点A'在BC上，过点M作MN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且MN⊥BC

∴四边形MNCD是矩形

∴MN=CD=8

∵AB=8，BE=DF=1，

∴AE=CF=7

∵点A关于直线EM的对称点为A′，

∴AE=A'E=7，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°

∴A'B=，

∵∠BA'E+∠MA'N=90°，∠BA'E+∠A'EB=90°，

∴∠BEA'=∠MA'N，且∠B=∠MNA'=90°

∴△A'BE∽△MNA'，

∴，

∴

∴A'M=如图，若∠A'FC=90°，过点A'作HG⊥AD，过点E作EN⊥HG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD=8，∠D=∠C=90°，且HG⊥AD

∴四边形HGCD是矩形

∴HG=CD=8，

同理可得NG=BE=1，DF=A'H=1，AE=HN

∵AB=8，BE=DF=1，

∴AE=CF=7

∵点A关于直线EM的对称点为A′，

∴AE=A'E=7=HN，AM=A'M，∠A=∠EA'M=90°

∴A'N=HN-A'H=6

∴EN=，

∵∠NA'E+∠MA'H=90°，∠NA'E+∠A'EN=90°，

∴∠NEA'=∠MA'H，且∠ENA'=∠MHA'=90°

∴△A'NE∽△MHA'，

∴，

∴

∴A'M=，故答案为：或【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16．，2.【详解】试题分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．试题解析：解：原式=.当时，原式=.考点：分式的化简求值.17．⑴见解析；（2）86.4；（3）．【分析】（1）根据题意求得D类人数，补全统计图即可；

（2）360°×C类人数所占的百分比即可得到结论；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）D类有-12-20-12=6，补全统计图如图所示；

（2）成绩类别为“C”的扇形所对应的圆心角是360°×=86.4°；

故答案为：86.4；

（3）画树状图如下：

所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，

则P=．【点睛】此题考查列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．18．26m．【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=7m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD-AB=CD-7；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD-7，继而求得答案．【详解】根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，

∴AD=CD，

∵AD=AB+BD，

∴BD=AD-AB=CD-7（m），

∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°-∠CBD=36°，

∴tan36°=，

∴BD=CD•tan36°，

∴CD•tan36°=CD-7，

∴CD=≈≈26（m）．

答：钟楼的高度CD约为：26m．【点睛】此题考查解直角三角形仰角的知识．解题关键在于注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．19．证明见解析【分析】作DG∥BC交AB于点G，根据平行线得出△ADG∽△ACB，推出，即可解答.【详解】解：作DG∥BC交AB于点G.∵DG∥BE，∴；∵△ADG∽△ACB，∴，∵AD=BE，∴，即DF·AC=BC·FE.【点睛】此题考查相似三角形的性质和判定，解题关键在于掌握判定定理.20．（1）证明见解析（2）①t=6s②t=2或6s【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；

②分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；【详解】（1）证明：∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∵在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）①解：若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，

则此时的时间t=6÷1=6（s）；

②当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BC-BF=6-2t（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，

即t=6-2t，

解得：t=2；

当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BF-BC=2t-6（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，

即t=2t-6，

解得：t=6；

综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【点睛】此题考查四边形综合题，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及直角梯形，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．21．（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元.【详解】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：，解得：，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（1）见解析；（2）3；（3）.【分析】（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；

（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，然后求得