《工程力学》课件第8章

项目八平面弯曲梁变形的强度和刚度问题

8.1任务引入

8.2解决任务的方法

8.3相关知识点介绍

8.4知识拓展

【教学提示】本项目主要解决平面弯曲梁变形的强度和刚度问题，解决问题的方法也是研究材料力学的基本方法。在教学过程中，采用启发式教学和问题式教学相结合的方法，并结合实物录像、讨论课、课外作业、课外兴趣小组以及竞赛等环节进行教学。通过本项目任务的解决，可以逐步培养学生的逻辑思维能力，有效地促进学生综合素质的提高。

【学习目标】能正确、熟练画出剪力图和弯矩图。通过推导纯弯曲时梁横截面上的正应力，学生应掌握求解应力在截面上分布问题的思路及方法。正确掌握正应力和剪应力的计算公式，熟练掌握弯曲强度计算。掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法。明确叠加法的使用条件。掌握用变形比较法求解静不定梁。培养学生具有应用力学基本知识，通过观察和比较、分析和综合，对平面弯曲梁变形的刚度和强度作出正确判断的初步能力；具有对平面弯曲梁变形的受力状态和内力分布进行图形表达的能力；初步掌握平面弯曲梁变形承载能力的计算方法，具有对简单问题进行计算的能力。

工程实际中常见产生平面弯曲变形的构件有单梁吊车的横梁(见图4-14)、车间用天车(见图5-1)的横梁、火车轮轴(见图8-1)、镗刀刀杆(见图8-2)以及轧扳机的轧辊(见图8-3)等。工程中通常把以弯曲为主要变形的杆件称为梁，梁的强度和刚度问题是工程中必须解决的。8.1任务引入

图8-1火车轮轴

图8-2镗刀刀杆

图8-3轧扳机的轧辊

本项目内容为梁的内力分析与计算、应力分析与强度计算、变形及刚度计算等。因为涉及了许多概念和公式，所以要求学习者必须清晰理解平面弯曲时的受力特点、变形特点，以及中性轴、剪力、弯矩、抗弯截面系数、惯性矩、挠度和转角等概念；熟练掌握剪力、弯矩图的画法，弯曲正应力分析及强度计算公式、刚度与变形公式的运用；树立合理设计梁的工程意识。8.2解决任务的方法

模块一平面弯曲梁的外力和内力

(一)计算简图和力学模型

由以上工程实例发生变形的情况可以得到：

(1)构件特点：构件的轴向尺寸远远大于横向尺寸，可以简化为一根直杆。

(2)受力特点：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。

8.3相关知识点介绍

(3)变形特点：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。

常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。

在工程中，梁的支承条件和作用在梁上的载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析、计算，同时又要保证计算结果足够精确，需要对梁进行简化，得到梁的计算力学模型(计算简图)。

1.构件的简化

不论梁的截面形状如何，通常用梁的轴线来代替实际的梁。

2.载荷的简化

实际杆件上作用的载荷是多种多样的，但归纳起来，可简化成以下三种载荷形式：当外力的作用范围与梁相比很小时，可视为集中作用于一点，即集中力；两集中力大小相等，方向相反，作用线相邻很近时，可视为集中力偶；连续作用在梁的全长或部分长度内的载荷为分布载荷。分布于单位长度上的载荷值称为分布载荷集度，用q表示，当q为常量时，称为均布载荷。

3.梁支座的简化

梁的支座可简化为三种形式：

(1)固定铰支座和活动铰支座，分别如图8-4(a)和(b)所示。如果支座处梁的横截面可有轻微的转动，但不能绕垂直于载荷作用面转动，也不能移动，那么在载荷作用面内该支座简化为铰支座，如图8-1所示火车轮轴的支承。

(2)固定端，如图8-4(c)所示。如果在支座处梁既不能绕垂直于载荷作用面转动，也不能移动，则在载荷作用面内该支座可简化为固定端，如图8-2所示镗刀刀杆的支承。

图8-4铰支座简图

4.平面弯曲梁的基本形式

(1)简支梁：如图8-5(a)所示，梁的两端分别为固定铰支座和可动铰支座，例如单梁吊车横梁(见图4-14)。

(2)外伸梁：如图8-5(b)所示，梁的支承形式与简支梁相同，但梁的一端(或两端)伸出支座之外，例如火车轮轴(见图8-1)。

(3)悬臂梁：如图8-5(c)所示，梁的一端为固定端，另一端为自由端，例如镗刀刀杆(见图8-2)。

图8-5平面弯曲梁的基本形式

图8-6平面弯曲梁

(二)平面弯曲梁的剪力和弯矩

工程中常用的梁的横截面一般至少有一根对称轴，该对称轴与梁轴线所确定的平面称为纵向对称面。若梁上的载荷均作用在纵向对称面内，如图8-6所示，则梁的轴线将在此平面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。平面弯曲变形是最基本和最常见的变形，因此我们重点讨论平面弯曲变形。

1.剪力和弯矩

以图8-7(a)所示简支梁为例，用任意截面m—m假想地将简支梁截成左、右两部分。以左部分为研究对象(见图8-7(b))，在该段梁上除作用有支反力FRA外，还有截面右段对左段的作用力，即内力。由于整个梁处于平衡状态，左段也应保持平衡状态，故在m—m截面上必定有一个与FRA大小相等、方向相反的切向内力FQ存在，同时FRA与FQ形成一对力偶，其力偶矩为FRA·x，使梁左段有顺时针转动的趋势。在该截面上还应有一个逆时针转向的内力偶矩M存在，才能使梁左段保持平衡，即内力必定是一力和一力偶，分别称为剪力和弯矩，并用FQ和M表示。

图8-7截面法求内力剪力与弯矩的大小可由保留段的平衡方程确定。在图8-7中，取m—m截面左段为研究对象，则有

当然，也可以取右段为研究对象(见图3-21(c))，由作用力与反作用力关系可知

FQ右＝FQ左，M右＝M左

为了使保留左段或保留右段时，同一截面上的弯曲内力不仅大小相等，而且正负号相同，对剪力与弯矩的正负号规定如下。

剪力的符号：如果剪力FQ有使微段梁的左、右两截面发生左上右下错动的趋势，则剪力为正(如图8-8(a)所示)；反之，若使微段梁左、右两截面有左下右上错动趋势，则剪力为负(如图8-8(b)所示)。

弯矩的符号：如果使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正(如图8-8(c)所示)；反之使梁弯成下凹上凸形状时，弯矩为负(如图8-8(d)所示)。

为了方便记忆剪力和弯矩的符号，可归纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。

图8-8剪力和弯矩符号规定

例8-1

确定如图8-9(a)所示的简支梁上m—m截面的剪力与弯矩。

图8-9例8-1简支梁的内力图解(1)求支座约束力FRA和FRB(见图8-9(b))。

(2)用一平面假想地将梁从距左端为x的m—m截面处截成两段，以左段为研究对象，用设正法在该截面加上正的剪力与正的弯矩(见图8-9(c))，则由平衡条件得

∑Fy＝0,FRA－FP1－FQ1＝0

FQ1＝FRA－FP1 ①

∑MC(F)＝0,

M1－FRA·x＋FP1(x－a1)＝0

M1＝FRA·x－FP1(x－a1) ②

式中,C为m—m横截面上的形心。由于已经假设法截面上的剪力与弯矩均为正，因此求得的FQ和M的正负，就表明了该截面的剪力与弯矩的正负。应用这种方法可以求出任何截面的剪力和弯矩。

通过上述例题，梁横截面的剪力和弯矩与梁的外载荷之间存在以下关系：

(1)任一横截面的剪力等于该截面左段(或右侧段)上所有外力在垂直轴线上投影的代数和，写为

其中，当以左侧段为研究对象时，其上所有外力向上为正，向下为负；取右侧段为研究对象时，与左侧段相反，其上所有外力向下为正，向上为负。记忆口诀是：左上右下，外力为正。

(2)任一横截面上的弯矩等于该截面左侧段(或右侧段)上所有外载荷对该截面形心C之矩的代数和，则有

M＝∑MC(F)L＝∑MC(F)R

其中，以左侧段为研究对象时，其上的外载荷对截面形心C之矩以顺时针转向为正，逆时针转向为负；取右侧段为研究对象时，与左侧段相反，其上所有外载荷对截面形心C之矩以逆时针转向为正，顺时针转向为负。记忆口诀是：左顺右逆，外力矩为正。

2.剪力图和弯矩图

1)剪力方程与弯矩方程

在通常情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置而变化的。设横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即

FQ＝FQ(x) (8-1)

M＝M(x) (8-2)

式(8-1)和式(8-2)分别称为剪力方程和弯矩方程。坐标x的原点一般取在梁的左端面处，以平行于梁轴线的横坐标表示横截面的位置。建立剪力方程与弯矩方程，实际上就是列出任一横截面上的剪力与弯矩的表达式。

当梁上有多种载荷同时作用时，载荷发生变化的起止点称为界点，如集中力和集中力偶的作用点、均布载荷的起止点和梁的支承点等。界点之间的距离简称为段，当梁上各点的剪力或弯矩不能用同一个方程表示时，应分别写出各段梁的剪力方程或弯矩方程，其中每段又可称为梁的一个力区。

2)剪力图和弯矩图

为了表明梁上各截面的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，通常绘出梁的剪力图和弯矩图。绘图方法与轴力图和扭矩图类似，即以横截面上的剪力或弯矩值为纵坐标，以横截面沿梁轴线的位置为横坐标x，分别绘出表示FQ(x)或M(x)的函数图形，此图形分别称为剪力图和弯矩图。正值的剪力和弯矩画在x轴上侧，负值的剪力和弯矩画在x轴下侧。

剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图都是梁强度计算和刚度计算的重要依据，是工程力学的主要基础知识之一，也是学习工程力学时应该掌握的基本技能。

下面通过列举一些典型例题，说明建立剪力方程和弯矩方程及绘制剪力图和弯矩图的方法。

例8-2

试画出图8-10(a)所示在集中力FP作用下的简支梁的剪力图与弯矩图。

解

(1)求支座约束力。

(2)分段建立剪力方程与弯矩方程

AC段：

①

图8-10例8-2简支梁的内力图

②

CB段：

③

④

(3)画剪力图与弯矩图。由式①和式③可知，AC段和CB段的剪力方程均为常数，故它们的剪力图均为水平直线，见图8-10(b)；由式②和式④可知，AC段和CB段的弯矩方程均为x的一次函数，故它们的弯矩图均为倾斜直线，见图8-10(c)。只要确定各段端点的内力值及其正、负号(见下表)，就可画出内力图。

注：A＋表示A截面右侧距A截面无穷远处，C－表示C截面左侧距C截面无穷远处，其余类推。

例8-3

图8-11(a)所示为一受集中力偶M作用的简支梁。试画出其剪力图与弯矩图。

解

(1)求支座约束力。由静力平衡条件可求得

(2)分段建立剪力方程与弯矩方程。

AC段：

①

②

CB段：

③

④

图8-11例8-3简支梁的内力图

(3)画剪力图与弯矩图。由式①和式③可知：AC和CB两段的剪力方程均为常数，故剪力图为一条水平线,见图8-11(b)；由式②和式④可知，AC和CB两段的弯矩方程均为x的一次函数，故知它们的弯矩图均为倾斜直线，见图8-11(c)。只要确定各段端点的内力值及其正、负号(见下表)，就可画出内力图，据此可画出各段的剪力图与弯矩图。

例8-4

试画出在载荷集度为q的均布载荷作用下的简支梁的剪力图与弯矩图(见图8-12(a))。

解

(1)求支座约束力。由于梁和载荷都是对称的，故有

图8-12例8-4简支梁的内力图

(2)建立剪力方程与弯矩方程。从距梁左端为x的任意截面处将梁截开，保留左段为研究对象，则有

①

②

(3)画剪力图与弯矩图。由式①可知，剪力方程为x的一次函数，故剪力图是一条倾斜直线，见图8-12(b)；由式②可知，弯矩方程为x的二次函数，故弯矩图为二次抛物线，见图8-12(c)。需知道三点才能大致画出弯矩图，通常选择区段端点和抛物线的极值点来画抛物线。

现将各控制截面的内力值列表(简称列表求端值)如下：

项目控制面

总结以上画内力图的过程，可得画内力图的一般步骤如下：

(1)建立坐标系：取x轴平行于杆轴线以表示截面位置，另一轴表示内力的大小和符号。

(2)确定内力图的分段界限：根据内力方程的适用区间，确定内力图的相应区段。

(3)确定内力图的形状：根据内力方程x的幂次，确定该段内力图的图线形状。

(4)确定各段控制面的内力值：求出各段端截面的内力值，从而确定出内力图中各控制点的位置。

(5)连线成图：将各控制点联接起来，即得所求的内力图。

(6)标注正、负号及数据：在所绘内力图中标明正、负号及各控制点的坐标值(即内力值)，并确定绝对值最大的内力值及其所在截面的位置，以供强度计算使用。

3)剪力、弯矩和载荷集度间的关系

由前述内容可见，载荷不同，梁上各截面的剪力和弯矩不同，剪力图和弯矩图的形状也不同。实际上，梁的剪力图、弯矩图与梁上载荷之间存在一定的相互关系，如例8-4中，剪力方程和弯矩方程分别为

若对上述两式求一阶导数，则得

剪力、弯矩和载荷集度各函数之间的这种微分关系具有一般普遍规律(证明从略)，即剪力方程的一阶导数等于载荷集度，弯矩方程的一阶导数等于剪力方程。利用这些微分关系，可以对梁的剪力图、弯矩图进行绘制和检查。

(8-3)

(8-4)

由式(8-3)、式(8-4)又可得到如下关系：

(8-5)

式(8-3)~式(8-5)的几何意义分别是：剪力图上任一点切线的斜率等于梁上对应点处的载荷集度；弯矩图上任一点切线的斜率等于梁上对应点处横截面上的剪力；弯矩图的凹凸形状可由载荷集度q的正、负确定。

根据上述微分关系及以上各例题分析，可以总结出梁的剪力图、弯矩图与梁上载荷之间的一些规律，现归纳如下：

(1)若梁上某段无分布载荷作用，则剪力FQ(x)为一不变的常数，段内各截面的剪力相同，剪力图为一水平直线；弯矩M(x)为x的一次函数，弯矩图为一斜直线，FQ>0时斜率为正,FQ<0时斜率为负,FQ＝0时为一水平直线。

(2)若梁上某段有均布载荷q作用，则剪力FQ(x)是x的一次函数，段内剪力图为一斜直线；对应的弯矩M(x)为x的二次函数，段内弯矩图为二次抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷q的指向一致。若q的指向向下(q<0)，则该段剪力图斜率为负，弯矩图开口向下；若q的指向向上(q>0)，则该段剪力图斜率为正，弯矩图开口向上；在FQ＝0的截面上，弯矩为极值，即为抛物线的顶点。

(3)在集中力作用的界点上，剪力图有突变，突变值等于该集中力，从左向右绘图时，突变的方向与集中力指向一致，从右向左绘图时，突变方向与集中力指向相反。弯矩图此界点处存在折角现象。

(4)在集中力偶作用的界点，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值等于该集中力偶矩。从左向右绘图时，力偶顺时针转向，弯矩图向上突变；力偶逆时针转向，弯矩图向下突变；反之，当从右向左绘图时，则突变方向与之相反。

熟悉和掌握以上规律，应用时可以明显提高绘图能力，并能够快速发现绘图过程中出现的错误。为便于记忆，上述关系可列为表8-1和表8-2。

表8-1剪力图和弯矩图的图形规律

表8-2剪力图和弯矩图突变规律模块二平面弯曲正应力和强度计算

(一)平面弯曲正应力

横力弯曲：梁横截面上既有弯矩又有剪力，既有正应力又有切应力。

纯弯曲：梁横截面上只有弯矩而无剪力，只有正应力而无切应力。

横力弯曲时的最大切应力发生在截面中性轴上。对于细长梁，一般只进行正应力分析，但对于薄壁梁或短跨梁，则既要进行正应力分析，又要进行切应力分析。本节主要研究对象为细长梁。

1.平面弯曲正应力分布规律

横截面上的正应力对中性轴呈线形分布，且距中性轴距离相等的各点的正应力数值相等，中性轴上正应力等于零，中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压，离中性轴愈远正应力愈大，最大正应力(绝对值)在离中性轴最远的上、下边缘处，如图8-13所示。

图8-13平面弯曲正应力分布图

2.正应力计算公式

1)横截面上任意点的正应力

平面弯曲横截面上任意点的正应力为

(8-6)

式中,M为横截面上的弯矩；y为所求点到中性轴的距离；Iz为截面对中性轴z的惯性矩，常用单位为m4。

2)横截面上的最大正应力

当y＝ymax时，弯曲正应力达最大值，即

令 ,则可得

(8-7)

式中,Wz为抗弯截面系数，常用单位为m3。

说明：

(1)当截面形状对称于中性轴时(如矩形、工字形、圆形)，如图8-14所示，其受拉和受压边缘离中性轴的距离相等，即y1＝y2＝ymax，因而

lmax＝

ymax。

(2)当截面形状不对称中性轴时(如T形截面)，如图8-15所示，其y1≠y2，所以最大拉应力与最大压应力不相等，分别为

图8-14对称截面的应力分布

图8-15非对称截面的应力分布

(3)轴惯性矩I和抗弯截面系数W是只与截面的形状、尺寸有关的几何量。截面面积分布离中性轴越远，截面对该轴的惯性矩越大，抗弯截面系数也越大。常用截面的I、W计算公式如表8-3所示。

表8-3常用截面的I、W计算公式

例8-5

悬臂梁如图8-16(a)所示，其长为l的矩形截面如图8-16(b)所示，在自由端作用一集中力F。已知b＝120mm，h＝180mm,l＝2m,F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。

解

(1)绘制弯矩图如图8-16(c)所示。B截面处的弯矩值为

(2)求各点的正应力。

a点：

b点：

c点：

图8-16例8-5悬臂梁的平面计算简图

(二)强度计算

对梁进行强度计算时，应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。但对工程中常见的细长实心梁截面而言，截面上最大正应力远大于最大切应力，这表明梁的强度主要由正应力控制。而在有些情况下就必须考虑切应力并按切应力进行强度校核，如短跨梁、较大载荷作用在支座附近的梁，以及薄壁截面和工字形截面腹板较高的梁等。

对于等截面直梁，最大弯矩所在截面称为危险截面，危险截面上距离中性轴最远处的点称为危险点。要使梁具有足够的强度，必须使危险截面上的最大工作应力不超过材料的许用应力，其强度条件为

(8-8)

式中，［

］为材料许用弯曲应力。对于材料的抗拉和抗压强度相同的梁，截面宜采用与中性轴对称的形状，如矩形、圆形或工字钢截面等。当截面对中性轴具有对称性时，强度条件可写为

(8-9)

对于脆性材料(如铸铁)制成的梁，由于材料的抗拉和抗压强度不等，故截面宜采用与中性轴不对称的形状，其强度条件为

(8-10)

(8-11)

式中，

＋max和

－max分别为梁上的最大拉应力和最大压应力；[

]＋和[

]－分别是材料的许用拉应力与许用压应力；y1和y2分别为最大拉应力作用位置和最大压应力作用位置距中性轴的坐标值。

应用强度条件可以解决梁的强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷等三类问题。

例8-6

圆轴受力如图8-17(a)所示。已知轴的许用应力［

］＝125MPa。试设计轴的直径d。

解

(1)画受力简图如图8-17(b)所示。

(2)作弯矩图、分析危险截面。弯矩图如图8-17(c)所示。由于该轴各截面的几何性质相同，为等截面梁，故最大弯矩所在截面C即为该轴的危险截面。

图8-17圆轴的平面计算简图

(3)设计轴的直径。由梁的正应力强度条件

得

取d＝50mm。

例8-7

螺旋压板夹紧装置如图8-18(a)所示。已知板长a＝50mm，压板材料的许用应力［

］＝140MPa。试确定压板作用于工件的最大许可压紧力［F］。

解

(1)画受力简图如图8-18(b)所示。

(2)作弯矩图、分析危险截面。弯矩图如图8-18(c)所示。由于C截面弯矩最大，且有螺栓孔，抗弯截面系数Wz最小，故C截面为该轴的危险截面。

图8-18螺旋压板夹紧装置的平面计算简图

(3)确定许可压紧力。查表8-3得危险截面对中性轴的惯性矩为

抗弯截面系数为

由梁的正应力强度条件

得

故压板作用于工件上的最大许可压紧力［F］＝3.72kN。

例8-8

简易吊车的横梁AB为工字型钢，如图8-19(a)所示，其许用应力［

］＝120MPa，吊车的最大起吊重量为F＝10kN(包括电动葫芦自重)，不计梁的自重。试按正应力强度条件选择工字钢型号。

解

(1)画受力简图。 将AB梁简化为如图8-19(b)所示的简支梁，并让载荷F作用于梁的跨中，因为此时F产生的弯矩最大。

(2)作弯矩图、分析危险截面。弯矩图如图8-19(c)所示，由于AB梁为等截面梁，因此最大弯矩所在截成(跨中)即为梁的危险截面。

图8-19吊车横梁的平面计算简图

(3)选择工字钢型号。由正应力强度条件

得

根据Wz＝208.3cm3查型钢表，选取用20a工字钢。其参数为：Wx＝237cm3>208.3cm3。

例8-9

T字形铸铁托架如图8-20(a)所示，T字形截面如图8-20(b)所示，其许用应力［

l］＝40MPa，［

y］＝120MPa。已知F＝10kN，l＝300mm，n—n截面对上中性轴z的惯性矩，Iz＝1.93×106mm4，y1＝24.3mm，y2＝75.7mm，各截面的承载能力大致相同。试校核托架n—n截面的强度。

解

(1)画受力简图如图8-20(c)所示。作弯矩图如图8-20(d)所示。

图8-20T字形铸铁托架平面计算简图

(2)校核强度。作n—n截面的应力分布图如图8-20(e)所示。最大拉应力发生于上边缘各点

最大正应力发生于下边缘各点，且

因此托架满足强度要求。模块三梁的变形和刚度条件

(一)梁的变形

工程中，对某些受弯构件除有强度要求外，往往还有刚度要求，即要求其变形不能超过限定值；否则，由于变形过大，会使结构或构件丧失正常功能，发生刚度失效。如车床的主轴，若其变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低寿命，同时还会影响加工精度。

在工程中还存在另外一种情况，所考虑的不是限制构件的弹性变形，而是希望构件在不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性变形。如各种车辆中用于减小振动的叠板弹簧，就是采用板条叠合结构，以吸收车辆受到振动和冲击时的动能，从而起到缓冲振动的作用。

这些都说明研究梁的弯曲变形是非常必要的。

1. 梁的挠曲线

如图8-21所示悬臂梁，取变形前梁的轴线为x轴，与轴线垂直且向上的轴为w轴。在平面弯曲的情况下，梁的轴线在x—w平面内弯成一曲线AB‘称为梁的挠曲线。梁的变形可用两个位移量，即挠度和转角来表示。

1)挠度

梁任一横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为该横截面的挠度，用w表示。规定沿w轴正向(即向上)的挠度为正，反之为负。挠度的单位为mm。

图8-21梁的挠曲线

2)转角

梁的任一横截面绕其中性轴转过的角度，称为该横截面的转角，用

表示。根据平面假设，梁变形后的横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，因而横截面的转角

也等于挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角。规定转角逆时针方向时为正，反之为负。转角的单位为rad。

梁横截面的挠度w和转角

都随截面位置x而变化，是x的连续函数，即

w＝w(x) (8-12)

＝

(x) (8-13)

以上两式分别称为梁的挠曲线方程和转角方程。在小变形条件下，两者之间存在下面的关系：

(8-14)

即挠曲线上任一点处切线的斜率等于该处横截面的转角。因此，只要知道梁的挠曲线方程w＝w(x)，就可求得梁任一横截面的挠度w和转角

。

2.梁的挠曲线微分方程

在前面推导纯弯曲梁正应力计算公式时，曾得到用中性层曲率半径ρ表示的弯曲变形的公式

。如果忽略剪切力对变形的影响，则该式也可以用于梁的横力弯曲的情形。此时，弯矩M和相应的曲率半径ρ均为x的函数，上式变为

①

另外，从几何关系上看，平面曲线的曲率有如下的表达式：

在小变形条件下，转角

是一个很小的量，故

，于是上式可简化为

②

将式②代入式①，得

③

现在来选择式③中的正负号。如果弯矩M的正负号仍然按以前规定，并选择w轴向上为正，则弯矩M与

恒为异号，式(c)左端应取正号。故有

(8-15)

式(8-15)称为梁的挠曲线近似微分方程。对其进行积分，可得转角

和挠度w。

(二)积分法计算梁的变形

对于等截面梁，EI为常量。对挠曲线近似微分方程进行两次积分，即可得到梁的转角方程和挠度方程

(8-16)

(8-17)

式中，C、D为积分常数，可以应用梁的边界条件与挠曲线连续光滑条件来确定。积分常数确定后，分别用式(8-16)和式(8-17)两式求得转角和挠度方程。

例8-10

已知悬臂梁如图8-22所示，在其自由端受一集中力F作用，EI为常数。试求该梁的转角方程和挠度方程，并确定其最大转角和最大挠度。

解

(1)建立挠曲线微分方程并积分。

在图8-22所示坐标下的梁弯矩方程为

M(x)＝－F(l－x)

则其挠曲线微分方程为

图8-22例8-10悬臂梁的平面计算简图

经积分，得

①

②

(2)确定积分常数。

边界条件

x＝0,

A＝0，wA＝0

将上述边界条件分别代入式①和式②，得

C＝0,D＝0

(3)确定转角方程和挠度方程。

将所得积分常数C和常数D代入式①和式②，得转角方程和挠度方程分别为

(4)确定最大转角和最大挠度。

梁的最大转角和最大挠度均在梁的自由端截面B处，将端截面B的横坐标x＝1代入以上两式，最大转角和最大挠度分别为

例8-11

已知悬臂梁如图8-23所示，左半部承受均布载荷q作用。试建立梁的转角方程和挠度方程，并计算截面A的转角和挠度。

解分段列出弯矩方程

AC段：

CB段：

由于AC和CB两段内的弯矩方程不同，故挠曲线的微分方程也就不同，所以应分段进行积分。

图8-23例8-11悬臂梁的平面计算简图

AC段(0≤x≤a)：

①

②

③

CB段(a≤x≤2a)：

④

⑤

⑥

积分出现四个积分常数，需要四个条件确定。由于挠曲线是一条光滑连续的曲线，因此在C点，即x＝a处，由式②和式⑤所确定的转角应相等，由式③和式⑥所确定的挠度应相等，即光滑连续条件。

将式②、式⑤、式③和式⑥代入上述光滑连续条件，可得

⑦

⑧

此外，B端为固定端，边界条件为在x＝2a处w2＝0，

2＝0。将边界条件代入式⑤和式⑥，得

⑨

⑩

将式⑨和式⑩分别代入式⑦和式⑧，得

将所求得的积分常数代回式②、式③、式⑤和式⑥中，求得转角方程和挠度方程如下。

AC段(0≤x≤a)：

11

12

CB段(a≤x≤2a)：

13

14将x＝0分别代入式

11

和式13

中，可得截面A的转角和挠度为

(三)叠加法计算梁的变形

积分法是求解梁变形的基本方法，利用积分法可求出任意梁的挠曲线方程和转角方程，并求得任意截面的挠度和转角，但当梁上作用载荷比较复杂时，其运算过程比较繁琐。在工程实际中，一般并不需要计算整个梁的挠曲线方程，只需要计算最大挠度和最大转角，所以应用叠加法求指定截面的挠度和转角较方便。

实验表明，材料在服从胡克定律且小变形的条件下，横截面挠度和转角均与梁的载荷成线性关系，各个载荷引起的变形是相互独立的。所以，当梁上有多个载荷同时作用时，可分别计算各个载荷单独作用时所引起梁的变形，然后求出诸变形的代数和，即为这些载荷共同作用时梁所产生的变形，这种计算方法称为叠加法。表8-4是梁在简单载荷作用下的变形表。应用叠加法，便可求得在复杂载荷作用下梁的变形。

表8-4梁在简单载荷作用下的变形

下面举例说明用叠加法计算梁的变形。

例8-12

悬臂梁AB在自由端B和中点C受集中力F作用，如图8-24所示。试用叠加法求自由端B的位移。

解在仅有B端点集中力F作用时，自由端B的挠度通过查表8-4得

图8-24例8-12悬臂梁的平面计算简图

在中点C仅有集中力F作用时，C点处的位移与转角通过查表8-4，有

由于C点的位移将引起B端点的相同位移，同时由于C点的转角亦会引起B点的位移，则集中力F引起B端点位移为这两个位移之和

在两个集中力F共同作用下，自由端B的挠度为

例8-13

已知悬臂梁AB如图8-25所示，自由端B受集中力偶矩M，中点C受集中力F作用。试用叠加法求自由端B的位移。

解在M、F作用下，显然自由端挠度最大。仅有端部力偶矩M作用时，端部挠度通过查表8-4，得

在中点C仅有集中力F作用时，C点处的位移与转角，通过查表8-4，有

图8-25例8-13悬臂梁的平面计算简图

由于C点的位移将引起端点B的相同位移，同时C点的转角亦会引起B点的位移，因此集中力F引起B端点位移为这两个位移之和

在M、F共同作用下，自由端B的挠度为

例8-14

已知悬臂梁AB如图8-26(a)所示，左半部承受均布载荷q作用。试用叠加法计算梁截面A的转角和挠度。

解为了利用表8-4中梁变形结果，将图8-26(a)所示载荷作如下等效变化，将作用在梁左半部的均布载荷q延展至梁的右端B，同时在延展部分施加反向的均布载荷(如图8-26(b)所示)，再将其分解为(图8-26(c))和(图8-26(d))所示两种简单作用的梁。

图8-26例8-14悬臂梁的平面计算简图

由图8-26(c)，查表8-4得

由图8-26(d)，查表8-4得

由叠加法，截面A的转角为

截面A的挠度为(四)梁的刚度条件及其计算

对于工程中承受弯曲变形的构件，除了强度要求外，常常还有刚度要求。因此，在按强度条件选择了截面尺寸后，还需进行刚度计算，即要求控制梁的变形。要求其最大挠度和转角不得超过某一规定数值，则梁的刚度条件为

|w|max≤［w］

|

|max≤［

］

(8-18)

式中,［w］和［

］分别为规定的许用挠度和许用转角，可从有关的设计规范中查得。

例8-15

等截面空心机床主轴的平面简图如图8-27(a)所示，已知其外径D＝80mm，内径d＝40mm，AB跨度l＝400mm，BC段外伸a＝100mm，材料的弹性模量E＝210GPa，切削力在该平面上的分力F1＝2kN，齿轮啮合力在该平面上的分力F2＝1kN。若主轴C端［w］＝0.01mm，轴承B的许用转角［

］＝0.001rad，试校核机床的刚度。

图8-27机床主轴平面计算简图

解机床主轴发生弯曲变形，其惯性矩为图8-27(b)为主轴的受力简图，利用叠加原理，计算出F1、F2单独作用在主轴时C端的挠度。

(1)F1单独作用时C端的挠度。如图8-27(c)所示，由表8-4查得

(2)F2单独作用时C端的挠度。如图8-27(d)所示，由表8-4查得B点的转角，由几何关系得

(3)C端的挠度。

C＝

CF1＋

CF2

＝(8.443－2.533)×10－6

＝0.006mm<［

］＝0.01mm

(4)F1单独作用时B点的转角。如图8-27(c)所示，由表8-4查得

(5)F2单独作用时B点的转角。如图8-27(d)所示，查表8-4得

B＝

BF1＋

BF2＝(6.754－2.533)×10－5

＝4.221×10－5rad<［

］＝0.001rad

(6)B点的转角。由如上计算可知，主轴满足刚度要求。

例8-16

一简支梁在跨度中点承受集中载荷F的作用。已知载荷F＝35kN，跨度l＝4m，许用挠度［w］＝l/500，弹性模量E＝200GPa。试根据规定条件确定该简支梁的直径d。

解在跨中集中载荷作用下，梁产生的最大挠度位于中点，查表8-4得

根据刚度条件|wmax|≤［w］，得

所以

直径取值d＝16cm。模块四提高梁强度和刚度的措施

在梁的强度、刚度设计中，常遇到如何根据工程实际提高梁的强度和刚度问题。从梁的弯曲正应力强度条件和刚度条件可以看出：降低梁的最大弯矩、提高梁的抗弯截面系数和减小跨长，都可提高梁的弯曲承载能力。所以，从这几个方面可找出提高梁弯曲强度和刚度的几种主要措施。

(一)降低梁的最大弯矩

通过减小梁的载荷来降低梁的最大弯矩意义不大。只有在载荷不变的前提下，通过合理布置载荷和支座才具有实际应用意义。

1.合理布置支座

均布载荷作用下的简支梁如图8-28(a)所示，其中Mmax＝

＝0.125ql2。若将两端支座各向里移动0.2l(如图8-28(b)所示)，则最大弯矩减小为原来的1/5，Mmax＝

＝0.025ql2，也就是说按图8-28(b)布置支座，载荷还可以提高四倍。

图8-28合理布置梁支座

2.合理布置载荷

如图8-29(a)所示，受集中力F作用的简支梁，其Mmax＝Fl/4。如果把集中力F通过辅助梁(图8-29(b))分成两个F/2的集中载荷或改为分布载荷q＝F/l这两种不同加载方式，则其最大弯矩值可减小为Mmax＝Fl/8。若结构不允许改动，也应尽可能使载荷靠近支座。显然，载荷愈靠近梁的支座，最大弯矩值愈小。

图8-29合理布置梁载荷

3.减小梁的跨度

在结构允许时，可以用减小跨度的办法来降低最大弯矩。如图8-30(a)所示，受均布载荷作用的简支梁，若在跨度中间增加一个支座，如图8-30(b)所示，梁的跨度由l缩小为l/2，则梁的Mmax＝0.125ql2变小为Mmax＝0.03125ql2。

图8-30减小梁的跨度

(二)提高截面惯性矩和抗弯截面系数

通过增加梁的截面面积来提高梁的抗弯截面系数意义不大。只有在截面面积不变的前提下，选择合理的截面形状或根据材料性能选择截面才具有实际应用意义。

1.选择合理的截面形状

梁横截面形状的合理程度工程上通常用抗弯截面系数与横截面面积的比值Wz/A来衡量。当弯矩已定时，梁的强度随抗弯截面系数的增大而提高，因此，为了减轻自重，节省材料，所采用的截面形状应是截面积最小而抗弯截面系数最大的截面形状。几种典型截面的Wz/A值见图8-31。

图8-31典型截面的Wz/A值从图8-31中看出，圆截面的Wz/A值最小，矩形次之，因此它们的经济性不够好；工字形和槽形截面比较合理。所以在起重机等钢结构中的抗弯构件多采用工字形、槽形截面。根据梁弯曲正应力分布规律来分析，圆截面离中性轴较远处面积较小，而在中性轴附近却有着较大的面积，以致很大一部分材料未能充分发挥其作用，而工字形、槽形截面克服了这一缺点，故较合理。当然，在许多情况下，还必须综合考虑刚度、稳定性、使用和加工等多方面的因素。例如对于轴类构件，除承受弯曲变形，还要传递扭矩，则以圆截面更为实用。工程上往往用面积相同的空心圆截面代替实心圆截面，可明显提高抗弯强度。同样，工字钢截面比矩形截面在材料利用方面更为合理。对于矩形及工字形截面，增加高度可有效地提高抗弯截面系数，但其截面高度过大，宽度过小，常会引发侧弯和丧失稳定，以h/b＝1.5~3为宜。

2.根据材料性能选择截面

对于抗拉强度和抗压强度相等的塑性材料，通常采用中性轴对称的截面形状，在截面面积相同的情况下，应使Wz尽可能的大。如一个宽为b，高为h的矩形截面梁(h>b)，竖放时的Wz1＝

，平放时的Wz2＝

，两者之比值为

，即Wz1>Wz2，所以竖放时梁有较大的抗弯强度。工程中的矩形截面梁通常竖放就是这个原因。

对于塑性材料，为了使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时满足许用应力，截面形状一般做成如图8-32所示的对称于中性轴的截面形状。

对于工程中常用的铸铁材料，由于其抗拉能力低于抗压能力，因此，截面应根据脆性材料的特点，设计为中性轴不对称的截面形状。中性轴位于受拉一侧，使最大拉应力变小，如T字形(图8-33)及上、下翼缘不等的工字形截面等，这样可以充分提高材料的利用率。

图8-32对称截面的应力分布

图8-33非对称截面的应力分布

(三)采用等强度梁

在一般情况下，梁上各截面的弯矩是截面所在位置的函数。因此，可根据弯矩的变化规律，相应地将梁设计成变截面梁：在弯矩较大处，有大的截面，获得大的抗弯截面系数；在弯矩较小处，采用较小的截面。这种截面沿轴线变化的梁称为变截面梁。理想的变截面梁可设计成梁上所有横截面的最大正应力都相等，且等于材料的许用应力，故这种变截面梁称为等强度梁。

从强度观点来看，等强度梁是最合理的结构形式。例如摇臂钻床的摇臂(见图8-34(a))、汽车板簧(见图8-34(b))、传动系统的阶梯轴(见图8-34(c))和鱼腹梁(见图8-34(d))等就是按等强度梁概念设计的。由于等强度梁外形复杂，加工制造困难，因此工程上一般采用近似等强度的变截面梁。

图8-34等强度梁

(四)增加约束和减小跨长

从梁的变形表可以看出，挠度与长度的三次方量级成比例，而梁转角与梁长度的二次方量级成比例。可见，减少梁的跨长是提高梁刚度的主要措施之一。如果梁的长度无法减小，则可通过增加多余约束，使其成为静不定梁。例如，当车床加工细长工件时，为了提高加工精度，可增加一个中间支座或在工件末端加上尾架顶针，如图8-35所示。

梁的刚度还取决于材料的弹性模量E，但是各类钢材的弹性模量都很接近，采用优质高强度钢材对提高刚度的意义不大。

图8-35增加细长工件的约束

必须指出，工程上对有些梁的刚度要求并不高，而是希望梁在保证强度要求的前提下，能产生较大的弹性变形，以增加其柔度。例如安装在汽车车轴上的减振叠板弹簧(见图8-34(b))。模块五简单超静定

(一)超静定梁

静定梁的支座约束力都可以由静力平衡条件求得。但在工程实际中，由于工程结构的需要，常常给静定梁增加约束，以提高梁的强度和刚度，这样就使得梁的约束反力数超过独立的平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求出全部约束反力。这类梁称为超静定梁或静不定梁(见图8-36)。

在超静定梁中，那些超过维持梁的静力平衡所需的约束，称为多余约束。与其相应的约束反力称为多余约束反力。未知反力的数目与独立的平衡方程数目之差称为超静定次数。显然，有几个多余约束反力就是几次超静定梁。

图8-36超静定梁

超静定梁问题在工程中应用很多。例如安装在车床卡盘上的工件如果比较细长，切削时就容易产生过大的弯曲变形(图8-37(a))，影响加工精度。为减小工件的变形，常在工件的一端用尾架上的顶尖顶紧，这就相当于增加了一个锟轴支座(见图8-37(b))。图8-38(b)中的杆BD以及图8-38(c)中的杆BD和D处的水平支座链杆，对于结构的平衡来说,则是多余的,这些构件都属于超静定梁。

图8-37车床卡盘上工件的超静定

图8-38杆件机构的超静定

(二)简单超静定梁的解法——变形比较法

解超静定梁的方法很多，这里介绍的变形比较法是其中的基本方法。

在分析超静定梁问题时，首先需要确定梁的超静定次数，有几次超静定就要建立几个补充方程。因此解梁的超静定问题和解拉(压)超静定问题一样，要利用变形协调条件建立补充方程。用变形比较法解超静定梁的一般步骤如下：

(1)首先选定多余约束，并把多余约束解除，使超静定梁变成静定梁——基本静定梁。

(2)把解除的约束用未知的多余约束力代替。这时基本静定梁上除了作用着原来的载荷外，还作用了未知的多余约束力。

(3)列出基本静定梁在多余约束力作用处变形的计算式，并与原超静梁在该约束处的变形进行比较，建立协调条件方程，求出多余约束力。

(4)在求出多余约束力的基础上，根据静力平衡条件，解出超静定梁的其他所有约束力。

(5)按通常的方法(已知外力求内力、应力、变形的方法)进行所需的强度和刚度计算。

例8-17

图8-39(a)所示为超静定梁，刚度EI为常数。试求梁的支座约束力并绘出剪力图和弯矩图。

解

(1)这是一次超静定梁。

解除B端的约束，用FBy代替，作用于梁上(见图8-39(b))。

(2)梁在均布载荷q作用下的变形情况如图8-39(c)所示。

查表8-4，B截面的挠度为

梁在FBy作用下的变形情况如图8-39(d)所示。

图8-39超静定梁平面计算简图

查表8-4，B截面的挠度为

因为原超静定梁在B处受到支座的约束，实际上不可能发生竖向位移，即yB＝0，所以在B支座处的协调条件方程为

yB＝yBq＋yBF＝0

即

解得

(3)根据静力平衡方程求出其他支座约束力

，

。

(4)绘出剪力图和弯矩图(见图8-39(e)和(f))。

(一)梁弯曲变形的正应力公式推导

梁纯弯曲变形时横截面上只有弯矩，因而横截面上只有与弯矩相关的正应力。像研究圆轴扭转时横截面上切应力所用的方法相似，也需综合研究梁纯弯曲变形的几何关系、应力与应变间的物理关系以及静力平衡关系。8.4知识拓展

1.变形几何关系

取截面具有竖向对称轴(例如矩形截面)的等直梁，在梁侧面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线，如图8-40(a)所示。然后在梁的两端施加弯矩M，使梁发生纯弯曲(见图8-40(b))。此时可观察到下列现象：

(1)纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短，靠近凸面的伸长。

(2)横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个角度。

(3)纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。

图8-40梁的变形现象根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断，作出如下假设：

(1)梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴线正交，只是绕截面内某一轴旋转了一个角度。

(2)把梁看成由许多纵向纤维组成。变形后，由于纵向直线与横向直线保持正交，即直角没有改变，可以认为纵向纤维没有受到横