2025年中考数学复习热搜题速递之锐角三角函数（2024年7月）

第1页（共1页）2025年中考数学复习热搜题速递之锐角三角函数（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．255 C．55 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55A．25 B．45 C．53 D．103．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．33 B．55 C．2334．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBC B．BCAB C．ADAC 5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．31010 B．12 C．136．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．msin35° B．mcos35° C．msin35° D7．在△ABC中，若角A，B满足|cosA-32|+（1﹣tanB）2＝0，则∠A．45° B．60° C．75° D．105°8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．13 B．2-1 C．2-3 9．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．55 B．255 C．5 10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+3 B．23 C．3+3 D．二．填空题（共5小题）11．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC=12∠BAC，则tan∠BPC＝13．如图，P（12，a）在反比例函数y=60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC=23，则AB的长为15．如图，坡面CD的坡比为1：3，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD=3米，则小树AB的高是三．解答题（共5小题）16．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）17．如图，AD是△ABC的中线，tanB=13，cosC=22（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB=1（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，519．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD=34，求sin

2025年中考数学复习热搜题速递之锐角三角函数（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．255 C．55 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题；网格型．【答案】D【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=2，AB＝22，BC=∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B=AC故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55A．25 B．45 C．53 D．10【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】B【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+5【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝25或﹣25（舍弃），∴BE＝2a＝45，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝45（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=DH∴DH=55∴CD+55BD＝CD+∴CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥4∴CD+55BD的最小值为4方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得55BD＝DM，从而得到CD+55BD＝CM＝故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．3．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．33 B．55 C．233【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】网格型．【答案】D【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=1AD=22cosA=AD故选：D．【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．4．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBC B．BCAB C．ADAC 【考点】锐角三角函数的定义．【答案】C【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD=BD只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α＝∠ACD是解题关键．5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．31010 B．12 C．13【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】网格型．【答案】D【分析】取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO＝90°，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．【解答】解：取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO＝90°，∵AC=2，AO=22∴sin∠AOB=AC故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（）A．msin35° B．mcos35° C．msin35° D【考点】锐角三角函数的定义．【答案】A【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A=BC∵AB＝m，∠A＝35°，∴BC＝msin35°，故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．7．在△ABC中，若角A，B满足|cosA-32|+（1﹣tanB）2＝0，则∠A．45° B．60° C．75° D．105°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【答案】D【分析】根据非负数的性质得出cosA=32，tanB＝1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠【解答】解：由题意得，cosA=32，tanB＝则∠A＝30°，∠B＝45°，则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．13 B．2-1 C．2-3 【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．【答案】A【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=2AC，DE＝EC=22DC，然后通过解直角△DBE来求tan【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC=2AC又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC=12∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC=22DC=∴tan∠DBC=DE故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．9．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．55 B．255 C．5 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【答案】B【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为22+4∴cos∠ABC=4故选：B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+3 B．23 C．3+3 D．【考点】解直角三角形．【答案】A【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC=ACtan∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+3）AC∴tan∠DAC=DCAC=故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．二．填空题（共5小题）11．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．【考点】解直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=a2+(2a)2=5a，O′作BE⊥O′D′于点E，则BE=BD∴O′E=O∴tanBO′E=BE∴tan∠BOD＝3，故答案为：3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴AMNL设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝22a，NL=2a∴AMNL=∴OMOL∴OLLM∵NL＝LM，∴NLOL∴tan∠BOD＝tan∠NOL=NLOL故答案为：3．方法三：连接AE、EF，如图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE=2a，AF=25a，∵(2∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠FAE=EF即tan∠BOD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC=12∠BAC，则tan∠BPC＝4【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=12∠BAC，故∠BPC＝∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC＝tan∠BAE【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，∴BE=12BC=12×8＝4，∠∵∠BPC=12∠∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=A∴tan∠BPC＝tan∠BAE=BE故答案为：43【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．13．如图，P（12，a）在反比例函数y=60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为【考点】锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征．【答案】见试题解答内容【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数y=60∴a=6012∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH=5故答案为：512【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC=23，则AB的长为3+3【考点】解直角三角形．【专题】几何图形问题．【答案】见试题解答内容【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝23，∴CD=3∴BD＝CD=3由勾股定理得：AD=AC∴AB＝AD+BD＝3+3故答案为：3+3【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．15．如图，坡面CD的坡比为1：3，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD=3米，则小树AB的高是【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】几何综合题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图（如图），得Rt△AFD，Rt△CED，然后由Rt△CED，和坡面CD的坡比为1：3，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函数求出AF．进而求出【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF＝60°，FE＝BC，BF＝CE，在Rt△CED中，设CE＝x米，由坡面CD的坡比为1：DE=3xx2+(得x＝±32，-所以，CE=32米，则，ED那么，FD＝FE+ED＝BC+ED＝3+3在Rt△AFD中，由三角函数得：AFFD=tan∠∴AF＝FD•tan60°=9∴AB＝AF﹣BF＝AF﹣CE=932故答案为：43米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，由Rt△AFD，Rt△CED求出AB．三．解答题（共5小题）16．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO•tan60°＝1003（米）．设PE＝x米，∵tan∠PAB=PE∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝1003-x，PF＝OA+AE＝100+2x∵PF＝CF，∴100+2x＝1003-x解得x=100(答：电视塔OC高为1003米，点P的铅直高度为100(3【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17．如图，AD是△ABC的中线，tanB=13，cosC=22（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．【考点】解直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=22，求出∠C＝45°，求出AE＝CE＝1，根据tanB=1（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=2∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC•cosC＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tanB=13，即∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE+CE＝4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=12BC＝∴DE＝CD﹣CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC=2【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB=1（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5【考点】锐角三角函数的定义．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=12AC＝2，由三角函数求出CD＝23，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD＝（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，求出∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD=AD【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD=12AC＝CD＝AC•cos30°＝4×32=在Rt△ABD中，tanB=AD∴BD＝16，∴BC＝BD﹣CD＝16﹣23；（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD=ADMD=2【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．【考点】锐角三角函数的定义；正方形的性质．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC=(3x)EM=x2CM=(2x)2∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM=EM【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD=34，求sin【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据tan∠BAD=34，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得【解答】解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=BD∴BD＝AD•tan∠BAD＝12×34∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，∴AC=AD∴sinC=AD【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

考点卡片1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．6．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的