大学第三学期数学课件 线性规划问题的的应用举例

第五章线性规划5．5线性规划问题的应用举例制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求解.案例1

投资问题解决：解设投资人投资甲项目万元，投资乙项目万元.，满足

目标函数解决：画出可行域，

解方程组

得点的坐标为（4，6）目标函数取得最大值

答问题的最优解为分别投资甲、乙两项为4万元和6万元，其可能盈利最大为7万元.案例2

生产安排问题一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产

A

、

B

、

C

三种混纺面料，生产1单位产品需要的原料如下表（表5.15）所示：产品原料羊毛涤纶A32B11C24这三种产品的利润分别为4、1、5，每月可购进的原料限额为羊毛8000单位，涤纶为6000单位，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润？请建立线性规划模型，并用表格法求解.表5.15.解决：解设生产产品

A为x1单位，产品

B为x2单位，产品C为x3单位,目标函数

满足

.解决：化标准型，引入松弛变量x4,x5.目标函数

满足

表格计算如下表（表5.16）1125000

j25010x35250001x143750000[]

j3000150001x35[2500]500010(2)x402000[5]14

j4000600010(4)12x504000800001213x40

ibix5x4x3x2x1XBCB100514cj表5.16得到最优解:生产A为2500单位,B为0单位,C为250单位,最大利润为11250单位.案例3

环境保护问题某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图5-11所示，已知流经甲厂的河水日流量为500×104m3,在两厂之间有一条河水日流量为200×104m3的支流.甲、乙两厂每天生产工业污水分别为2×104m3和1.4×104m3

，甲厂排出的污水经过主流和支流交叉点P后已有20%被自然净化.按环保要求，河流中工业污水的含量不得超过0.2%，为此两厂必须自行处理一部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污水的成本分别为1000元和800元.问：在满足环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水，才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型，并求解.

甲厂污水厂乙厂解设甲、乙两厂每天分别处理污水量为x,y

（单位：104m3)目标函数

在甲厂到P点之间，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足≤在乙厂到P点之间，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足≤流经乙厂后，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足≤目标函数

满足得到线性规划模型：利用Excel软件求解：结果为：x=1×104m3,y=0.8×104m3,总费用最少为1640元.案例4

混合问题某养猪场所用的混合饲料由

A

、

B

、

C三种配料组成，表5.17给出1单位各种配料所含的营养成分，单位成本以及1分混合饲料必须含有的各种营养成分，问如何配制饲料时成本最小？配料营养成分单位成本DEFA126B113C1121份饲料应含量20610表5.17解设xj为混合饲料中第j种配料的含量，j=A,B,C目标函数

满足利用Excel软件求解：结果为：xA=0,xB=4,xC=16总费用最少为44.案例5

运输问题设有两座铁矿山A、B，另有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿石才能使总费用最小？铁矿山炼铁厂产量甲乙丙A691260B13345矿石需求量503025105表5.18解设x1为从

A

运到甲厂的运量,x2为从

A运到乙厂的运量，

x3为从

A运到丙厂的运量,y1为从

B

到甲厂的运量，

y2为从

B到乙厂的运量，y3为从

B到丙厂的运量，

根据表中给出的条件，建立线性规则模型如下：满足利用Excel软件求解：结果为：x1=50,x2=10,x3=0,

y1=0,y2=20,y3=0.总费用最少为525.案例6下料问题将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，长0.98m的需1000根，长0.78m的需2000根，问怎样截法，才能使所用钢管最少？解将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，共有如表5.19所列可能截法.截法0.98m0.78m料头（m）15根0根0.124根1根0.333根2根0.542根3根0.751根5根0.1260根6根0.32表5.19设采用第j种截法的钢管数为xj根(j=1,2,…6).建立线性规划模型：

目标函数

满足