中考数学二轮复习冲刺第04讲 一次方程及方程组（23个考点）（知识精讲）（原卷版）

第04讲一次方程及方程组（23个考点）【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识导图】【考点梳理】一、一元一次方程1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的过程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).要点诠释：解一元一次方程的一般步骤步骤名称方法依据注意事项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）等式性质1移项一定要改变符号4合并同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式的加减；2、有理数的加法法则单独的一个未知数的系数为“±1”5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质2不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）*6检根x=a方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果.①若左边＝右边，则x=a是方程的解；②若左边≠右边，则x=a不是方程的解.注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.二、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．2.二元一次方程组的一般形式要点诠释：a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.3.二元一次方程组的解法(1)代入消元法；(2)加减消元法.要点诠释：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验:(有三次检验①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释：列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.【典型例题】一．方程的定义（共1小题）1．（2022•南京模拟）下列四个式子中，是方程的是（）A．3+2＝5 B．x＝1 C．2x﹣1＜0 D．a+b二．方程的解（共2小题）2．（2022•江阴市模拟）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2022•香洲区校级一模）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为．三．等式的性质（共2小题）4．（2022•宜兴市校级二模）若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（）A．15 B．﹣5 C．5 D．35．（2022•景县校级模拟）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（）A．■ B．● C．▲ D．无法确定四．一元一次方程的定义（共2小题）6．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0 B．7 C．8 D．107．（2022•宛城区一模）例如44x+64＝328，等，像这样的方程叫做一元一次方程．请写出一元一次方程的共同特点：．五．一元一次方程的解（共2小题）8．（2022•石家庄二模）x＝1是下列哪个方程的解（）A．6＝5﹣x B．2x+2＝3x+3 C． D．x2＝x9．（2022•青县一模）已知关于x的方程的解为x＝﹣10，则a的值为；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的﹣1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为x＝．六．解一元一次方程（共3小题）10．（2022•钟山县模拟）解方程：＝1．11．（2022•西安模拟）解方程：3（x﹣1）＝2﹣2x．12．（2022•昭化区模拟）解方程：．七．含绝对值符号的一元一次方程（共2小题）13．（2021•江阴市校级模拟）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝．14．（2012•凤阳县校级模拟）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|＝2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x＝2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3．故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．八．同解方程（共3小题）15．（2022•南山区模拟）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．416．（2020•邯山区校级二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝．17．（2021•邵阳模拟）已知方程x+3＝0与关于x的方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12的解相同（1）求k的值；（2）若|m+5|+（n﹣1）k＝0求m+n的值．九．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）18．（2022•萧山区校级二模）在车间原计划用15小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产x个零件，那么下列方程正确的是（）A．x＝（x+10）+80 B．＝x+80 C．15x＝13（x+10）+80 D．13（x+10）＝15x+8019．（2022•政和县模拟）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x，则下面符合题意的方程是（）A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11 C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16一十．一元一次方程的应用（共7小题）20．（2022•沂水县一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是cm，拼成的大正方形的面积是cm2．21．（2022•温州校级模拟）在端午节来临之际，某超市李老板花1600元购进了A、B、C三种类型的粽子，其中A粽子40盒，B粽子35盒，C粽子10盒，A粽子每盒的进价比B粽子低5元，C粽子进价30元/盒．（1）求A粽子和B粽子每盒的进价；（2）第一批粽子全部售出后，李老板又去采购，这次采购A粽子的数量和B粽子相同，但是A粽子的进价每盒降低了m%，B粽子的进价每盒提高了m%，当A粽子花费960元进货时，B粽子需要花费1920元进货，①求m的值；②进价调整后，李老板采购这三种粽子用了3000元，且A、B、C三种类型的粽子的售价分别为20元/盒，30元/盒，40元/盒，设出售完第二批粽子所得利润为W元，求W的最大值．22．（2022•埇桥区校级模拟）寒假期间，小亮同学想跟着父母一起从合肥乘坐高铁去宣城，已知普通快车从合肥站到宣城站全程的平均速度为70km/h，刚开通的高铁从合肥站到宣城站全程的平均速度为140km/h，行完全程高铁比普通快车节省了90min．求合肥站到宣城站的距离为多少千米？23．（2022•马鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．24．（2022•新城区模拟）为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织学生去红色革命圣地﹣延安开展研学旅行，若单独租用30座客车若干辆，则恰好坐满：若单独租用40座客车，则可少租一辆．且余20个座位，求参加此次研学旅行的总人数．25．（2022•运城一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲，乙工程队每天各施工多少米？26．（2022•石家庄一模）某社区打算购买一批垃圾分类提示牌和垃圾箱，计划提示牌比垃圾箱多购买6个，且提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为100个．（1）求计划购买提示牌多少个？（2）为提升居民垃圾分类意识，实际购买时增加了提示牌的购买数量，且提示牌与垃圾箱的购买数量之和不变．已知提示牌的单价为每个60元，垃圾箱的单价为每个150元，若预算费用不超过9800元，请求出实际购买提示牌的数量至少增加了多少个？一十一．二元一次方程的定义（共2小题）27．（2022•麒麟区模拟）若方程x2a﹣b﹣3ya+b＝2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（）A． B．2 C． D．128．（2021•饶平县校级模拟）若关于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，则m+n＝．一十二．二元一次方程的解（共3小题）29．（2022•上城区一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（）A． B． C． D．30．（2022•铁西区二模）已知是方程mx﹣y＝3的解，则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．731．（2022•易县三模）我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x，y）．（1）若（6，y）是“相伴数对”，则y的值为；（2）若（a，b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b＝．一十三．解二元一次方程（共3小题）32．（2022•长春二模）将方程7x﹣y＝5变形成用含x的代数式表示y，则y＝．33．（2022•惠城区一模）在二元一次方程5x﹣3y＝16中，若x、y互为相反数，求x与y值．34．（2022•河源一模）方程3x+4y＝9，如果2y＝6，求x的值．一十四．由实际问题抽象出二元一次方程（共2小题）35．（2022•萧山区二模）为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则有（）A．x﹣y＝10 B．5x﹣3y＝60 C．3x﹣y＝40 D．x+y＝2036．（2022•上虞区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡x只，兔y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为．一十五．二元一次方程的应用（共3小题）37．（2022•前进区三模）为了加大“精准扶贫”力度，某市准备将10名干部分成2人一组或3人一组，到村屯带领贫困户脱贫，在所有干部都参加且每人只能参加一个小组的前提下，分组方案有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种38．（2022•乐陵市模拟）为落实好乐陵市“1115”高效课堂，李老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有种．39．（2022•诸暨市模拟）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，根据如图的幻方，则代数式x﹣3y＝．x2y﹣2y0一十六．二元一次方程组的定义（共1小题）40．（2022•长春二模）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．一十七．二元一次方程组的解（共1小题）41．（2022•淮阴区模拟）已知是方程组的解，则3a﹣b的值是（）A．1 B．3 C．4 D．5一十八．解二元一次方程组（共4小题）42．（2022•仓山区校级模拟）解方程组：．43．（2022•红花岗区三模）解方程组：．44．（2022•义安区模拟）解二元一次方程组：．45．（2022•青秀区校级三模）阅读下列材料，并回答问题：【情境1】：小红在研究学习无理数时发现：①任意一个有理数与无理数的和为无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；③零与无理数的积为零．【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现：若ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，则a＝0且b＝0．例如：若，其中a，b为有理数，则a＝0，b＝0．【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题：，其中a，b为有理数．分析：通过变形，得：．又a，b为有理数，∴解得：．运用上述知识解决下列问题：（1）已知，其中a，b为有理数，则a＝，b＝；（2）已知，其中a，b为有理数，求ab+2的值．一十九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）46．（2022•兴庆区校级三模）某商店促销活动，同时购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花费224元．已知一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元，若一副乒乓球拍的标价是x元，一副羽毛球拍的标价为y元，根据题意，可列方程组（）A． B． C． D．二十．二元一次方程组的应用（共4小题）47．（2022•大名县三模）可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（）A．（a﹣b）cm B．cm C．（+b）cm D．m48．（2022•龙华区校级模拟）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）1435售价（元/件）2043若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件．49．（2022•翔安区模拟）某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元．（1）求a的值；（2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少费用是多少元？50．（2022•泉港区模拟）为做好疫情防控工作，某单位计划再购买甲、乙两种新型额温枪．若购买1支甲种额温枪和2支乙种额温枪共需700元，购买2支甲种额温枪和3支乙种额温枪共需1160元．试求出甲、乙两种额温枪的单价各多少元．二十一．同解方程组（共1小题）51．（2022•济南二模）已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是．二十二．解三元一次方程组（共4小题）52．（2022•安徽模拟）实数x、y、z且x+y+z≠0，x＝，z＝，则下列等式成立的是（）A．x2﹣y2＝z2 B．xy＝z C．x2+y2＝z2 D．x+y＝z53．（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组（2）已知x、y、z，满足试求z的值．54．（2021•饶平县校级模拟）已知方程组的解满足方程x+y＝10，求k．55．（2021•下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．二十三．三元一次方程组的应用（共3小题）56．（2022•渝北区校级模拟）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“天生荔质”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装6盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装8盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“天生荔质”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出，第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓，也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春遇”、“春见”两款混合