中考数学二轮复习冲刺第17讲 图形的相似（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（解析版）

第17讲图形的相似（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．【知识导图】【考点梳理】考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.考点二、相似图形相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点三、位似图形位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【典型例题】题型一、比例线段例1.已知三个数1,2,,请你再添上一个(只填一个)数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.分析：这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序,故应考虑各种可能位置.【思路点拨】这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序,故应考虑各种可能位置.【答案与解析】根据比例式的概念，可得：1×÷2=；2×÷1=21×2÷=【总结升华】要构成一个比例式，根据比例式的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【变式】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是()A．菱形的各角扩大为原来的2倍B．菱形的边长扩大为原来的2倍C．菱形的对角线扩大为原来的2倍D．菱形的面积扩大为原来的4倍【答案】A.题型二、相似图形例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【思路点拨】利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比（共底三角形的面积之比等于高之比）.【答案】C.【解析】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，故④正确．故选：C．【总结升华】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定的难度．例3．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，则BF=2；正确的结论有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路点拨】根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判断出①错误；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，然后判断出△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠DEF=45°，再根据两组角对应相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判断出②正确；连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=EF，然后判断出直线CM垂直平分BD，判断出③正确；过点M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BF=2MH，判断出④正确．【答案】C.【答案与解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90°，∵M是EF的中点，∴MD=EF，∵BM=EF，∴MD=MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM=∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，∵MC=，∴MH=×=1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF=2MH=2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故选C．【总结升华】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．【变式】如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.求证：求这个矩形EFGH的周长.【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，MD=HE=x，∵AD=30，∴AM=30-x，∵HG=2HE，∴HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），可得

，解得，x=12，2x=24

所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．答：矩形EFGH的周长为72cm．例4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当时，的值是；（2）①如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；②如图2，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据有一个角是直角的平行四边形即可得出四边形OA′B′C′是矩形，当α=90°时，可知，根据比例的性质得出；（2）①由△COP∽△A'OB'，根据相似三角形对应边成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，则BQ可求；②先利用AAS证明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即可求出；（3）当点P位于点B的右侧时，过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，根据S△POQ=S△POQ，即可证明出PQ=OP；设BP=x，在Rt△PCO中，运用勾股定理，得出x=，进而求得点P的坐标．【答案与解析】（1）∵O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），∴OA=BC=8，OC=AB=6，∴四边形OABC的形状是矩形；当α=90°时，P与C重合，如图，根据题意，得，则；（2）①如图1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，∴△COP∽△A'OB'，∴，即，∴CP=,BP=BC－CP=

.同理△B'CQ∽△B'C'O，，即，∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11，∴;②图2，在△OCP和△B′A′P中，，∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．∴OP=B′P．设B′P=x，在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，解得x=．∴S△OPB′==；（3）过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，∵S△POQ=PQ•OC，S△POQ=OP•QH，∴PQ=OP．设BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，如图4，当点P在点B左侧时，OP=PQ=BQ+BP=3x，在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得x1=1+，x2=1-（不符实际，舍去）．∴PC=BC+BP=9+，∴P1（-9-，6）．如图5，当点P在点B右侧时，∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=．∴PC=BC-BP=8-=，∴P2（-，6），综上可知，存在点P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【总结升华】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．例5．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．①求证：ADE∽BEF；②设正方形的边长为4，AE=，BF=．当取什么值时，有最大值?并求出这个最大值．【思路点拨】本题涉及到的考点有相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，二次函数的最值以及正方形的性质．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x得：，即：，得：y==（0＜x＜4）（3）解：当x=2时，y有最大值，y的最大值为1．该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用．确定个二次函数的最值是，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．题型三、位似图形例6.如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，阅读后证明相应的问题.画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；(2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；(3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明理由.【思路点拨】由画法可知，△CDE和△C′D′E′是位似图形.【答案与解析】△C′D′E′是等边三角形.证明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE为等边三角形，∴△C′D′E′为等边三角形.【总结升华】重点考查阅读理解能力和知识的迁移能力.【中考过关真题练】一．选择题（共7小题）1．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B点的纵坐标为6，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．2．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）A．5 B．6 C． D．【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．3．（2022•德州）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m【分析】根据DC∥BF，可得＝，进而得出BF即可．【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．4．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【分析】根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，∵汽车的长度大约为4米，∴横向距离大约是8米，由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，∴汽车到观测点的距离约为80米，故选：C．【点评】本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．5．（2022•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（）A． B．1 C． D．【分析】根据矩形的性质得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，求出FH＝BH，根据勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，∵点E、F分别为BC、CD的中点，∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，∵EH∥CD，∴FH＝BH，∵BE＝CE，∴EH＝CF＝，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∴BH＝FH＝BF＝，∵EH∥CD，∴△EHG∽△DFG，∴，∴＝，解得：GH＝，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．6．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM＝，可判断②正确；当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，则△CMN∽△CBD，可求得S△CMN＝S△CBD＝S菱形ABCD，可判断③正确；由CB＝CD，BM＝CN得CM＝DN，再证明△OCM∽△BCO，得＝，所以OC2＝CM•CB，即OA2＝DN•AB，可判断④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．7．（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6【分析】根据题意和图形，可以得到AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝ym，然后根据相似三角形的性质，可以得到y与x的函数关系式．【解答】解：由图2可得，AF＝BG＝xm，EF＝EG﹣FG，FG＝AB＝1.6m，EG＝ym，∴EF＝（y﹣1.6）m，∵CD⊥AF，EF⊥AF，∴CD∥EF，∴△ADC∽△AFE，∴，即，∴，化简，得y＝x+1.6，故选：B．【点评】本题考查一次函数的应用、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二．填空题（共6小题）8．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的1.2倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．9．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH的值即可．【解答】解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．10．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为3．【分析】由正方形的性质可知AE＝3，AD//BC，则可判断△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到S△AEF＝S△ABE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AB＝6，AD∥BC，∵E为AD的中点，∴AE＝AB＝3，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF：S△ABF＝1：2，∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．11．（2022•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则的值是．【分析】首先由勾股定理求出AB的长，由面积法得点C到DF的距离为，点E到AB的距离为，从而得出CD＝2，再根据角平分线的定义和平行线的性质得AD＝DE＝1，从而解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝5，∵△ABE的面积是2，∴点E到AB的距离为，在Rt△ABC中，点C到AB的距离为，∴点C到DF的距离为，∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴＝，∴CD＝2，DF＝，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝1，∴EF＝DF﹣DE＝﹣1＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．12．（2022•阜新）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是27．【分析】根据矩形ABCD的性质，很容易证明△DEF∽△BCF，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出△BCF的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠EDF＝∠CBF，∵∠EFD＝∠CFB，∴△DEF∽△BCF，∵AE＝2DE，AD＝BC，∴DE：BC＝1：3，∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，∴S△BCF＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了相似三角形面积之比，综合性比较强，学生要灵活应用．13．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是①②．（请填写序号）【分析】①证明△ABC是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件；②可推出点G是AD的中点，可以得出S△COD＝S△AOD＝2S△DOG，根据点O是BD的中点，可以得到S△BOG＝S△DOG，进一步得出结果；③根据AB∥CD得出，从而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；④可推出∠BPC＝120°，从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的上运动，当点O、P、I共线时，OP最小．【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正确，故答案为：①②．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件等知识，解决问题的关键熟练掌握“定弦对定角”等模型．三．解答题（共10小题）14．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC＝90°，则∠ACD+∠DAC＝90°，从而说明OA⊥AF，即可证明结论；（2）作DH⊥AC于点H，利用△ADH∽△ACD，得，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD＝DE，利用等腰三角形的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴OA⊥AF，∵OA是半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：作DH⊥AC于点H，∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，∴AD2＝AH•AC，∴AH＝，∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，∴AD＝ED，∴AE＝2AH＝．【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．15．（2022•内蒙古）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得到结论；（2）由平行线分线段定理得DN＝，再证明△BDN∽△ADB，可得BD＝2，最后证明∠BMD＝∠DBM，进而即可求解．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵EF与⊙O相切于点D，∴OD⊥EF，∵BC∥EF，∴OD⊥BC，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴＝，∴DN＝，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2（负值舍去），∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．【点评】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形是解题的关键．16．（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【解答】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，则DF＝CD＝90（cm），CF＝CD•cos∠DCF＝180×＝90（cm），由题意得：＝，即＝，解得：EF＝135，∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，则＝，解得：AB＝170+60，答：立柱AB的高度为（170+60）cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、平行投影的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．17．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．【分析】连接AC，交MN于点H，设直线l交MN于点Q，利用三角函数求出MH，再根据对称性求出MN即可．【解答】解：连接AC，交MN于点H，设直线l交MN于点Q，∵M是的中点，点E在MN上，∴∠AEM＝∠CEM＝∠AEC＝33°，在△AEC中，EA＝EC，∠AEH＝∠CEH，∴EH⊥AC，AH＝CH，∵直线l是对称轴，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥CD∥MN，∴AC⊥AB，∴AC＝42.9cm，AH＝CH＝cm，在Rt△AEH中，sin∠AEH＝，即＝，则AE＝39，tan∠AEH＝，即＝，则EH＝33，∴MH＝6cm，∵该图形为轴对称图形，∴MQ＝MH+HQ＝6+15＝21（cm），∴MN＝42（cm），即MN的长为42cm．【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键．18．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若＝，CG＝2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可；（2）根据＝相等，再由（1）中＝可得，，从而得到∠CAD＝∠BAD＝∠ABC＝30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，∵点D为的中点，∴OD⊥BC∵DE∥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接BD，如图所示，∵＝，∴BD＝AC∵点D为的中点，∴，∴，∴的度数＝的度数＝的度数＝60°，∴∠CAD＝∠BAD＝30°．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACG中，tan∠CAD＝，sin∴CA＝，AG＝∵CG＝2，∴CA＝2×＝6，AG＝4．∴BD＝CA＝6，∴S△ACG＝CG•AC＝6．在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴AD＝＝＝6．∵DE∥BC，∴△CAG∽△EAD，∴，即，∴S△EAD＝．∴S阴影部分＝S△EAD﹣S△ACG＝．【点评】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，其中利用过圆心，平分弧然后根据垂径定理证明半径垂直于弦是解题的关键．19．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B两点之间的距离约为94米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．20．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．21．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBA+∠ABO＝90°，再由∠PBA＝30°，可得∠ABO＝60°，从而得到△AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分∠ABO，即可求证；（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得∠PBA＝∠OBC＝∠OCB，从而得到∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA，进而得到∠AOB＝∠ACD，再由∠BAO＝∠BDC，即可求证．【解答】（1）证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵∠PBA＝30°，∴∠ABO＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．又∵OE＝AE，∴BE平分∠ABO．∴，∴BA平分∠PBD；（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵AC为直径，∴∠ABC＝90°．∴∠OBC+∠ABO＝90°．∴∠OBC＝∠PBA．∵OB＝OC，∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，∴∠AOB＝∠ACD，又∵∠BAO＝∠BDC，∴△OAB∽△CDE．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sinB＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．【中考挑战满分模拟练】1．（2023•邢台一模）4sin260°的值为（）A．3 B．1 C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案．【解答】解：．故选：A．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．2．（2023•邢台一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，则S△DEF为（）A．1 B．2 C． D．【分析】直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，∴△ABC与△DEF相似比为：2：1，∴△ABC与△DEF面积之比为4：1，∵S△ABC＝4，，S△DEF＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．3．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A．+1 B．2+2 C．2+1 D．+4【分析】先在Rt△ABD中，利用60°的余弦和正弦求出AD＝2，BD＝2，再在Rt△ACD中，利用正切的定义求出CD，然后计算BD+CD即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，sin∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝4×＝2，BD＝4sin60°＝4×＝2，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．4．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m【分析】根据题意可知△DCE∽△BAE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵镜子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴∠DEC＝∠BEA，∵DE⊥AC，BA⊥AC，∴∠DCE＝∠BAE，∴△DCE∽△BAE，∴＝，即＝，∴AB＝12.8（m）．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．5．（2023•雁塔区校级一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC面积为1，△DEF面积为9，则的值为（）A． B． C． D．2【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到＝，再根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∵△ABC面积为1，△DEF面积为9，∴＝，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴＝，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．（2023•吉阳区一模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（）A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．7．（2023•深圳模拟）数学中余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC的值是（）A．5 B． C． D．2【分析】根据材料中的余弦定理，进行计算即可解答．【解答】解：在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，∴BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA＝32+42﹣2×3×4×cos60°＝9+16﹣24×＝25﹣12＝13，∴BC＝或BC＝﹣（舍去），∴BC＝，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，理解材料中的余弦定理是解题的关键．8．（2023•深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm，则AB约是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm【分析】根据图形和题目中的数据，可以得到＝≈0.618，然后计算即可．【解答】解：由题意可得，＝≈0.618，解得AB≈49，故选：B．【点评】本题考查黄金分割，解答本题的关键是明确题意，计算出AB的值．9．（2023•邢台一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、D选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的平分线；②＝；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二．填空题（共10小题）10．（2023•福安市一模）若cos（α﹣15）°＝，则α＝45．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵cos（α﹣15）°＝，∴（α﹣15）°＝30°，则α＝45．故答案为：45．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．11．（2023•雁塔区一模）如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝1.2（结果保留小数）．【分析】由黄金分割的定义得，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），∴，∴，故答案为：1.2．【点评】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．12．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知直线AB∥CD∥EF，且AE：EC＝2：3，BD＝15，则DF＝9．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AE：EC＝2：3，BD＝15，∴AE：EC＝BF：DF＝2：3，∴BF：DF＝（BD﹣DF）：DF＝2：3，∴（15﹣DF）：DF＝2：3，∴DF＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．（2023•未央区校级三模）某综合实践活动课，老师要求学生测量教学楼外的旗杆高度．组长将成员分为两，选择了一个身高1.6m的同学站立在旗杆影子的前方，并要求组内同学测量他的影子长度，另一组成员测量旗杆的影子长度．经过测量，该同学的影长为1.2m，旗杆影长为9m．那么他们得到旗杆的高度是12m．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【解答】解：由题意得：∴1.6：1.2＝旗杆的高度：9．∴旗杆的高度为12m．故答案为：12．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理在实际中的应用．14．（2023•未央区校级三模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanA的值为．【分析】在Rt△ABC中，先利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝10，然后利用勾股定理求出BC＝8，最后利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tanA＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（2023•碑林区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝135°，BC＝6，CD＝2，点E，F分别是边AB，AD的三等分点，AE＝AB，AF＝AD，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积为24，则△CEF的面积是6．【分析】过点D作DG⊥BC交BC延长线于点G，连接BD、AC，求得S△BCD、S△ABD的值，再证明△AEF∽△ABD，利用面积比的关系得到△AEF的面积，再利用同高的两个三角形面积比为底之比得到△BCE和△DFC面积之和，最后利用S△CEF＝S四边形ABCD﹣S△AEF﹣（S△BCE+S△DFC）关系求得结果．【解答】解：过点D作DG⊥BC交BC延长线于点G，连接BD、AC，如图．∵∠BCD＝135°，∴∠DCG＝45°．∴DG＝CD•sin45°＝2×＝2，∴S△BCD＝DG•BC＝×2×6＝6．∴S△ABD＝S四边形ABCD﹣S△BCD＝24﹣6＝18．∵AE＝AB，AF＝AD，∴＝＝，∵∠EAF＝BAD，∴△AEF∽△ABD．∴＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABD＝×18＝2，又∵＝，∴＝，∴S△BCE＝S△ABC，同理可得：S△DFC＝S△ADC，∴S△BCE+S△DFC＝（S△ABC+S△ADC）＝•S四边形ABCD＝×24＝16，∴S△CEF＝S四边形ABCD﹣S△AEF﹣（S△BCE+S△DFC）＝24﹣2﹣16＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，面积比等于相似比的平方，三角函数，常见辅助线的作法，本题正确作出辅助线是解题的关键．16．（2023•偃师市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为（1，0）或（，0）时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝3﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴3﹣a＝2a，∴a＝1．∴E（1，0）；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（3﹣a）＝6﹣2a，∴6﹣2a+＝3，∴a＝．∴E（，0）．综上所述，点E的坐标为（1，0）或（，0）．故答案为：（1，0）或（，0）．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．17．（2023•市南区校级一模）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线AG的切点，B是圆弧与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为（π+4）cm2．【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出OQ、QD的长，利用tan∠ODC＝求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出△AOH为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【解答】解：如图，作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，∵A到直线DE和EF的距离均为7cm，∴EM＝AM＝7，又∵EF＝12，MN＝DE＝2，∴NG＝MF＝12﹣7＝5，AN＝AM﹣NM＝7﹣2＝5，∴∠AGD＝45°，∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°，由于AG是圆弧的切线，∴AG⊥OA，∠AOH＝45°，设大圆的半径为R，则AS＝OS＝，OQ＝SN＝5﹣，DQ＝DN﹣QN＝7﹣，∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2，图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积，所以S阴影＝×π×（2）2+×2×2﹣×π×1＝×π×8+4﹣π＝3π+4﹣π＝π+4．故答案为：（π+4）．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，熟练掌握圆的有关计算方法是解题的关键．18．（2023•镇海区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，求BF的长或．【分析】连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，根据轴对称的性质得EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，由EF∥AC得∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，所以BH⊥AC，由∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，得AC＝＝10，则×10BH＝×6×8＝S△ABC，求得BH＝，再分两种情况讨论，一是△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE，可推导出MH＝BF，MI＝BI＝BF，则3×BF＝，得BF＝；二是△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE，可推导出MH＝BF，则2×BF+BF＝，得BF＝．【解答】解：连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，∵将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，∴EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，∵EF∥AC，∴∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，∴BH⊥AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴×10BH＝×6×8＝S△ABC，∴BH＝，当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，如图1，∵△BEF≌△MEF，∴△MGF∽△MEF，∴＝＝1，∴GM＝EM＝EB，∵∠BFE＝∠C，∴GM＝EB＝BF•tan∠BFE＝BF•tanC＝BF×＝BF，∵∠GMH＝90°﹣∠FMI＝∠MFE＝∠BFE＝∠C，∴MH＝GM•cos∠GMH＝GM•cosC＝BF×＝BF×＝BF，∵MI＝BI＝BF•sin∠BFE＝BF•sinC＝BF×＝BF，∴3×BF＝，∴BF＝；当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，如图2，∵＝tan∠MGF＝tan∠BFE＝tanC＝，∴GM＝MF＝BF，∴MH＝GM•cos∠GMH＝GM•cosC＝BF×＝BF，∴2×BF+BF＝，∴BF＝，综上所述，BF的长为或，故答案为：或．【点评】此题重点考查勾股定理、根据面积等式求线段的长度、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．19．（2023•青岛一模）如图，正方形ABCD中，AD＝12，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若点F是BC边的中点，下列说法正确的是①②③.（填序号）①△AGD∽△FGB；②∠EFG＝∠ABD＝45°；③AM＝10；④S△EAM＝．【分析】利用勾股定理求出AF＝6，再证明△AGD∽△FGB，得出＝2，进而求得FG＝2，再根据∠ABC+∠AEF＝180°，判断出点A，B，F，E四点共圆，进而得出∠EFG＝∠ABD＝45°，由翻折得出：FG＝FM，∠EFM＝∠EFG，可得∠AFM＝90°，利用分割法求出△AEM的面积．【解答】解：如图，设对角线的交点为O，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝12，∵点F是AB的中点，∴BF＝BC＝6，在Rt△ABF中，AF＝＝＝6，∵AD∥BC，∴△AGD∽△FGB，故①正确，∴＝，∴＝＝2，∴AG＝2FG，∵AG+FG＝AF，∴2FG+FG＝6∴FG＝2，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝45°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°＝∠ABC，∴∠ABC+∠AEF＝180°，∴点A，B，F，E四点共圆，∴∠EFG＝∠ABD＝45°，故②正确，∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∠EFM＝∠EFG∴FM＝2，∠EFM＝∠EFG＝45°，∴∠AFM＝∠EFM+∠EFG＝45°+45°＝90°，∴AM＝＝＝10．故③正确．连接EC，过点E作EP⊥AD于点P交BC于点Q，过点F作FH⊥BD于点H．∵四边形是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，DA＝DC，∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴EA＝EC，∵EA＝EF，∴EF＝EC，∵EQ⊥CB，∴FQ＝CQ，∵△APE≌△EQF，∴PE＝FQ＝CQ＝3，∴DE＝3，∵AD∥BF，BD＝12，AF＝6，∴BG：GD＝BF：AD＝FG：AG＝1：2，∴BG＝4，EG＝12﹣3﹣4＝5，FG＝FM＝2，∵FH⊥BH，∴FH＝BH＝3，∴△AEM的面积＝S△AEF+S△EFM﹣S△AFM＝×（6）2+×5×﹣××2＝30，故④错误，故答案为：①②③．【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键．三．解答题（共6小题）20．（2023•莲湖区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．【分析】过点A作AF⊥MN于点F，交CD于点E，证明△ACE∽△AMF，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解．【解答】解：如图所示，过点A作AF⊥MN于点F，交CD于点E，依题意，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，∴四边形ABDE，ABNF是矩形，∴AE＝BD＝2，CE＝CD﹣AB＝3﹣1.6＝1.4，AF＝BN＝BD+DN＝2+14＝16，FN＝AB＝1.6，∵CD⊥BN，M