2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(

)A.(0,1) B.(1,0) C.(0,116)2.若双曲线E：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点PA.272或32 B.272 C.33.已知点(2,1)在圆C：x2+y2−2x−my+5A.{m|m>4} B.{m|m>−4}

C.{m|−4<m<1或m>4} D.{m|−4<m<−1或m>4}4.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=1，AA1A.2

B.4

C.12

D.5.直线l经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则|AB|=(

)A.163

B.6

C.323

6.已知圆(x+2)2+(y−1)2=1上一点P到直线3x+4y−5=0的距离为dA.25 B.35 C.457.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y29−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为3米时，水面宽AB为4A.3米

B.(62−3)米

C.(26−3)8.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：x23+y2=1的蒙日圆为圆C1，若圆C1不透明，则一束光线从点A(−3,n)出发，经x轴反射到圆CA.±2 B.±3 C.2 D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C过点A(2,−4)，则(

)A.抛物线C的标准方程可能为y2=8x

B.抛物线C的标准方程可能为x2=−y

C.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条

10.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于AA.当直线l与x轴垂直时，|AB|=3 B.△ABF1的周长为32

C.|AF1||A11.已知F1，F2是椭圆x2a12+y2b12=1(a1>A.a1B.当θ=π3时，b12=3b2D.△PF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线2x+y+1=0与直线(3−m)x−(m−2)y+3=0垂直，则实数m=______．13.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=6，点F为长方体的底面ABCD的中心，点14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，c>0，以F1F2为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为P，若直线PF1与圆四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C：x2+y2+2x+my−20=0，圆C上存在关于直线x−y−1=0对称的两点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P(−4,4)的直线l被圆C截得的弦长为816.(本小题15分)

如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AD=6，AB=4，M，N分别为AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥平面PCD；

(2)求直线PB与平面PMC所成角的正弦值．17.(本小题15分)

椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点(0,1)，过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为2．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，若△OMN(O为坐标原点)的面积为2109，求直线18.(本小题17分)

若抛物线Γ：y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合．

(1)求抛物线Γ的方程；

(2)已知点A(6,−12)，在曲线Γ上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到y19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，离心率为2．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，F为双曲线的右焦点，直线l过F且与双曲线C的右支交于M，N两点，AM，AN分别交直线x=1于P，Q两点．

(i)若直线l的斜率存在，证明OP⋅OQ为定值；

(ii)若D(t,0)参考答案1.C

2.B

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.8313.9414.b

515.解：(1)圆C：x2+y2+2x+my−20=0，圆C上存在关于直线x−y−1=0对称的两点，

可得圆心C在直线x−y−1=0，

而圆心C(−1,−m2)，所以−1−(−m2)−1=0，解得m=4，

所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25；

(2)将点P(−4,4)代入圆的方程可得：(−4+1)2+(4+2)2>25，即点P在圆C外部，

当斜率不存在时，设直线l的方程为x=−4，则圆心C到直线的距离d=|−1−(−4)|=3，

此时弦长为2r2−d2=225−9=8，显然符合条件，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y−4=k(x+4)，

即kx−y+4k+4=0，

设圆心C到直线的距离为16.(1)证明：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,6)，C(4,6,0)，D(0,6,0)，M(2,0,0)，N(2,3,3)，

所以MN=(0,3,3)，DC=(4,0,0)，DP=(0,−6,6)，

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅DC=4x=0m⋅DP=−6y+6z=0，

令y=1，则x=0，z=1，所以m=(0,1,1)，

所以MN//m，

所以MN⊥平面PCD．

(2)解：B(4,0,0)，

所以PB=(4,0,−6)，MP=(−2,0,6)，MC=(2,6,0)，

设平面PMC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅MP=−2a+6c=0n⋅MC=2a+6b=0，

取a=3，则b=−1，c=1，所以n17.解：(1)由题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

因为椭圆C经过点(0,1)，故b=1，

由题意可知，(c,22)在椭圆上，则c2a2+12b2=1，

于是c2a2+12=1，又a2=b2+c2=1+c2，

所以可得a=2，c=1，

故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．

(2)椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0)，

设直线l的方程为x=my+1，M(18.解：(1)由椭圆x24+y23=1的方程可得右焦点(1,0)，

由题意可得p2=1，解得p=2，

所以抛物线Γ的方程为：y2=4x；

(2)由(1)可得抛物线的准线方程为x=−1，A(6,−12)，

因为(−12)2>4×6，即点A在抛物线外部，

因为点P到点A的距离与点P到y轴的距离之和取得最小值，

即最小值等于点P到点A与到焦点F的距离减去p的值，且点P在A，F之间，

因为直线AF的斜率k=−126−1=−125，

可得直线AF的方程为：y+12=−125(x−6)，

即x=−5y12+1，代入抛物线Γ的方程可得y2+4(5y19.(1)解：由题意知2a=4ca=2b2=c2−a2，解得a=2b=23c=4，

所以双曲线C的方程为x24−y