河北省遵化市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

河北省遵化市2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则关于的方程所表示的曲线是（）A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线2．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．3．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为()A． B．40 C．16 D．4．已知函数，则（）A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3 C． D．46．设等差数列的前n项和为，若，则（）A． B． C．7 D．27．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．8．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．14．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则15．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.16．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.18．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.19．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．【详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．2、C【解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.3、D【解析】

如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示：过分别作于，于.，则，根据得到：，即，根据得到：，即，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.4、C【解析】

依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；【详解】解：由，，所以函数图像关于对称，又，在上不单调.故正确的只有C，故选：C【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.5、C【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.6、B【解析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．7、C【解析】

根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.8、B【解析】

先利用向量数量积和三角恒等变换求出，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.【详解】解：令，解得对称轴，，又函数在区间恰有个极值点，只需解得．故选：．【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式;(2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.9、C【解析】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10、D【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.12、C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.14、【解析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.考点：三角函数的图像与性质.15、【解析】

首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于，所以，由于区间上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16、【解析】

由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解．【详解】解：由，得，，则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．，．．故答案为：．【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）要证明平面，只需证明，即可：（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.【详解】（1）∵底面为菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：，点，设平面的法向量为，，有，令，得又，设直线与平面所成的角为，所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.18、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.（Ⅱ）讨论和两种情况，得到函数单调性，得到只需，代入计算得到答案.【详解】（Ⅰ）当时，不等式为，变形为或或，解集为或.（Ⅱ）当时，，由此可知在单调递减，在单调递增，当时，同样得到在单调递减，在单调递增，所以，存在满足不等式，只需，即，解得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】

详解：（Ⅰ）当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以不等式的解集为.（Ⅱ）因为，所以.由题意知对，，即，因为，所以，解得.【点睛】⑴绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．⑵不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有：①为参数）恒成立②为参数）恒成立．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）成等比数列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，数列是首项为，公比为的等比数列，．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.21、（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．（II）曲线C上任意一点到的距离为．则．其中为锐角，且．当时，取到最大值，最大值为．当时，取到最小值，最小值为．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角