专题13 一次函数与不等式（组）的综合应用 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题13一次函数与不等式（组）的综合应用考试时间：120分钟试卷满分：100分阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2023八下·义乌开学考）如图，直线y＝x＋m与y＝nx－5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x＋m＞nx－5n＞0的整数解为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【规范解答】解：当y＝0时，nx−5n＝0，

解得：x＝5，

∴直线y＝nx−5n与x轴的交点坐标为（5，0），

观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x＋m在直线y＝nx−5n的上方，且两直线均在x轴上方，

∴不等式x＋m＞nx−5n＞0的解集为3＜x＜5，

∴不等式x＋m＞nx−5n＞0的整数解为4．

故答案为：C.

【思路点拨】令y＝0可求出直线y＝nx−5n与x轴的交点坐标，根据两函数图象与x轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x＋m＞nx−5n＞0的解，找出其内的整数即可．2．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标是2，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标是2，∴把代入中得：故答案为：C．

【思路点拨】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。3．（2分）（2022八下·滨城期末）我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx＋b）（mx＋n）＞0的解集是（）A．x＞2 B．－0.5＜x＜2C．0＜x＜2 D．x＜－0.5或x＞2【答案】B【规范解答】解：若，则有或，若不等式，则有或．当时，由图象可知的解集是x＜－0.5，的解集是x＞2，∴不等式组无解，当时，由图象知的解集是x＞－0.5，的解集是x＜2，∴不等式组的解集是－0.5＜x＜2，综上所述：．故答案为：．【思路点拨】根据不等式的性质，结合函数图象对每个选项一一判断即可。4．（2分）（2022八下·法库期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解为（）A． B． C． D．【答案】A【规范解答】解：由题意可知，P点也在y=x+2上，所以当y=3时，x=1∴当x≤1时，．故答案为A．

【思路点拨】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。5．（2分）（2022八下·呼和浩特期末）如图是函数的图象．已知函数的图象与的图象交于A、B两点，且，则满足的x的取值范围是（）A．或 B．或C． D．【答案】C【规范解答】解：如图，联立y=xy=13∴B（2，2），由图象可得：当时，-1<x<2，故答案为：C．【思路点拨】先求出y=xy=136．（2分）（2022八下·福州期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【规范解答】解：由图象可知，在C点左侧直线y=mx+n在直线y=kx+b的上方，在C点右侧直线y=mx+n在直线y=kx+b的下方，∵直线y=kx+b与直线y=mx+n相交于点C（1，5），∴不等式mx+n＜kx+b的解集为x＞1.故答案为：B.【思路点拨】根据图象，找出直线y=mx+n在直线y=kx+b下方部分所对应的x的范围即可.7．（2分）（2022八下·罗定期末）对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【规范解答】解：由题意得：，解得：，当时，，当时，，，由图象可知：此时该函数的最大值为；当时，，当时，，，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，，的最大值是当所对应的的值，如图所示，当时，，故答案为：C【思路点拨】先求出，再结合函数图象求解即可。8．（2分）若函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x-3)-b>0的解集为()A．x<2 B．x>2 C．x<5 D．x>5【答案】C【规范解答】解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），∴2k﹣b=0，

解得：b=2k．函数值y随x的增大而减小，

∴k＜0；解关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0，移项得：kx＞3k+b，

即kx＞5k；两边同时除以k，

∵k＜0，

∴解集是x＜5．故应选：C．【思路点拨】根据一次函数经过点（2，0），从而把（2，0），代入函数解析式得：b=2k．由函数图象知函数值y随x的增大而减小，从而得出k＜0；解关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0，得kx＞5k；两边同时除以k，由于k＜0，从而得出解集是x＜5．9．（2分）已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a(x-1)-b>0的解集为（）A．x＜－1 B．x＞－1 C．x＞1 D．x＜1【答案】A【思路点拨】依题意作图，可知直线从左往右下降，则a＜0。直线交y轴于上半轴，说明b＞0。把点（2，0)代入原式解得b=-2a.所以代入a(x-1)-b>0得a(x-1)+2a＞0.

解得a(x+1)＞0。所以x+1＜0.则不等式的解集为x＜-1.选A.

【点评】本题难度中等。作图辅助判断出a，b值的范围为解题关键。做这类题要注意数形结合的思想。10．（2分）如图所示，两函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象相交于点（-1，-2），则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（）A．x＞－1 B．x＜-1 C．x＜－2 D．无法确定【答案】B【思路点拨】由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k1x+b＞k2x解集．【解答】两个条直线的交点坐标为（-1，-2)，

当x＜-1时，直线y1在直线y2的上方，

故不等式k1x+b＞k2x的解集为：x＜-1．

故选：B．【点评】此题主要考查了利用一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．阅卷人二、填空题(共10题；共20分)得分11．（2分）（2022八下·铁东期末）如图，已知直线和直线的交点坐标是（m，n），则关于x的不等式的解集是．【答案】【规范解答】如图：直线和直线的交点坐标是（m，n），当时，．故答案为：．

【思路点拨】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。12．（2分）（2022八下·锦州期末）如图，直线与交于点，则关于的不等式的解集为．【答案】【规范解答】解：观察图象可知，当x=1时，．所以当x＜1时，．故答案为：x＜1．

【思路点拨】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。13．（2分）（2022八下·延庆期末）平面直角坐标系中，直线与相交于点，下列结论中正确的是（填写序号）．①关于x，y的方程组的解是；②关于x的不等式的解集是；③．【答案】①②或②①【规范解答】解：直线与相交于点，关于，的方程组的解是，故①的结论符合题意；由图知：当时，函数对应的点都在函数下方，因此关于的不等式的解集是：，故②的结论符合题意；由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此，故③的结论不符合题意；故答案为：①②．

【思路点拨】利用一次函数的图象、性质图系数的关系，一次函数与不等式的关系及一次函数与二元一次方程组的关系逐项判断即可。14．（2分）（2022八下·花都期末）已知函数与函数的图象交于点M，则不等式的解集是．【答案】x≥-2【规范解答】解：根据图象可知，当x≥-2时，，即不等式的解集为x≥-2，故答案为：x≥-2．

【思路点拨】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。15．（2分）（2022八下·芜湖期末）如图，正比例函数与一次函数相交于点P，则关于x的不等式组mx>0ax+b<0的解集为．【答案】【规范解答】解：根据函数图象可知，当时，，当时，，∴mx>0ax+b<0的解集是．故答案为：．【思路点拨】先求出当时，，当时，，再求解即可。16．（2分）（2022八下·上林期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是.【答案】【规范解答】解：当x＞1时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式−2x＋a＜bx−4的解集为x＞1；故答案为：x＞1.【思路点拨】根据图象，找出直线y1在直线y2下方部分所对应的x的范围即可.17．（2分）（2022八下·普兰店月考）如图所示，因数与的图像交于点，下列说法正确的有．（将正确的序号填在横线上）①n和b都是正数；②m和k都是正数；③关于x的方程的解是：；④关于x的不等式的解集是．【答案】①③【规范解答】由函数图象可得，函数与的图像都交y轴正半轴，n和b都是正数，故①符合题意；由函数图象可得，函数的图像，y随x增大而减小，所以k是负数，故②不符合题意；函数与的图像交于点，所以，关于x的方程的解是：，故③符合题意；关于x的不等式的解集是，故④不符合题意．故答案是：①③．

【思路点拨】利用一次函数的图象与系数的关系，一次函数不等式及方程的关系逐项判断即可。18．（2分）（2022八下·思明期中）如图，已知正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P下面有四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＞0时，y1＞0④当x＜﹣2时，kx＞﹣x+b，其中正确的是（只填序号）【答案】①③【规范解答】解：∵直线y1＝kx经过第一、三象限，∴k＞0，故①正确；∵y2＝﹣x+b与y轴交点在负半轴，∴b＜0，故②错误；∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，∴当x＞0时，y1＞0；故③正确；当x＜﹣2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象的下方，即kx＜﹣x+b，故④错误.故答案为①③.

【思路点拨】利用两函数图象结果的象限，可得到k，b的取值范围，可对①②作出判断；观察函数图象，可知当x＞0时，y1＞0，可对③作出判断；观察两图象的交点的横坐标为-2，可对④作出判断.19．（2分）（2020八下·禹城期末）已知一次函数为常数），当x＜2时，y＞0，则的取值范围为．【答案】【规范解答】当y=0时，，解得，∵x＜2时，y＞0，∴2m-1＜0，，解得，故答案为：．【思路点拨】根据x＜2时，y＞0，得出图象2m-1＜0，，从而得出m的取值范围．20．（2分）（2017八下·新野期末）已知直线y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为．【答案】【规范解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（，）；B（，）；C（，）当x＜，y=y1；当≤x＜，y=y2；当≤x＜，y=y2；当x≥，y=y3．∵y总取y1，y2，y3中的最小值，∴y的取值为图中红线所描述的部分，则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标，∴y最大=．【思路点拨】y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．阅卷人三、解答题(共7题；共60分)得分21．（6分）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支(不少于4支)．（1）（3分）分别写出两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间的关系式；（2）（3分）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜．【答案】（1）解：设按优惠方法①、②购买费用为y1、y2元，y1＝(x－4)×5＋20×4＝5x＋60，y2＝(5x＋20×4)×0.9＝4.5x＋72（2）解：当y1＞y2，即5x＋60＞4.5x＋72，x＞24，∴当x＞24且x取整数时，选择方法②；当y1＝y2时，x＝24，即当x＝24时，选择方法①、②均可，当y1＜y2时，4≤x＜24，所以当4≤x＜24且x为整数时，选择方法①。【思路点拨】（1）由题意可知，按优惠①可知费用y等于4个书包的费用与去掉4支水性笔的费用和；按优惠②可知费用y等于4个书包与x支水性笔的费用和乘以0.9；

（2）分别计算当y1>y2，y1=y2，y1<y2三种情况，计算出x的取值范围即可。22．（6分）（2023九上·汉台期末）为了更好治理和净化河道，保护环境.河道治理指挥部决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备，其中A型号设备的价格为10万元/台，每月可处理污水220吨；B型号设备的价格为8万元/台，每月可处理污水180吨.设购买A型设备x台，A、B两种型号的设备每月总共能处理污水y吨.（1）（3分）求y与x之间的函数关系式；（2）（3分）由于受资金限制，河道治理指挥部决定购买污水处理设备的总资金不超过96万元，问每月最多能处理污水多少吨？【答案】（1）解：设购买A型设备x台，则B型号（10-x）台，A、B两种型号的设备每月总共能处理污水y吨，根据题意得：则y与x的函数关系式：y=220x+180（10-x）=40x+1800；（2）解：设购买A型设备x台，则B型号（10-x）台，由题意得，10x+8（10-x）≤96，解得：x≤8，因为y与x的函数关系式：y=40x+1800，k=40＞0，∴y随x的增大而增大，所以当x=8时，y最大=40×8+1800=2120，答：每月最多能处理污水2120吨.【思路点拨】（1）设购买A型设备x台，则B型号(10-x)台，然后根据总处理污水吨数=A型的台数×A型每月处理污水的吨数+B型的台数×B型每月处理污水的吨数就可得到y与x的关系式；

（2）设购买A型设备x台，则B型号(10-x)台，根据总资金不超过96万元可得10x+8(10-x)≤96，求出x的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.23．（10分）（2023九上·通川期末）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）类别价格A款纪念品B款纪念品进货价（元/件）2015销售价（元/件）3527（1）（3分）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；（2）（3分）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少?（3）（4分）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，由题意可知：x+y=5020x+15y=850解出：，故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，由题意可知：，解出：，设销售利润为元，则，∴是关于m的一次函数，且，∴随着m的增大而增大，当时，销售利润最大，最大为元，故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，由题意可知：，解出：，，当时，元；当时，元故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.【思路点拨】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；

（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；

（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.24．（7分）（2023八上·平桂期末）我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包.某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表.设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元.大礼包类型进价/（元/个）售价/（元/个）A4765B3750（1）（3分）求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）；（2）（4分）如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）解：由表可知：w＝（65﹣47）x+（50﹣37）（400﹣x），＝5x+5200.∴w关于x的函数关系式：w＝5x+5200；（2）解：由题意得，47x+37（400﹣x）≤18000，解得：x≤320.∵w＝5x+5200，∴k＝5＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝320时，w最大＝6800.∴进货方案是：A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润；最大利润为6800元.【思路点拨】（1）由题意可得购进B种大礼包(400-x)个，根据(A大礼包的售价-进价)×A种大礼包的个数+(B大礼包的售价-进价)×B种大礼包的个数=总利润可得W与x的关系式；

（2）根据A大礼包的进价×个数+B大礼包的进价×个数=总费用结合题意可得关于x的不等式，求出x的范围，然后结合一次函数的性质进行解答.25．（10分）（2022八上·利辛月考）如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，直线交y轴于点B，直线交x轴于点C．（1）（3分）求直线的表达式；（2）（3分）请直接写出使得不等式成立的x的取值范围．（3）（4分）在直线上找点M，使得，求点M的坐标．【答案】（1）解：把代入，得，解得，所以P点坐标为，把代入，得−2k+b=02k+b=4，解得，所以直线l1的表达式为（2）解：（3）解：∵，∴当时，，则，∵，∴当时，，解得，则，∴，设M点坐标为，∵，所以，解得或，所以M点的坐标为或．【规范解答】（2）根据图象可知，使得不等式成立的x的取值范围是；

【思路点拨】（1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；

（3）设M点坐标为，根据，可得，再求出t的值即可。26．（10分）（2022八上·拱墅月考）某校八年级举行英语演讲比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买笔记本的数量要不多于笔记本数量的，但又不少于笔记本数量，设买笔记本本，买两种笔记本的总费为元．（1）（3分）写出元关于本的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）（3分）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？（3）（4分）商店为了促销，决定仅对种类型的笔记本每本让利元销售，种类型笔记本售价不变．问购买这两种笔记本各多少本时花费最少？【答案】（1）解：由题意可知：w＝12n+8（30-n），

∴w＝4n+240，

又∵A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．

∴，解得5≤n≤，

∴5≤n≤13（n是整数）．（2）解：w＝4n+2