吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月期末数学试题（含解析）

白城市实验高级中学2024-2025学年度高二上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线－＝1在y轴上的截距为()A.|b|B.－bC.bD.±b2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.30°C.60°D.60°或30°3.产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量，若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为()A.B.C.D.4.某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是(

)A.44~56周岁人群理财人数最多B.18~30周岁人群理财总费用最少C.B理财产品更受理财人青睐D.年龄越大的年龄段的人均理财费用越高5.已知直线l经过点P(－1,2)，且倾斜角为135°，则直线l的一般式方程为()A.x＋y－3＝0B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0D.x－y＋3＝06.下列选项中的曲线与－＝1共焦点的双曲线是()A.－＝2B.－＝1C.－＝1D.－＝17.已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是()A.1B.2C.D.48.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2(c,0)作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A.已知Q，|F2Q|>|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|>|F1F2|恒成立，则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列说法正确的有（

）A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2B.直线在轴的截距为1C.过两点的直线方程为D.若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且AF→＝AD→＋mAB→－nAA1A.m＝12B.m＝－12C.n＝12D.n11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．()A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率12.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是()A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2B.直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥αC.两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥βD.直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为________，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.14.甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．15.已知直线l：被动圆C：截得的弦长为定值，则直线l的方程为

．16.已知椭圆C：＋＝1与动直线l：y＝32x＋m相交于A，B两点，则实数m的取值范围为________；设弦AB的中点为M(x，y)，则动点M的轨迹方程为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，F1，F2为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1.(1)求椭圆C的方程；(2)不过点F2的直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点．①若k2＝，且S△AOB＝，求m的值；②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．18.一名大学生尝试开家小网店销售一种学习用品，经计算每售出1盒产品可获利30元，未售出的商品每盒亏损10元．根据统计资料，得到该商品的月需求量的频率分布直方图(如图)．该同学为此购进180盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200，x∈Z)表示一个月内的市场需求量，y(单位：元)表示一个月内经销该产品的利润．(1)根据频率分布直方图估计这个月内市场需求量x的平均数；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图估计这个月利润不少于3800元的概率．(用频率近似代替概率)<19.在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h约为多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？(精确到0.01m)20.已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点．(1)求证：的面积为定值．(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．(3)在(2)的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.21.已知点在双曲线上．(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．22.设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．参考答案1.【答案】B【解析】直线－＝1，令x＝0，解得y＝－b，∴直线－＝1在y轴上的截距为－b.故选B.2.【答案】B【解析】设直线l与平面α所成的角为θ，则θ＝120°－90°＝30°.3.【答案】B【解析】不妨设5件样品为A1，A2，A3，B1，B2，其中B1，B2为检测过某成分含量的2件样品．故从5件样品中抽取3件样品的所有可能有如下10种：A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，其中满足题意的可能有如下3种：A1B1B2，A2B1B2，A3B1B2.故满足题意的概率为.4.【答案】B【解析】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确；B.设总人数为a，则18~30周岁人群的人均理财费用约为，31~43周岁人群的人均理财费用约为，44~56周岁人群的人均理财费用约为，57周岁人群的人均理财费用约为，所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误；C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确；D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确，故选：B.5.【答案】B【解析】∵直线l的倾斜角为135°，∴斜率为tan135°＝－1，又直线l过点(－1,2)，∴直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.6.【答案】D【解析】与－＝1共焦点的双曲线系方程为－＝1(－12＜λ＜24)，对比四个选项，只有D符合条件(此时λ＝－2)．7.【答案】A【解析】由两条直线平行可得＝，解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.8.【答案】A【解析】易知A，由|F2Q|>|F2A|，得>，即b2a2则离心率e＝<＝.∵|PF1|＋|PQ|>|F1F2|恒成立，∴(|PF1|＋|PQ|)min>3c.又|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2a＋|PQ|≥|F2Q|＋2a＝，∴>3c，∴e<.又∵e>1，∴e∈.9.【答案】AD【解析】对于A，直线与两坐标轴交于点，故与两坐标轴围成的三角形的面积是2，故A正确，对于B，直线过，在轴的截距为，故B错误，对于C，当或时不适用，故C错误，对于D，由题意得直线的方向向量为，故直线的斜率为，故D正确，故选：AD.10.【答案】AD【解析】根据空间向量基本定理，有AF→＝AD→＋12DC→＋12DD1→＝AD→＋12AB→＋12AA111.【答案】ABD【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1这4个事件的和，它们互斥，所求的概率为Cβ(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确．12.【答案】AC【解析】对于A，由a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，得a＝－b，所以a∥b，所以l1∥l2，故A正确；对于B，假设a∥u，则存在唯一得实数λ，使得a＝λu，即(1，－1,2)＝(6λ，4λ，－λ)，所以无解，所以a，u不共线，所以l，α不垂直，故B错误；对于C，因为u·v＝－6＋8－2＝0，所以u⊥v，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为a·u＝－15，所以a，u不垂直，所以l，α不平行，故D错误．故选A、C．13.【答案】(3，－2)2x＋3y＝0或x＋y－1＝0【解析】联立解得所以两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为(3，－2)；当直线l过原点时，直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0，当直线l不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，则3－2＝a，即a＝1.所以直线方程为x＋y－1＝0.所以经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.14.【答案】【解析】方法一设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)·P(E|D3)＝×＋×＋×＝.方法二设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3.则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为＝.将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为＝.15.【答案】【解析】根据题意，l：，由，解得，即直线过定点，动圆C：，圆心，半径为，动圆圆心C在定直线：上动，半径为定值，要使直线l被截得的弦长为定值，则动点C到l的距离为定值，则，故l的斜率也为2，则，故直线l的方程为．故答案为：.16.【答案】(－3，3)3x＋2y＝0，x∈(－，)【解析】由得18x2＋12mx＋4m2－36＝0，Δ＝144m2－4×18(4m2－36)＞0，解得－3＜m＜3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得3x＋2y＝0，x∈(－，).17.【答案】解(1)由抛物线的方程y2＝4x得其焦点为(1,0)，则c＝1，当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2的面积最大，此时＝×2c×b＝1，则b＝1，∴a＝，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)·(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)>0，即1＋2k2>m2，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.①∵m≠0且k2＝，代入(*)式得0<m2<2，|AB|＝|x1－x2|＝1+12∙(设点O到直线AB的距离为d，则由点到直线距离公式得d＝＝，∴S△AOB＝|AB|·d＝·＝，∴m2＝1∈(0,2)，则m＝±1.②＝＝，＝＝，由题意知＋＝0，∴＋＝0，即2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，∴2k·＋(m－k)－2m＝0，解得m＝－2k，∴直线l的方程为y＝k(x－2)，故直线l恒过定点，该定点坐标为(2,0)．18.【答案】解(1)由频率分布直方图得，需求量在[100,120)内的频率为0.0050×20＝0.1；需求量在[120,140)内的频率为0.0100×20＝0.2；需求量在[140,160)内的频率为0.0150×20＝0.3；需求量在[160,180)内的频率为0.0125×20＝0.25；需求量在[180,200)内的频率为0.0075×20＝0.15.∴根据频率分布直方图估计这个月内市场需求量x的平均数＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．(2)∵每售出1盒产品，可获利30元，未售出的商品每盒亏损10元，∴当100≤x≤180时，y＝30x－10(180－x)＝40x－1800，当180<x≤200时，y＝30×180＝5400，∴y＝(3)∵利润不少于3800元，∴40x－1800≥3800，解得x≥140，又100≤x≤200，∴140≤x≤200，∴由(1)知利润不少于3800元的概率为1－0.1－0.2＝0.7.19.【答案】解记灯柱顶端为点B，灯罩处为点A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为坐标原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为(11.5,0)．因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为120°－90°＝30°，则点A的坐标为(2.5cos30°，h＋2.5sin30°)，即.因为CA⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－.由点斜式，得直线CA的方程是y－(h＋1.25)＝－.因为灯罩轴线CA过点C(11.5,0)，所以－(h＋1.25)＝－×，解得h≈14.92m.故灯柱高约为