2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：计数原理（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：计数原理（10题）一．选择题（共10小题）1．（2024•莆田模拟）用数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得到一个数列{an}，则a25＝（）A．32150 B．25310 C．32510 D．251302．（2024•辽宁模拟）(3-2x2A．15 B．20 C．75 D．1003．（2024•东莞市校级三模）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a2+a3＝（）A．10 B．0 C．﹣40 D．1304．（2024•内江一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．8种 B．14种 C．20种 D．116种5．（2024•杭州模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A．300 B．240 C．150 D．506．（2024•碑林区校级模拟）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（）种．A．1960 B．2160 C．2520 D．28807．（2024•西安模拟）(2xA．﹣288 B．﹣312 C．480 D．7368．（2024•北京）在(x-x)4A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣129．（2024•凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A．12种 B．24种 C．48种 D．96种10．（2024•遂宁模拟）(x2-2A．10 B．20 C．40 D．80

2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：计数原理（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•莆田模拟）用数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列得到一个数列{an}，则a25＝（）A．32150 B．25310 C．32510 D．25130【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】C【分析】由分类加法计数原理及排列数公式求解即可．【解答】解：数字1在万位的偶数（0，2为个位）有A21数字2在万位的偶数（0为个位）有A33数字3在万位，0在千位的偶数（2为个位）有A22此时共12+6+2＝20个偶数，随后5个偶数从小到大为31052，31502，31520，32150，32510，所以第25个数是32510，即a25＝32510．故选：C．【点评】本题主要考查简单的计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．2．（2024•辽宁模拟）(3-2x2A．15 B．20 C．75 D．100【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；数学运算．【答案】A【分析】根据分配律，结合二项式定理的通项公式即可求解．【解答】解：(3-若3-2x2提供常数项3，则（1+x）6提供含有x2若3-2x2提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4由（1+x）6通项公式可得C6可知r＝2时，可得展开式中x2的系数为3C可知r＝4时，可得展开式中x2的系数为-2(3-2x2)(1+x)6展开式中x2故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．3．（2024•东莞市校级三模）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a2+a3＝（）A．10 B．0 C．﹣40 D．130【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；创新题型；转化思想；二项式定理；数学运算．【答案】C【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1=C5r⋅(-2)r⋅xr（r＝0当r＝2时，a2＝40，当r＝3时，a3＝﹣80，故a2+a3＝﹣40．故选：C．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．（2024•内江一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．8种 B．14种 C．20种 D．116种【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，甲乙不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，甲乙不能同时入选，有C53﹣C31＝7种安排方法，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况，则有7×2＝14种安排方法，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，注意排除法的应用，属于基础题．5．（2024•杭州模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A．300 B．240 C．150 D．50【考点】排列组合的综合应用．【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】C【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解．【解答】解：先将5名志愿者分为3组，则有C51再将这3组分给三个社区，有A33则不同的分配方法数是25×6＝150．故选：C．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属基础题．6．（2024•碑林区校级模拟）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（）种．A．1960 B．2160 C．2520 D．2880【考点】排列组合的综合应用．【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】C【分析】按照3名女生需要住2个房间或3个房间分类讨论即可．【解答】解：若3名女生住2个房间，则4名男生其中有两人住一个房间，则不同的方法种数为C3若3名女生住3个房间，则4名男生每两人住一个房间，则不同的方法种数为12则不同的安排方法有C3故选：C．【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．7．（2024•西安模拟）(2xA．﹣288 B．﹣312 C．480 D．736【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用二项式的展开式以及配对问题的应用求出结果．【解答】解：根据(1x-2)8的展开式Tr+1=C8r⋅(-2)r⋅x-8-r2（r＝当与2x3配对时，r＝2，故常数项为2C当与（﹣2）配对时，r＝8，故常数项为-2故展开式的常数项为﹣512+224＝﹣288．故选：A．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，配对问题，主要考查学生的运算能力，属于基础题．8．（2024•北京）在(x-x)4A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】A【分析】利用二项式定理，求解即可．【解答】解：(x-x)4的通项公式为：（﹣1）rC4r⋅x二项展开式中x3的系数：C42•（﹣1）2＝故选：A．【点评】本题考查二项式定理的应用，是基础题．9．（2024•凉山州模拟）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A．12种 B．24种 C．48种 D．96种【考点】部分元素不相邻的排列问题．【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】B【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁．【解答】解：甲和乙相邻，捆绑在一起有A2再与丙和丁外的1人排列有A2再排丙和丁有A3故共有A2故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．10．（2024•遂宁模拟）(x2-2A．10 B．20 C．40 D．80【考点】二项式定理．【专题】计算题；对应思想；定义法；二项式定理；数学运算．【答案】C【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令10﹣3k＝4，求出k即可．【解答】解：(x2-2x)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k（x2）5﹣k(令10﹣3k＝4，则k＝2，∴展开式中x4的系数为C52（﹣2）2＝故选：C．【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

考点卡片1．部分位置的元素有限制的排列问题【知识点的认识】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．【解题方法点拨】﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．【命题方向】﹣常考察在特定位置或区域内元素的排列，如规定某些元素必须在前几位，或必须固定在某些位置的排列问题．﹣命题可能涉及多重限制条件的综合分析，要求考生灵活运用排列数公式．2．部分元素不相邻的排列问题【知识点的认识】﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．【解题方法点拨】﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．【命题方向】﹣命题方向可能要求考生求解特定元素不相邻的排列总数，或者分析多个元素不相邻的组合情况．﹣题目可能涉及多个不相邻条件的叠加，要求考生准确处理这些条件．3．排列组合的综合应用【知识点的认识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．4．二项式定理【知识点的认识】二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=i=0nCnian例1：用二项式定理估算1.0110＝1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.01故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把(3i-x)解：由题意T8=C107×(3i)3×(-1)故答案为：3603i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．性质1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cn（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：