2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：概率（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：概率（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•榆林四模）在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为14，乙获胜的概率为34，则乙获得冠军的概率为2．（2024•宜丰县校级模拟）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．3．（2024•青海二模）青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为．4．（2024•济南模拟）某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为5．（2024•陕西模拟）一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则当你到达该路口时，看见黄灯的概率为．6．（2024•鲤城区校级模拟）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=35，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则P（7．（2024•天津模拟）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数X的期望是．8．（2024•重庆模拟）从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，…，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．9．（2024•沈河区校级模拟）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望E（X）和方差D（X）均存在，则对任意正实数c，有P（|X﹣E（X）|＜ε）≥1-D(X)ε2．根据该不等式可以对事件|x﹣E（X）|＜ɛ的概率作出估计，在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间（0.4，0.6）内，估计信号发射次数n的值至少为10．（2024•浦东新区二模）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为．

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：概率（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•榆林四模）在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为14，乙获胜的概率为34，则乙获得冠军的概率为27【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】2732【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：若两局决出冠军，则乙获得冠军的概率为：p1若三局决出冠军，则乙获得冠军的概率为：p2故所求概率为916故答案为：2732【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2024•宜丰县校级模拟）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为13【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，求出甲获胜的概率以及甲获胜且乙摸到2号球的概率，利用条件概率公式即可求解．【解答】解：设事件“甲获胜”为事件A，事件“乙摸到2号球”为事件B，则P(A)=1+2+C2所以P(B|A)=P(AB)故答案为：13【点评】本题主要考查条件概率的计算，属于基础题．3．（2024•青海二模）青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为23【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】23【分析】豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，由古典概型能求出其概率．【解答】解：某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，其概率为P=A故答案为：23【点评】本题考查排列组合与古典概型概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2024•济南模拟）某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为13【考点】等可能事件和等可能事件的概率．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】1316【分析】设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的情况有二种：①每步上一阶，走二步；②第一步上两阶．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率．【解答】解：某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为1设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的情况有二种：①每步上一阶，走二步，概率为34②第一步上两阶，概率为14∴该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为：P=9故答案为：1316【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2024•陕西模拟）一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则当你到达该路口时，看见黄灯的概率为118【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，分析可得该问题为几何概型，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，该问题为几何概型，由于红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，则看见黄灯的概率P=5故答案为：118【点评】本题考查几何概型的计算，注意几何概型的定义，属于基础题．6．（2024•鲤城区校级模拟）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=35，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则P（【考点】条件概率．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】415【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可．【解答】解：由P(A|B)=P(AB)P(B)，有又由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），有P(A)+3可得P(A)=4故答案为：415【点评】本题考查和事件的概率公式和条件概率公式相关知识，属于基础题．7．（2024•天津模拟）某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为715；取出的3件产品中次品的件数X的期望是35【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为P（X＝1）；（2）取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．【解答】解：（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为P（X＝1）=C（2）∵X可能为0，1，2∴P（X＝0）=CP（X＝1）=7P（X＝2）=C∴X的分布为：X012P715715115则E（X）＝0×715+1×故答案为：715，3【点评】本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大．8．（2024•重庆模拟）从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，…，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是1318【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】结合题意求得学生甲上每级台阶的方法数，从而利用古典概型的概率公式即可得解．【解答】解：记学生甲上到第n级台阶共有an种上法，则a1＝1，a2＝2，当n≥3时，学生甲上到第n级台阶，可以从第n﹣1级或第n﹣2级上去，所以an﹣2+an﹣1＝an，于是a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89，a11＝144，其中甲踩过第5级台阶的上台阶方法数，可分两步计算，第一步，从第1级到第5级，共有a5种方法；第二步，从第6级到第11级，相当于从第1级到第6级的方法数，共有a6种方法；所以甲踩过第5级台阶的上台阶方法数有a5a6，则甲踩过第5级台阶的概率是P=a故答案为：1318【点评】本题考查古典概型的概率公式相关知识，属于基础题．9．（2024•沈河区校级模拟）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望E（X）和方差D（X）均存在，则对任意正实数c，有P（|X﹣E（X）|＜ε）≥1-D(X)ε2．根据该不等式可以对事件|x﹣E（X）|＜ɛ的概率作出估计，在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间（0.4，0.6）内，估计信号发射次数n的值至少为【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】1250．【分析】运用二项分布公式算出E（X）和D（X），再根据题意求出|X﹣E（X）|＜ɛ中ɛ的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解．【解答】解：由已知X～B(n，12)，所以E（X）＝0.5n，D若0.4＜Xn＜0.6，则0.4n＜X＜0.6n，即﹣0.1n＜X﹣0.5即|X﹣0.5n|＜0.1n，由切比雪夫不等式P(|X-要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1-0.25n(0.1n)2所以估计信号发射次数n的最小值为1250．故答案为：1250．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于难题．10．（2024•浦东新区二模）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为0.18．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】设这三门体育类选修课的选修人数分别为6a，3a，a，分别求出三门体育类选修课考核优秀的人数，再利用古典概型的概率公式求解，【解答】解：设这三门体育类选修课的选修人数分别为6a，3a，a，则所求概率为P=0.2×6a+0.16×3a+0.12a6a+3a+a故答案为：0.18．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

考点卡片1．互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．等可能事件和等可能事件的概率【知识点的认识】等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件．比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概率是等可能事件．【解题方法点拨】例：判断下列事件是否为等可能事件：（1）买一张体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；（2）小丽被选为班长与没有被选为班长；（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上解：（1）买一张体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；（2）小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件．这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一张彩票中奖的概率是否相等，所以解答是正确的．通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件．例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（）A：先抽的概率大些B：三人的概率相等C：无法确定谁的概率大D：．以上都不对解：∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是13故选：B．比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等．这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率（1n【命题方向】等可能事件应该说初中就已经学过了，我们只要知道它的概念就可以了．3．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．4．几何概型【知识点的认识】1．定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）=A的度量Ω5．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．6．条件概率【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是29解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：2典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是2（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P(AB)解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P12414112414数学期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P(AB)7．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．