2024-2025学年广东省汕头市高三上册第四次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省汕头市高三上学期第四次联考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．13．正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（

）A．121 B．364 C．728 D．10934．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（

）A． B． C． D．5．函数图象的一条对称轴为直线，则（

）A． B． C． D．6．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（

）.A． B． C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知是关于的方程的两根，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则10．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（

）

A．存在，使得B．当时，存在，使得平面C．当，时，四面体的体积为D．当时，11．已知圆和圆的交点为，则（

）A．公共弦所在直线的方程为B．线段的中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为.13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为.14．已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在中，内角的对边分别是，，．(1)求角；(2)若，求边上的角平分线长；(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．16.（本小题15分）已知函数．(1)当时，曲线在点（）处的切线记为．①求的方程；②设的交点构成，试判断的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明．(2)讨论的极值．17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18.（本小题17分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，.(1)求椭圆的标准方程；(2)当的面积取最大值时，求的面积.19.（本小题17分）函数.(1)时，讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点、，曲线上两点、连线斜率记为，求证.(3)盒子中有编号为的个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证.2024-2025学年广东省汕头市高三上学期第四次联考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【详解】由知，又，，所以，故选：B.2．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【正确答案】B【详解】在中，点是边上一点，由，得，即，则，当且仅当时取等号，所以所求的最小值为.故选：B3．正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（

）A．121 B．364 C．728 D．1093【正确答案】B【详解】在正项递增等比数列中，所以，又，所以或（舍去），设数列的公比为，则，所以，所以.故选：B.4．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，故此时概率为.故选：A5．函数图象的一条对称轴为直线，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【详解】由题意可得，，，其中，，由函数图象的一条对称轴为直线，即有，即，又，故，故.故选：C.6．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，，设，则，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化简得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故选：B．

7．已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【详解】由条件得，，，在上递增.由得，则或．故选：B．8．在△中，为的角平分线（在线段上），，当取最小值时，（

）.A． B． C． D．【正确答案】C【详解】设，，则，则在中由余弦定理可得，即，所以，由角平分线定理可得，所以.又，故，化简得①，而在△中由余弦定理，代入①得.又因为，所以，所以，故.所以，所以，令或（舍去），所以当时，f'x<0，则当时，f'x>0，则所以时，取得最小值，即取得最小值.所以取得最小值时，.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知是关于的方程的两根，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则【正确答案】ACD【详解】关于的二次方程．当时，，所以，，但不一定成立．当时，，是方程的两个复数根，仍成立，此时，故A正确，B错误．若，方程的两根为，所以互为共轭复数，C正确．若，由于，所以，D正确．故选：ACD10．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（

）

A．存在，使得B．当时，存在，使得平面C．当，时，四面体的体积为D．当时，【正确答案】BCD【详解】对于A，，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错．对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D，如图建系，，，，

，，，，∴，∴，D对．

对于C,时，，时，到平面的距离是到平面距离的.，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对，故选：BCD．11．已知圆和圆的交点为，则（

）A．公共弦所在直线的方程为B．线段的中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为【正确答案】AB【详解】对于A，因为圆和圆，圆心距，且,两圆相交，将两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故选项A正确；对于B，因为圆的圆心为，，则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，整理可得，故选项B正确；对于C，圆心到直线的距离为，又圆的半径r=1，所以，故选项C错误；对于D，点为圆上一动点，圆心到直线的距离为，又圆的半径r=1，所以点到直线AB距离的最大值为，故选项D错误．故选：AB．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为.【正确答案】/【详解】随机变量X服从正态分布，，由，，，且，则，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为．故答案为.13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为.【正确答案】【详解】由，得，又，故数列为首项为，公比为的等比数列，所以，则不等式可化为，令，当时，；当时，；又，则当时，，当时，，所以，则，即实数的最小值为.故答案为.14．已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为．【正确答案】【详解】由抛物线方程得，准线方程为，又点，则，在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G，过P作PM垂直直线，交直线于点M，由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率．

故答案为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在中，内角的对边分别是，，．(1)求角；(2)若，求边上的角平分线长；(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，，解得，又，所以.（2）由及，余弦定理得，又，解得，由得，即，则，所以.（3）因为是的中点，所以，则，由正弦定理得，即，为锐角三角形，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为．16.（本小题15分）已知函数．(1)当时，曲线在点（）处的切线记为．①求的方程；②设的交点构成，试判断的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明．(2)讨论的极值．【正确答案】(1)①；②为钝角三角形，证明见解析；(2)答案见解析.【详解】（1）当时，，则，①因为，，所以的方程为.②为钝角三角形，证明如下:由①知的方程为，又，，所以的方程为，即，又，，所以的方程为，即，由，得到，所以，由，得到，所以，由，得到，所以，得到，，则，注意到，所以，得到，又B∈0,π，所以，即为钝角三角形.（2）因为，则，当时，，由，得到，当时，，时，，此时是的极小值点，极小值为，无极大值，当时，由，得到或，又，若，当时，，时，，此时，是的极大值点，极大值为，是的极小值点，极小值为，若，当时，，时，，此时，是的极大值点，极大值为，是的极小值点，极小值为.综上，当时，极小值为，无极大值，当时，极大值为，极小值为.17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）存在，【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，为棱的中点，，（i），，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，平面的一个法向量为，，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，设，，则，，由（2）知平面的一个法向量为，，点到平面的距离是,，，.18.（本小题17分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到点的距离为，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，直线与轴，轴分别交于点，.(1)求椭圆的标准方程；