（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测07解三角形（教师版）

第第页第07课解三角形考点01 解三角形【例1】在中，若，则（）A． B． C．【答案】A【详解】由题意可得，，由余弦定理可得，即，又，可得，利用正弦定理可知,所以.故选：A.【变式1】在中，分别是角所对的边.若，的面积为，则的值为______【答案】【详解】由，的面积为，得，所以，则，所以.故答案为：.【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．【答案】【分析】根据同角三角函数的平方关系由得出，再由得出，最后根据正弦定理即可求出．【详解】因为，所以，则，由正弦定理可得，则，故答案为：．考点02 判断三角形解的个数【例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件根据正弦定理用表示出，然后由和正弦函数的性质求出的范围，从而可求出x的取值范围【详解】在中，，，，由正弦定理得，得，解得，因为满足条件的三角形有两个，所以，所以，即，解得，即x的取值范围为，故选：B【变式3】已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】B【详解】因为，由正弦定理，得到，所以，又因为，故，.故选：B.考点03 三角形面积及其应用【例3】在中，．(1)如果，且，求的值；(2)如果锐角的面积为，求的长度．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得，再由正弦定理得到，结合，即可求得的大小；（2）利用的面积公式求得，得到，结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为，且，可得，解得，又因为，由正弦定理得，可得，又由，可得，所以为锐角，所以.（2）解：因为，所以的面积为，解得，又因为为锐角三角形，所以，由余弦定理得.【变式5】在中，.(1)求A；(2)若点D在BC边上，，，求的面积.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由正弦定理得：，，结合余弦定理得：，且在三角形中，，.（2）,所以,D是BC的中点，，即，，且,两式相减得：,所以，.【变式6】在中，，则边上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理求，再得，利用的面积公式即可求边上的高.【详解】在中，因为，由余弦定理得因为，所以设边上的高为，则，

所以，即边上的高等于.故选：B.考点04 判断三角形的形状【例4】在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.【详解】因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故选：B【变式7】（多选）中，角，，所对的边分别为，，，则如下命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若为锐角三角形，则D．若是直角三角形，则【答案】ACD【详解】对于A：若，则，结合正弦定理得，故A正确；对于B：若，由正弦定理可得，所以，故或，即或，故三角形是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：若三角形为锐角三角形，则，故，同理可得，，三式相加得，故C正确；对于D：若是直角三角形，不妨设为直角，则，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，则，同理可证或为直角时也成立，故D正确．故选：ACD．【变式8】（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则符合条件的有两个D．若，则为等腰三角形【答案】AB【分析】利用正弦定理､余弦定理对各个选项逐一分析，由此确定正确选项即可.【详解】选项，在三角形中大角对大边，所以，由正弦定理得，所以选项正确；选项，由正弦定理得，所以，又，则C为钝角，所以B选项正确；选项，由正弦定理可得，又，则，故此三角形有唯一解，错误；D选项，因为，所以，所以，即，又，且，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误.故选：考点05 求外接圆半径【例5】在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】由余弦定理结合题意可得出，再由正弦定理即可求出外接圆的半径长.【详解】由可得，再由余弦定理可得：，故，因为，所以则.故选：B.【变式9】锐角的外接圆圆心为О，半径为2，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】现根据正弦定理求得，进而结合外心的性质求解即可.【详解】由正弦定理得，，设中点为，连接，，，因为点为锐角的外接圆圆心，所以，即，所以.故选：C.

【变式10】在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由题知，，进而得，即，再结合正弦定理求解即可.【详解】∵是锐角三角形，在上的投影长等于的外接圆半径，，又，，，，两式相加得：，即，，即，又，，.故选：B.考点06 边角互化【例6】的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，；则的面积为_________.【答案】【详解】依题意，，，由正弦定理得：，整理得，所以，所以为锐角且，同时，解得，所以，所以.故答案为：【变式11】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知条件结合正余弦定理可得，再利用三角函数恒等变换公式可得结果.【详解】由，得，所以，即，所以，即，所以．即．故选：C【变式12】在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即，所以故选：B考点07 正余弦定理在几何中的应用【例7】在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)选①，；选②，；(2)选①，；选②，【分析】（1）选①，利用余弦定理得到；选②，利用互补得到，结合余弦定理列出方程，求出答案；（2）选①，在（1）的基础上，得到⊥，结合三角形面积公式求出和的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出和，利用三角形面积公式求出和的面积，相加得到答案.【详解】（1）选①，由余弦定理得，解得，选②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以，即，解得.（2）选①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四边形ABCD的面积为；选②，，故，故，因为，所以，故，，故四边形ABCD的面积为.【变式13】如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC=___________.【答案】【分析】在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因为，可求出，再由余弦定理可求出的值.【详解】在中，由正弦定理可得：，所以①，在中，由正弦定理可得：，所以②，又因为，所以由①②可得：，解得：，所以在中，由余弦定理得：，解得：.考点08 正余弦定理的实际应用【例8】位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（

）（参考数据：取，，）

A．56米 B．69米 C．71米 D．73米【答案】C【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，从而可得结论.【详解】由余弦定理可得．依题意得，则，所以，则，故佛像全身高度约为71米．故选：C.【变式14】如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高______米．

【答案】【分析】设米，进而可得BC，BD，然后利用余弦定理求解.【详解】设米，在中，，在中，，在中，，即，所以，解得（米）.故答案为：28.考点09 最值问题【例9】在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.(1)求角；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由给定的等式，结合余弦定理求出角作答.（2）根据（1）的结论，结合正弦定理边化角，再利用三角变换及三角函数的性质求解作答．【详解】（1）在中，由，得，由余弦定理得，又，解得，所以.（2）在锐角中，由（1）知，，则，解得，由正弦定理得，，即，，因此，而，有，于是，所以的取值范围是．【变式15】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解；（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）方法一：由，根据正弦定理边化角得：，即，所以，因为，所以，又，所以，又，所以；方法二：由，根据余弦定理：得，即，因为，所以，所以，又，得；（2）由（1）及余弦定理知，所以，因为，所以，化简得，因为，，所以，，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的面积，所以面积的最大值为.解三角形随堂检测1.在中，已知，，，则角的度数为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】由题知，，，在中，由正弦定理可得：，即，所以，因为，所以，所以或.故选：C．2.（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（

）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，.【答案】AD【详解】对于A，由正弦定理得：，，，即，，则三角形有唯一解，A正确；对于B，由正弦定理得：，，，即，或，则三角形有两解，B错误；对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.故选：AD3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，再根据可得，然后利用余弦定理，可得，即可解出．【详解】因为,因为的面积为，，所以，即有.又，所以，即，所以.故选：C.4.若，且，那么是（

）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由，得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正余弦定理角化边得，化简得，所以，所以为等边三角形，故选：B5.在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知，由余弦定理可得，由正弦定理可得，即.则的外接圆面积.故选：A.6．在中，内角所对的边分别为.若，则______.【答案】【详解】在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，所以为锐角，所以.故答案为：7.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角C的大小；(2)若，且的面积为，求边长c．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解；（2）由的面积为，得到，再结合，求得a，b，然后利用余弦定理求解.【详解】（1）解：由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，则．（2）∵的