专题10 用尺规作三角形 带解析

2022-2023学年北师大七年级数学下册精选压轴题培优卷专题10用尺规作三角形一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021春•西安期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（）A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，①画射线OC即为所求，故选：A．2．（2分）（2022春•六盘水期末）如图，已知∠AOB＝72°，以点O为圆心、任意长为半径作弧、交OA、OB于点D、E，分别以D、E为圆心、以大于DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC．则∠AOC的度数是（）A．32° B．34° C．36° D．38°解：由题意知，OC为∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠AOB＝36°．故选：C．3．（2分）（2022•深圳模拟）下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（）A． B． C． D．解：根据作图方法可得B选项中AD＝BD，故选：B．4．（2分）（2021春•织金县期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（）A． B． C． D．解：过点P画AB的垂线CD，则P点在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正确的为．故选：C．5．（2分）（2021•平顶山模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（）A．68° B．56° C．45° D．54°解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故选：B．6．（2分）（2021秋•兴隆台区校级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（）①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②解：根据作一个角等于已知角的过程可知：④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．故选：C．7．（2分）（2021春•海淀区校级期末）如图，已知点D，E分别在∠CAB的边AB，AC上，若PA＝12，∠CAB＝60°，由作图痕迹可得，PE的最小值是（）A．2 B．3 C．6 D．12解：根据作图痕迹可知：AP是∠BAC的平分线，∵∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠PAB＝30°，当PE⊥AC时，PE最小，∵PA＝12，∠PAB＝30°，∴P到AC的最小值是：×12＝6．故选：C．8．（2分）（2022秋•新华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．DE＝DC B．AE＝AC C．AD＝BD D．∠BDE＝∠BAC解：由作图可知，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴DC＝DE，AC＝AE，∵∠B+∠CAB＝∠B+∠EDB＝90°，∴∠CAB＝∠BDE，故选项A，B，D正确．故选：C．9．（2分）（2022•长春模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使∠BCD＝∠A，则符合要求的作图是（）A． B． C． D．解：A．由作图可知，CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，故本选项不符合题意；B．由作图可知，CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，故本选项不符合题意；C．由作图可知，CD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD，故本选项符合题意；D．由作图可知，所作图形是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD，故本选项不符合题意；故选：C．10．（2分）（2021•通辽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC解：根据尺规作图的痕迹可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．（2分）（2022春•莲湖区期中）如图，若∠α＝29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为58°．解：由作法得∠AOB＝2∠α＝2×29°＝58°．故答案为：58°．12．（2分）（2019春•兰州期末）如右图，以O为圆心，适当长为半径画弧，交横轴于点M，交纵轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P．若点P到横轴和纵轴的距离分别为2a﹣1、a+2，则a＝3．解：由作法得OP为第二象限的角平分线，所以点P到两坐标轴的距离相等，所以2a﹣1＝a+2，解得a＝3．故答案为3．13．（2分）（2020•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为12．解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，由作图方法可得：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AFD中，∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD＝DF，∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．故答案为：12．14．（2分）（2022春•锦江区校级期中）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是②③①．①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．解：已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB：步骤：a、在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；b、分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．c、作射线OC；故答案为②③①．15．（2分）（2021春•通川区期末）如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，BC＝9，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D，点F在AC上且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为11．解：∵AB＝6，AC＝8，AF＝AB，∴FC＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，由作图方法可得：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AFD中，∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD＝DF，∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+2＝11．故答案为：11．16．（2分）（2018春•罗平县期末）如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD＝40°，则∠NCD的度数为40°．解：∵AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠MBD＝∠NCD＝40°，故答案为：40°17．（2分）（2017•河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝56°．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故答案为：56．18．（2分）（2020春•海淀区校级期末）为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M．则射线OM为∠AOB的平分线．OM为∠AOB的平分线的原理是SSS．解：如图，连接PM，PQ．∵OP＝OQ，PM＝QM，OM＝OM，∴△POM≌△QOM（SSS），∴∠POM＝∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．故答案为SSS．三．解答题（共11小题，满分64分）19．（4分）（2022春•神木市期末）已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明）解：如图，△ABC为所作．20．（6分）（2022春•华州区期末）如图，用尺规在AD的右侧作∠DCP＝∠DAB（不写作法，只需保留作图痕迹）．解：如图，∠DCP为所作．21．（6分）（2022春•西安期末）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，请用尺规作图法作∠ACD的平分线CP．（保留作图痕迹，不写作法）解：如图所示，射线CP即为所求．22．（6分）（2022春•介休市期中）作图题如图，点C，E均在直线AB上，∠BCD＝45°．（1）在图中作∠FEB，使∠BEF＝∠DCB（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出直线EF与直线CD的位置关系．解：（1）如图所示，∠BEF即为所求：（2）当射线EF与射线CD在直线AB的同侧时，由∠BEF＝∠BCD知直线EF与直线CD平行；当射线EF与射线CD在直线AB的两侧时，延长DC交EF于点G，∵∠BEF＝∠BCD＝∠ECG＝45°，∴∠EGC＝90°，∴EF⊥CD．23．（6分）（2022春•清镇市期中）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：∠EDC＝∠DCB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）解：如图所示．证明：∵∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB．24．（6分）（2022•肃州区模拟）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．解：（1）如图所示，DE即为所求．（2）DE∥AC．理由如下：因为AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因为DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．25．（6分）（2022春•夏县期中）如图，点A是∠OBC的边BO上一点，请完成以下问题．（1）以A为顶点，射线AO为一边在∠OBC的内部用尺规再作一个角∠OAD，使其等于∠ABC；（2）判断AD与BC的位置关系，并说出理由．解：（1）如图，∠OAD即为所求；（2）结论：AD∥BC．理由：∵∠OAD＝∠ABC，∴AD∥BC．26．（6分）（2022春•铜仁市期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：（1）作直线AC，射线BC，连接AB；（2）延长AB到点D，使得BD＝AB；（3）直接写出∠ABC+∠CBD＝180°．解：（1）如图，直线AC，射线BC，线段AB即为所求；（2）如图线段BD即为所求；（3）∠ABC+∠CBD＝180°，故答案为：180°．27．（6分）（2022春•西城区校级期末）如图，已知△ABC．请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工具画图，不写画法，只保留画图痕迹）①画∠BAC的平分线交线段BC于点D；②过点C画AB的平行线交射线AD于点E；③过点E作AC的垂线段，垂足是F．解：①如图，射线AD即为所求；②如图，直线CE即为所求；③如图，线段EF即为所求．28．（6分）（2022春•杏花岭区校级期中）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．（1）尺规作图：以P为顶点，作∠APQ＝∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝60°，求∠DQP的度数．解：（1）如图所示：∠APQ即为所作的角；