（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测06平面向量（教师版）

第第页第06课平面向量考点01平面向量的基本概念【例1】给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（

）A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共线向量，即①正确；若与不相等，则向量与也可以共线，只要与模不同即可，故②错误；平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如，，，此时，，但是与不一定共线，故③错误；即真命题只有个.故选：B【变式1】（多选）下列叙述中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反D．对任一非零向量是一个单位向量【答案】CD【详解】A：若时，不一定有，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；D：非零向量，则是一个单位向量，正确.故选：CD【变式2】（多选）下列说法正确的有（

）A．B．λ、μ为非零实数，若，则与共线C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有【答案】BCD【详解】对于A选项，，故错误；对于B选项，因为为非零实数，且，与一定共线，故正确；对于C选项，向量不能比较大小；向量的模可比较大小，故正确；对于D选项，由，所以，故正确.故选：BCD.考点02平面向量的线性运算【例2】如图所示，，，M为AB的中点，则为（

）

A．B．C．D．【答案】B【详解】，，M为AB的中点，所以.故选：B【变式3】在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】将转化为，结合已知可得.【详解】在五角星中，，，则，，，，.故选：C.【变式4】在中，E为AC上一点，，P为线段BE上任一点，若，则的最小值是（

）A．B．C．6D．8【答案】B【详解】由题可得B，P，E三点共线，则.又，，则，则.当且仅当，即时取等号.故选：B考点03向量共线与三点共线【例3】如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.(1)用向量与表示向量；(2)若，求证：三点共线.【答案】(1)，；(2)证明见解析【详解】（1）是的中点，；.（2），与平行，又与有公共点，三点共线.【变式5】设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为__________.【答案】【详解】因为三点共线，故,则，使得，又，故，则，解得，故答案为：【变式6】已知是不共线的向量，且，则（

）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【答案】D【详解】因为，所以，若A、B、D三点共线，则，而无解，故A错误；因为，所以，若A、B、C三点共线，则，而无解，故B错误；因为，所以，若B、C、D三点共线，则，而无解，故C错误；因为，所以，即，所以A、C、D三点共线，故D正确.故选：D考点04平面向量共线定理的推论【例4】如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（

）．

A．B．C．D．【答案】D【分析】利用共线定理的推论可得.【详解】因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D【变式7】如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（

）

A．B．C．D．【答案】B【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.【详解】由题意知：，又，，即，由三点共线，可得，即.故选：B.【变式8】在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（

）A．B．C．3D．4【答案】A【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得.【详解】由题可知，，因为，，所以，，又，所以，所以，因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：A

考点05平面向量基本定理【例5】（多选）已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（

）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，又，所以，故B正确；，故C正确；，，又，所以，故D错误.

故选：ABC【变式9】在中，点为与的交点，，则（

）A．0B．C．D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案.【详解】因为，所以为中点，三点共线，故可设，即，整理得，因为，所以，即，三点共线，可得，所以，解得，可得，则，.故选：B考点06平面向量的坐标运算【例6】若，，C为AB的中点，D为AB上更靠近A的三等分点，则C的坐标为______，D的坐标为______．【答案】【分析】根据中点的坐标公式求的坐标，利用求的坐标.【详解】根据中点坐标公式，的坐标为，，则．因为，所以的坐标为．故答案为：，【变式11】已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三点共线，求的值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得.（2）因为，，因为，，三点共线，所以，所以，解得，故的值为．【变式12】在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．【答案】【详解】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得，，，，由得，设，则，可得，解得，所以，，又因为，所以，解得，，则.故答案为：.考点07求数量积【例7】在平面直角坐标系中，设向量，(1)当时，求，的值；(2)若且，求的值.【答案】(1)，；(2)【详解】（1）因为，，当时，，所以，，（2）∵，，∴，∴，∵，，∴，解得，∴.【变式13】如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则______.

【答案】【详解】由平面向量数量积的定义可得，由题意可得，，所以，.故答案为：.考点08垂直关系的判断及应用【例8】已知平面向量，，，，，则的值是______.【答案】【详解】，因为，所以，解得，又因为，所以，故答案为：【变式15】已知向量，．若，则实数的值为．【答案】【详解】，，因为，所以整理得，故．【变式16】已知向量，，若，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】已知向量，，且，则，即，若，则，这与矛盾，所以，，故，因此，.故选：A.考点09向量的模【例9】已知三个不共线的平面向量，，两两所成的角相等，，，，则______.【答案】5【详解】由题知三个不共线的平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是，因为，，，所以，所以.故答案为：5【变式17】如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为__________．

【答案】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模的坐标公式可得，故可求模的最小值.【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设，

因为，且，故，故，，故，而，故，故，即，所以，当时，.故答案为：考点10求两个向量的夹角【例10】设两个向量，满足，．(1)若，求，的夹角；(2)若，的夹角为60°，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)且.【分析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；（2）根据夹角为锐角则数量积为正数，求得的范围，再排除向量与不为同向共线向量对应参数的范围，则问题得解.【详解】（1）因为，所以，又，，所以，所以，又，所以向量、的夹角是.（2）因为向量与的夹角为锐角，所以，且向量与不同向共线，即，又、夹角为，所以，所以，解得，又向量与不同向共线，所以，解得，所以的取值范围是且.【变式18】已知向量，．(1)若，求实数k的值；(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】(1)k＝；(2)．【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.【详解】（1），因为，所以，解得：.（2）若与的夹角是钝角，则且与方向不相反，即，且解得：且，故实数k的取值范围是.考点11求投影向量【例11】已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C【变式19】已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接利用在方向上投影向量公式计算即可得出结果.【详解】在方向上的投影向量为，故选：C考点12最值、范围问题【例12】已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用向量数量积公式得到，结合，得到不等式，求出的取值范围.【详解】设的夹角为，由题意得，因为是单位向量，故，显然，且，所以，因为，所以，所以，解得.故选：C【变式20】在中，，为边上的动点，则的最小值为_________．【答案】.【详解】由于，所以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系如图所示：

则有：，设点，且，所以，，则，当时，取得最小值．故答案为：．平面向量随堂检测1.已知向量，且，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，且，所以，所以.故选：C.2.（多选）如图，是正六边形的中心，则（

）

A．B．C．D．在上的投影向量为【答案】CD【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A、B不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D正确.【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，所以B不正确；对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确；对于D中，如图所示，连接，可得，可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确.故选：CD.

3.已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断.【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同；“存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况．所以，“存在实数，使得”不能推出是“”；“”可以推出“存在实数，使得”，所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．故选：B.4若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解.【详解】设向量与的夹角为θ.由，左右两边平方得,得.由，得，从而.故选:B.5.如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（

）

A．B．C．D．【答案】B【详解】设，，所以，又，所以，因为，所以，所以，解得，所以，故选：B.6.在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（

）A．3B．4C．D．9【答案】B【分析】由题意可得，又点，，三点共线，所以，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．【详解】，，，点，，三点共线，，又，，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为4．故选：B．7.设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）【答案】①②③【详解】①，共线；②，共线；③，共线；④和无法表示成，所以不共线.故答案为：①②③8.如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么______.

【答案】1【详解】如图所示，作单位向量,

则，，所以.又，所以,