河北省邢台市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

河北省邢台市20242025学年高二上学期第一次月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过两点的直线的一个方向向量为，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根据直线方向向量的定义即可求解.【详解】由条件可得，解得.故选：D.2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A. B.10 C. D.100【答案】B【解析】【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求.【详解】由题意得，则，故选：B.3.已知直线的两点式为，则（）A.直线经过点 B.直线的斜截式为C.直线的倾斜角为锐角 D.直线的点斜式为【答案】C【解析】【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C.【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误，将两点式化为斜截式：，故B错误，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C.4.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量，故，，则向量在向量上的投影向量为.故选：A.5.经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，故直线的倾斜角的取值范围是．故选：C．6.空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．因为，所以点P到直线EF的距离为．故选：A7.在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.【详解】∵，∴．∵，∴．∵四点共面，∴，即．∵，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为1．故选：C8.在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量方法求点面距离即可.【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为，则，所以，两式相减可得，令，解得，则平面的一个法向量为，则点到平面的距离为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】AD项，假设共面，由空间向量基本定理建立方程组，由方程组无解推出矛盾则可得不共面结论；BC项，写出其中一个向量用另外两个向量表达的关系式，由平面向量基本定理可得共面结论.【详解】A项，假设共面，则存在实数，使，即，由构成空间的一个基底，则，方程组无解.故假设错误，故不共面，故A正确；B项，由可知，共面，故B错误；C项，由可知，共面，故C错误；D项，假设共面，则存在实数，使，即，由构成空间的一个基底，则，方程组无解.故假设错误，故不共面，故D正确；故选：AD.10.已知直线经过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】分直线过原点和不过原点讨论求解即可.【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意，此时直线的方程为，即；若直线不过原点，设直线方程，则，若，此时直线方程为；若，此时直线方程为.综上所述，直线的方程为或或.故选：ABD.11.在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（）A. B. C. D.2【答案】BC【解析】【分析】建立直角坐标系，先求出点的坐标，得出数量积以，再结合可得范围．【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．设，则，所以．设，连接，则，因为为长方体中心，所以．因为，所以，所以．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的三个顶点，则边AB的中线所在直线的一般式为_________.【答案】【解析】【分析】求中点坐标，由两点式求斜率，最后由点斜式写出直线方程即可.【详解】由已知可得边的中点，又直线过点，所以所求直线斜率，所以边的中线所在直线方程为：，即.故答案为：.13.已知直线经过定点，则的坐标为_________.【答案】##【解析】【分析】整理直线方程为的形式，解方程组可得定点.【详解】直线可化为，联立方程组，解得.所以定点的坐标为.故答案为：.14.在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为_________，三棱锥外接球的表面积为_________.【答案】①.1②.####【解析】【分析】由向量坐标求出三棱锥的各棱长，由长度关系与数量积可得线面垂直关系，由垂直关系入手选定底面与高可求体积；设出球心坐标，由建立方程组求解可得，进而求出球的半径，则表面积可求.【详解】由题意得，，所以有，且，则，平面，平面，且，故平面.又，所以，又，所以是正三角形，则，故三棱锥的体积；设三棱锥外接球的球心，则由可得，方程组，解得，故，所以.则外接球半径为，则三棱锥外接球的表面积.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2.（1）若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行；（2）若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直；（3）若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式.【答案】（1）；平行（2）；垂直（3）【解析】【分析】（1）由两点坐标可求斜率，再由点斜式方程可求，然后化为斜截式方程即可，比较两直线的斜率与截距可得平行；（2）由一般式方程转化为斜截式方程可得在轴上的截距，再由两直线斜率之积为判定垂直；（3）由两直线平行可求得的斜率为，设出斜截式方程，分别求出直线与坐标轴的交点，根据面积列出方程待定系数可得.【小问1详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又直线在轴上的截距为2，即直线过点，则由点斜式可得直线方程为，化为斜截式方程得，直线的斜率，在轴上的截距为.所以的斜截式方程为；由直线经过点，则直线的斜率，则直线的方程为，故的斜截式方程为，在轴上的截距为.由两直线斜率相同，在轴上的截距不同，则.【小问2详解】由直线的一般式方程为，化为斜截式方程为，故在轴上的截距为；直线的斜率，由，所以两直线与互相垂直.【小问3详解】由直线与平行，则斜率，故可设直线方程为，令，得；令，得；由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则，所以，解得.所以直线的方程为，即的一般式方程为.16.在三棱柱中，平面平面，，，，.（1）证明：平面；（2）若异面直线所成角的余弦值为，求BC.【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案.【小问1详解】因为平面平面，交线为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，，平面，所以平面，又，所以平面；【小问2详解】取的中点，连接，因为，所以⊥，因为平面平面，交线为，平面，所以⊥平面，取的中点，连接，则，因为，所以⊥，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，故，设，则，设，由得，解得，故，，因为异面直线所成角的余弦值为，所以，解得，故.17.（1）若直线沿轴向右平移5个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率；（2）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）设直线方程为，根据平移的应用得到平移后的直线方程为，由两直线重合可得，化简计算即可.（2）由两点坐标求入射光线所在直线的斜率，再由斜截式可得直线方程；再由入射与反射光线关于轴对称，则斜率互为相反数，求出斜率再由斜截式可求反射光线所在直线方程.【详解】（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为，直线沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后，所得直线方程为：化简得.因为平移后与原直线重合，则.解得，即直线的斜率为.（2）由两点坐标，可得直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即.因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称，所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为，即.18.在空间几何体ABCDEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．（1）证明：平面平面．（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直；（2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案.【小问1详解】证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．设平面BEF的法向量为，因为，，所以，解得，令，得，故．设平面DEF的法向量为，因为，，所以令，得．因为，所以，所以平面平面．【小问2详解】设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知，平面BEF的一个法向量为，则，所以，即直线DF与平面BEF所成的角为．19.在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2.（1）当二面角为时，判断与平面是否平行；（2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）不与平面平行（2）平面不与平面垂直（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为n=x,y,z，转化为是否为0即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，转化为两个向量数量积是否为0即可；（3）求出平面与平面的法向量，进而求出向量夹角余弦值再转化即可.【小问1详解】若二面角为，则平面平面，因为平面平面，且，所以平面，如图，以为坐标