2025年中考数学复习热搜题速递之分式方程（2024年7月）

第1页（共1页）2025年中考数学复习热搜题速递之分式方程（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．分式方程xx-1A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．32．关于x的分式方程2x-axA．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣13．若关于x的分式方程2x-aA．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠44．若关于x的方程axx-2=A．1 B．2 C．1或2 D．0或25．已知方程3-aa-4-a=14-a，且关于A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜46．已知关于x的分式方程mx-1+A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠37．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．48x+4+48xC．48x+4＝9 D8．若关于x的方程x+mx-A．m＜92 B．m＜92C．m＞-94 D．m＞-99．如果关于x的不等式组m-5x≥2x-112A．13 B．15 C．20 D．2210．解分式方程2x-A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1） C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）二．填空题（共5小题）11．若关于x的分式方程2x-2+mxx212．若关于x的方程axx-2=4x-213．已知关于x的分式方程x+kx+1-kx-114．已知关于x的方程2x+mx-2=315．已知关于x的方程2x=m的解满足x-y=3-nx+2y=5n（0＜n＜三．解答题（共5小题）16．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．17．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？18．解分式方程：x+119．（1）若解关于x的分式方程2x-2（2）若方程2x+ax20．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

2025年中考数学复习热搜题速递之分式方程（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．分式方程xx-1A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3【考点】分式方程的增根；解一元一次方程．【专题】分式；运算能力．【答案】D【分析】根据分式方程有增根，得出x﹣1＝0，x+2＝0，再代入求出即可．【解答】解：∵分式方程xx∴x﹣1＝0，x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，整理得，m＝x+2，当x＝1时，代入得：m＝1+2＝3，当x＝﹣2时，代入得：m＝﹣2+2＝0（当m＝0时，方程为xx-1-故选：D．【点评】本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．2．关于x的分式方程2x-axA．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程，求得x的值，然后根据解为正数，求得a的范围，但还应考虑分母x+1≠0即x≠﹣1．【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a＝x+1，解得：x＝a+1，根据题意得：a+1＞0且a+1≠﹣1，解得：a＞﹣1且a≠﹣2．即字母a的取值范围为a＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．3．若关于x的分式方程2x-aA．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4【考点】分式方程的解．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）＝x﹣2，解得：x=2由题意得：2a-23≥解得：a≥1且a≠4，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．4．若关于x的方程axx-2=A．1 B．2 C．1或2 D．0或2【考点】分式方程的解．【专题】运算能力；模型思想．【答案】C【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：ax＝4+x﹣2解得：（a﹣1）x＝2，∴当a﹣1＝0即a＝1时，整式方程无解，分式方程无解；当a≠1时，x=x＝2时分母为0，方程无解，即2a-∴a＝2时方程无解．故选：C．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．5．已知方程3-aa-4-a=14-a，且关于A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题．【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围．【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即（a﹣4）（a+1）＝0，解得：a＝4或a＝﹣1，经检验a＝4是增根，故分式方程的解为a＝﹣1，已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，∵不等式组只有4个整数解，∴3≤b＜4．故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．6．已知关于x的分式方程mx-1+A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．7．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A．48x+4+48xC．48x+4＝9 D【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】应用题．【答案】A【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间＝9小时．【解答】解：顺流时间为：48x+4；逆流时间为：所列方程为：48x+4故选：A．【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．8．若关于x的方程x+mx-A．m＜92 B．m＜92C．m＞-94 D．m＞-9【考点】分式方程的解．【答案】B【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣9，整理得：2x＝﹣2m+9，解得：x=-∵关于x的方程x+m∴﹣2m+9＞0且-2解得：m＜92且m故m的取值范围是：m＜92且m故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．9．如果关于x的不等式组m-5x≥2x-112A．13 B．15 C．20 D．22【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．【解答】解：原不等式组的解集为-72＜因为不等式组有且仅有四个整数解，所以0≤m-解得2≤m＜7．原分式方程的解为y=8因为分式方程有非负数解，所以8m-1≥0，解得m＞1，且m≠5，因为m＝5时所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15．故选：B．【点评】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围．10．解分式方程2x-A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1） C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）【考点】解分式方程．【答案】D【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x＝﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）．故选：D．【点评】考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）＝3形式的出现．二．填空题（共5小题）11．若关于x的分式方程2x-2+mxx2-4=3【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】该分式方程2x-2+mx【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2），解得m＝6．（2）x＝2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2），解得m＝﹣4．（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），化简得：（m﹣1）x＝﹣10．当m＝1时，整式方程无解．综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解．【点评】分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．12．若关于x的方程axx-2=4x-2+1【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x＝2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．方程去分母，得：ax＝4+x﹣2，即（a﹣1）x＝2当a﹣1≠0时，把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2，解得：a＝2．当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解．故答案为：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．13．已知关于x的分式方程x+kx+1-kx-1=1的解为负数，则k的取值范围是【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1，去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k＝x2﹣1，移项合并得：x＝1﹣2k，根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1解得：k＞12且k故答案为：k＞12且k≠【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．14．已知关于x的方程2x+mx-2=3的解是正数，则m的取值范围是m＞﹣【考点】分式方程的解．【答案】见试题解答内容【分析】首先求出关于x的方程2x+m【解答】解：解关于x的方程2x+mx-2∵x﹣2≠0，解得x≠2，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式组的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于m的不等式组是本题的一个难点．15．已知关于x的方程2x=m的解满足x-y=3-nx+2y=5n（0＜n＜3），若【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】25＜m【分析】先解方程组x-y=3-nx+2y=5n，求得x和y，再根据y＞1和0＜n【解答】解：解方程组x-x=∵y＞1，∴2n﹣1＞1，即n＞1，又∵0＜n＜3，∴1＜n＜3，∵n＝x﹣2，∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5，∴15∴25又∵2x=∴25＜m故答案为：25＜m【点评】本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．根据x取值范围得到1x三．解答题（共5小题）16．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【考点】分式方程的应用．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天．根据题意，得10解得x＝90．经检验，x＝90是原方程的根．∴23x=23×答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y(解得y＝36．需要施工费用：36×（8.4+5.6）＝504（万元）．∵504＞500．∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．17．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有13200x+10解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．18．解分式方程：x+1【考点】解分式方程．【答案】见试题解答内容【分析】方程两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1），即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后进行检验，确定方程的解．【解答】解：原方程即x+1两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1＝3（2x﹣1）﹣2（2x+1），x+1＝6x﹣3﹣4x﹣2，解得：x＝6．经检验：x＝6是原分式方程的解．∴原方程的解是x＝6．【点评】本题考查的是解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．19．（1）若解关于x的分式方程2x-2（2）若方程2x+ax【考点】分式方程的增根；分式方程的解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x＝±2，∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．综上，可知m＝﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x解得：x=2-∵解为正数，∴2-a∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【考点】分式方程的应用．【专题】工程问题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工厂单独加工完成这批产品的天数＝10列出方程．【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得1200x-解得：x＝40．经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60．答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根．

考点卡片1．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．2．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．3．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．5．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母