人教版八年级数学上册轴对称《最短路径问题》示范公开课教学课件

13.4课题学习最短路径问题目录课前导入新课精讲学以致用课前导入情景导入如图，在△ABC中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证AC＝AB.证明：过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，则∠AEB＝90°.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°.∴∠AEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD(AAS)．∴BE＝CA.∴AC＝12AB.新课精讲探索新知1．如图，小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到另一间房的B点，请通过作图替小红找出最短路线．1类型“两点一线”型的应用解：作法：作A点关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸于点O，则点O就是小红的打水点，连接AO，如图，此时小红走的路线A→O→B就是最短路线．探索新知2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD

上的一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP的最小值的是(

)A．BCB．CEC．ADD．ACB探索新知3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为(

)A．50°B．60°C．70°D．80°D2类型“两线一点”型的应用探索新知4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm.求∠AOB的度数．解：分别作点P关于直线OB，OA的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示．此时△PMN的周长最小．∵点P关于直线OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA.∵点P关于直线OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD.∵△PMN周长的最小值是5cm.∴PM＋PN＋MN＝5cm，∴DM＋CN＋MN＝5cm，即CD＝5cm＝OP.∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.探索新知5．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．3类型“两点两线”型的应用(2)连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．解：如图所示．作法：(1)作C点关于OA的对称点C1，D点关于OB的对称点D1；探索新知6．如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，A，B到外河岸的距离都为5m，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)．设护城河及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使路程最短？解：如图所示．分别由A，B向外河岸作垂线，垂足分别为F，G.连接GF，与内河岸相交于点E′，D′.分别由E′，D′向外河岸引垂线段E′E，D′D，连接AD，BE，则DD′，EE′即为桥．沿A→D→D′→E′→E→B的路线行走路程最短．探索新知7．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建一座与河岸垂直的桥CD.问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最短？解：(1)过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′＝河的宽度；(2)连接A′B交b于点D；(3)过点D作DC∥AA′交a于点C.则CD即为桥的位置．图略．学以致用小试牛刀1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，

不是轴对称图形的是(

)D2.观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请

画出其对称轴．解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称(画对称轴略)．小试牛刀3.如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落

在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24cm，△ECF

的周长为8cm，求长方形纸片ABCD的周长．解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，∴AB＝AF，BE＝FE.∵△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，即AD＋DF＋AF＝24cm，FC＋CE＋FE＝8cm，∴长方形纸片ABCD的周长为：AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．小试牛刀4.在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直

线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________；②求α，β之间的关系式．20°10°设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y.在△DEC中，y＝β＋x；在△ABD中，α＋x＝y＋β，∴α＝2β.小试牛刀(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若

存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，

请说明理由．存在．如图：当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y.在△ABD中，x＋α＝β－y；在△DEC中，x＋y＋β＝180°，小试牛刀5.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证△ABE≌△DCE；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS