《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第3章

第3章多维随机变量及其分布第一节知识梳理第二节重点解析

第三节典型例题

第四节习题全解第一节知识梳理

第二节重点解析

1.二维随机变量

1)二维随机变量及其分布函数

定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X，Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。定义2：设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数F(x，y)=P{X≤x，Y≤y}为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或联合分布函数。

2)二维随机变量的分布函数的性质

（1）0≤F(x，y)≤1；

（2）F(x，y)关于x、y均单调非降，右连续；

（3）F(－∞，y)=F(x，－∞)=F(－∞，－∞)=0，F(+∞，+∞)=1；

（4）P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}=F(x2，y2)－F(x1，y2)－F(x2，y1)+F(x1，y1)。

3)二维离散型随机变量的分布律

定义1：如果二维随机变量(X，Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多，则称(X，Y)是二维离散型随机变量。

定义2：设二维随机变量(X，Y)所有可能取的值为

（xi，yj）（i=1，2，…;

j=1，2，…），则称P(X=xi，Y=yj)=pij（i，j=1，2，…）为二维离散型随机变量(X，Y)的分布律，或联合分布律。二维离散型随机变量的联合分布律表示如下：

4)二维连续型随机变量的概率分布

定义：设(X，Y)是二维随机变量，如果存在一个非负函数f(x，y)，使得对于任意实数x、y，都有

则称(X，Y)是二维连续型随机变量，函数f(x，y)称为二维连续型随机变量(X，Y)的密度函数，或联合密度函数。

2.边缘分布

1)离散型随机变量的情形

记，则关于X的边缘分布律为，关于Y的边缘分布律为

2)连续型随机变量的情形定理：设f(x，y)是(X，Y)的联合密度函数，则分别是(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数。，

3.随机变量的独立性

定义：设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)，又X和Y的边缘分布函数为FX(x)和FY(y)。若对于任意的实数x与y，有P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即F(x，y)=

FX(x)·FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。定理1：对于二维离散型随机变量(X，Y)，其联合分布

律为

Pij{X=xi，

Y=yj}＝pij（i=1，2，…；j=1，2，…）

且X、Y的边缘分布律分别为

P{X=xi}=pi·

（i=1，2，…），P{Y=yj}=p·j

（j=1，2，…）则对任意i、j，有pij=pi·p·j的充分必要条件为X与Y相互独立。定理2：对于二维连续型随机变量(X，Y)，其联合密度函数为f(x，y)，X、Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)分别为

则对任意x、y有f(x，y)=fX(x)fY(y)的充分必要条件为X与Y相互

独立。，定理3：对于二维正态随机变量(X，Y)，

X和Y相互独立的充要条件为参数ρ=0。

定理4：若随机变量X和Y相互独立，则对于任意连续函数p(x)和q(x)，均有p(X)、q(Y)相互独立。

4.两个随机变量函数的分布

1)Z=X+Y的分布

Z=X+Y的分布函数为密度函数为或特别地，当X和Y相互独立时，设(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数分别为fX(x)和

fY(y)，则这两个公式称为卷积公式，记为fX*fY，即

2)的分布

的分布函数为密度函数为或特别地，当X、Y相互独立时，上式可化为

其中fX(x)、fY(y)分别为(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数。

第三节典型例题

【例3.1】将两封信投入编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三个邮筒中，设X、Y分别表示投入第Ⅰ号、第Ⅱ号邮筒中信的数目。（1）求（X，Y）的联合分布律；

（2）X、Y是否相互独立？

（3）求Y=0时X的条件分布律。解（1）X、Y所有可能的取值分别为0、1、2，则故(X，Y)的联合分布律为（2）因为

所以X、Y不独立。（3）Y=0时X所有可能的取值分别为0、1、2，于是其条件分布律为

【例3.2】设随机变量X1、X2、X3相互独立且都服从参数为p的0－1分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为1／8，求:

（1）参数p的值；

（2）随机变量的分布律。解（1）因为矩阵为正定矩阵的充要条件为其顺序主子式都大于零,所以即所以（2）所有可能的取值分别为－1、0、1，即由上表可得故随机变量的分布律为

【例3.3】设随机变量X、Y相互独立，且都服从同一分布。试证明：证明令Z=min(X，Y)，FZ(z)=P{min(X，Y)≤z}，当X、Y相互独立，且都服从同一分布时，

FZ(z)=P{min(X，Y)≤z}=1－［1－FX(z)］2

所以

【例3.4】设二维随机向量(X，Y)的联合密度函数为试求：（1）(X，Y)关于X、Y的边缘密度函数；（2）。解（1）当0≤x≤1时，有当x<0或x>1时，有fX(x)=0所以(X，Y)关于X的边缘密度函数为同理可得(X，Y)关于Y的边缘密度函数为（2）由条件概率的定义知而于是

【例3.6】设(X，Y)服从区域D={(x，y)|0≤y≤1－x2}上的均匀分布。

（1）写出(X，Y)的联合密度函数；

（2）求X和Y的边缘密度函数；

（3）求概率P{Y≥X2}。解（1）由于区域D是由曲线y=1－x2和y=0所围成的，其面积为所以(X，Y)的联合密度函数为（2）

X的边缘密度函数为

Y的边缘密度函数为（3）记G={(x，y)|y≥x2}，则G∩D为图3－1所示阴影部分,从而有图3-1

第四节习题全解

3.1已知随机变量X1和X2的分布律分别为且P{X1X2=0}=1，求(X1，X2)的联合分布律。解由已知的边缘分布律和P{X1X2=0}=1可得

P{X1≠0，X2≠0}=0

于是

P{X1≠－1，X2≠1}=P{X1≠1，X2≠1}=0设联合与边缘概率密度表如下：显然p12=0，故(X1，X2)的联合分布律为

3.2设随机变量(X，Y)的密度函数为

试求：

（1）常数c；

（2）联合分布函数F(x，y)；

（3）P{0<X≤1，0<Y≤2}。解（1）f(x，y)的区域图形如图3－2所示。图3-2由密度函数的性质知所以c=12

(2)由（1）知(X，Y)的密度函数为

由联合分布函数的定义得当x≤0或y≤0时，如图3-3所示，有当x>0，y>0时，如图3-4所示，有所以联合分布函数为图3-3图3－4（3）令区域D={(x，y)|0<x≤1，0<y≤2}，如图3-5所示。图3-5方法一：由分布函数的性质知

P{0<X≤1，0<Y≤2}=F(0，0)－F(0，2)－F(1，0)+F(1，2)

=0－0－0+(1－e－3)(1－e－8)

=(1－e－3)(1－e－8)方法二:

3.3已知随机变量X和Y的联合密度函数为

求(X，Y)的联合分布函数F(x，y)。解f(x，y)的区域图形如图3－6所示，从而有

下面分块计算上式的广义二重积分。

（1）当x<0或y<0时，如图3－7所示，有图3－6图3－7（2）当0≤x≤1且0≤y≤1时，如图3－8所示，有（3）当0≤x≤1且y>1时，如图3－9所示,有图3-8图3-9（4）当x>1且0≤y≤1时，如图3-10所示,有（5）当x>1且y>1时，如图3-11所示,有图3-10图3-11综上可得(X，Y)的联合分布函数为

3.4设随机变量(X，Y)的联合密度函数为解方法一：先求关于X、Y的边缘密度函数。

如图3-12所示,当0<x<1时，有所以当0<y<1时，所以（1）（2）如图3-1３所示,有方法二:f(x，y)的区域图形如图3－14所示。图3-13图3-14（1）区域，如图3－15所示,有区域，如图3-16所示,有图3-15图3-16（2）区域，如图3-17所示图3-17

3.5设随机变量(X，Y)的联合分布函数为

其中A≠0。

（1）求常数A、B、C；

（2）判断X与Y是否相互独立。解（1）根据分布函数的性质知从而解得故（2）因为故所以

F(x，y)=FX(x)FY(y)即X与Y相互独立。

3.6设随机变量(X，Y)的密度函数为

试分别求X、Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立。解

f(x，y)的区域图形如图3-18所示。图3-18由可知，求X的边缘密度函数相当于在一条穿越f(x，y)区域的水平线上对y进行积分，其图形如图3-19所示。图3-19同理，由可知，求Y的边缘密度函数相当于在一条穿越f(x，y)区域的水平线上对x进行积分，其图形如图3-20所示。图3-20

当y≤0时，当y>0时，

3.7设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为求随机变量Z=X+Y的分布律。解Z=X+Y所有可能的取值为3、5、7，由于X和Y是相互独立的随机变量，故P{Z=7}=P{X=3，Y=4}=P{X=3}P{Y=4}=0.7×0.4=0.28所以Z=X+Y的分布律为

3.8设X和Y是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为

求随机变量Z=X+Y的密度函数。解方法一：而如图3-21所示。图3-21方法二:因为所以fX(x)fY(z－x)的区域图形如图3-22所示。图3-22因为X与Y相互独立,所以相当于沿一条穿越fX(x)fY(z－x)区域的水平线对x进行积分，如图3-23所示。图3-23

3.9设随机变量(X，Y)的密度函数为

试求的密度函数。解方法一：采用分布函数法。

f(x，y)的区域图形如图3-24所示，所以当z≤0时，如图3－25所示,有图3－24图3－25当z>0时，如图3-26所示,有图3－26

3.10设随机变量(X，Y)的密度函数为

试求Z=XY的密度函数。解

f(x，y)的区域图形如图3-27所示，则图3-27当z<0时，如图3-28所示,有图3-27当z=0时，如图3－29所示，有图3-29当0<z<1时，如图3-30所示,有图3-30当z≥1时，如图3－31所示，有即所以图3－31

3.11设随机变量X与Y相互独立，并且都服从区间

［0，a)上的均匀分布，求随机变量Z=X／Y的密度函数。

解方法一：由题意有由于X与Y相互独立，故(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)的区域图形如图3－32所示,则图3－32（1）当z<0时，如图3－33所示,有图3-33（2）当z=0时，如图3－34所示,有图3－34（3）当0<z≤1时，如图3－35所示,有图3－35（4）当z>1时，如图3－36所示,有图3－35综上所述,得所以Z=X／Y的密度函数为方法二：因为fX(yz)fY(y)的区域图形如图3-37所示,则图3－37相当于在一条穿越fX(yz)fY(y)区域的水平线上对y进行积分，其图形如图3-38所示。

当z≤0时，当0<z≤1时，当z>1时，即的密度函数为

3.12一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知(X，Y)的联合分布函数为

（1）判断X、Y是否相互独立；

（2）求两个部件的寿命均超过100小时的概率α。解（1）设X、Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则可见F(x，y)=FX(x)FY(y)，所以X和Y相互独立。（2）方法一：方法二：由（1）知X、Y相互独立，且X、Y均服从参数为λ=0.5的指数分布，所以由式

得方法三：由及式得到所求概率为

3.13设X1、X2相互独立，且都服从(0，1)内均匀分布，记Y1=min{X1，X2}，Y2=max{X1，X2}，试求(Y1