专题4.4 与整式有关的规律探索【八大题型】（原卷版）

专题4.4与整式有关的规律探索【八大题型】

【人教版2024】

【题型1单项式中的规律探索】...............................................................................................................................1

【题型2多项式中的规律探索】...............................................................................................................................2

【题型3图形中的规律探索】...................................................................................................................................2

【题型4表格中的规律探索】...................................................................................................................................3

【题型5等式中的规律探索】...................................................................................................................................4

【题型6程序图中的规律探索】...............................................................................................................................6

【题型7新定义中的规律探索】...............................................................................................................................7

【题型8动态中的规律探索】...................................................................................................................................8

【题型1单项式中的规律探索】

为奇数

【例1】（23-24七年级·北京海淀·期中）由于（﹣1）n＝，所以我们通常把（﹣1）n称为符

为偶数

−1�

号系数．1�

（1）观察下列单项式：﹣，…按此规律，第5个单项式是，第n个单项式是．

1223344

3�,15�,−35�,63�

（2）的值为；

�+���−�

2+−12

（3）你根据（2）写出一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子．

【变式】（七年级云南红河期末）按一定规律排列的单项式：，则第个

1-123-24··46810

2����

单项式是（）．�,−3,5,−7,9,⋯⋯�

．．．．

A2�B2�C2�D�

�+1��+1�����

(−1)2�+1(−1)2�−1(−1)2�+1(−1)2�−1

【变式1-2】（2024·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的数：，，，，……，则这列数的第n

1357

个数是（）2−510−17

A．B．

2�+12�−1

�+122

(−1)��+1

C．D．

2�−12�−1

�2�+12

(−1)�+1(−1)�+1

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【变式1-3】（23-24七年级·云南昭通·期末）观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，

12222323

2��3��4��

，，……，按此规律，第n个单项式是（）

424525

5��6��

A．B．C．D．

�2�����−12��−1��

�+1���+1��������

【题型2多项式中的规律探索】

【例2】（23-24七年级·云南昭通·期末）按一定规律排列的多项式：，，，，

234

，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（−�+）2��+4�−�+6��+8�

56

−�A+．10��+12�B．

����

C．−1�+��D．−1�+2��

�+1����

【变式2-−1】1（20�24+七2年��级·全国·专题练习）观察下−列1多项�式+：−1��，，，，…，

234

按此规律，则可得到第2023个多项式是．2�−�4�+�8�−�16�+�

【变式2-2】（23-24七年级·云南昆明·期末）一组按规律排列的多项式：，，，，……，

233547

其中第10个式子的次数是（）�+��−��+��−�

A．10B．17C．19D．21

【变式2-3】（23-24七年级·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则：

234

（1）它的第5项是；�−3�+5�−7�+⋯

（2）当时，多项式前100项的和为．

�=1

【题型3图形中的规律探索】

【例3】（2024七年级·重庆·专题练习）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，

第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第

10个图形中●的个数为（）

A．50B．53C．64D．76

【变式3-1】（23-24七年级·新疆伊犁·期中）如图，在一组有规律的图案中，第个图案由个基础图形组

成，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，则第1是正整数4)个图案由

27310�(�

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个基础图形组成．

【变式3-2】（2024·重庆南岸·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为

燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷

（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷…的化学

式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按…照)此规律，十二烷的化�学�式4为（）

�2�6�3�8…

A．B．C．D．

【变式3�-31】2�（2423-24七年级·�江12苏�2无5锡·阶段练习）分�1形2�几26何学是数学家伯努�1瓦2�·曼28德尔布罗在20世纪70年代

创立的一门新的数学学科．分形是把整体以某种方式分成几个部分．按照如图甲所示的分形规律（1个白圈

分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈），可得如图乙所示的一个树形图，则第7行

中黑圈数量为（）

A．364B．365C．366D．367

【题型4表格中的规律探索】

【例4】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）将偶数2、4、6、8、10…按下列规律进行排列，首先将这些数

从“2”开始每隔一数取出，形成第一行数：2、6、10、14…；然后在剩下的数4、8、12、16…中从第一个数

“4”开始每隔一数取出，形成第二行数：4、12、20、28…；那么数表中的416位于（）．

261014…

4122028…

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8244056…

164880112…

……………

A．第6行第4列B．第4行第6列C．第5行第7列D．第7行第5列

【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），

图②是从图①中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是．

【变式4-2】（23-24七年级·广东湛江·期末）正整数按如下的规律排列，写出第n行、第列的数字为．

第一列第二列第三列第四列第五列�+1

第一行1251017…

第二行4361118…

第三行9871219…

第四行1615141320…

第五行2524232221…

…

【变式4-3】（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．

根据此规律确定a的值为，b的值为，x的值为．

【题型5等式中的规律探索】

【例5】（23-24七年级·安徽安庆·期末）观察以下等式．

第1个等式：．

22

第2个等式：1×2×3×4+1=1+3×1+1．

22

2×3×4×5+1=2+3×2+1

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第3个等式：．

22

第4个等式：3×4×5×6+1=3+3×3+1．

22

按照以上规律，4×解5决×下6列×问7+题1．=4+3×4+1

(1)写出第5个等式：______．

(2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示）

【变式5-1】（23-24七年级·河北唐山·单元测试）观察下列算式：，，

22

，…，这列算式的规律可表表示为：1×3+1=22×4+1=3

2

【3变×式5+5-12】=（423-24七年级·四川达州·期末）从开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

加数的个数连续偶数的和2

��

12=1×2

22+4=6=2×3

32+4+6=12=3×4

42+4+6+8=20=4×5

(51)如果时2，+那4么+6的+值8为+10=30；=5×6

(2)由表中�=的8规律猜想：�用含的代数式表示的公式为；

(3)由上题的规律计算���=2+的4值+．6（+要8有+计⋯算+过2�程=）

【变式5-3】（2024·安徽30六0+安3·模02拟+预30测4）+观⋯察+下20列22等+式2：024

第1个等式：；

11

−1+2=−1×2

第2个等式：；

1111

−2+3=−2×3

第3个等式：；．

1111

−3+4=−3×4⋯

…．

(1)请写出第5个等式：______；

(2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数）

�

(3)根据你发现的规律计算：．

1111111

−1×2+−2×3+−3×4+⋯+−2023×2024

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【题型6程序图中的规律探索】

【例6】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，

则第2023次输出的结果是（）

A．B．C．D．

【变式62-10】20（23-24七年级2·浙5江金华·期中）小明同1学利用计算机设计了一5个程序，输入和输出的情况如下

表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出

结果为，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有个．

输入12345678…

输出a…

22426310516826

3�4��7��11��18��29��47��

【变式6-2】（23-24七年级·陕西西安·期中）[新视角规律探究题]按如图所示的程序进行计算，如果第一次

输入x的值是，则第次计算后输出的结果为．

−32024

【变式6-3】（23-24七年级·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，

想一想：为什么会有这个规律？

(1)填写表内空格：

输入0…

输出答案−93−2−11

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(2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____．

(3)请验证你发现的规律．

【题型7新定义中的规律探索】

【例7】（23-24七年级·福建厦门·期末）定义数组的变换：依次排列的一组数，对任意相邻的两个数，都

用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间�，可产生一个新数组．

步骤如下（以数组，为例）：

①第1次变换后得3到数9组，，；

②第2次�变换后得到数组3，6，9，，；

……�33639

一组有理数，，这组数经过2023次变换后，利用你所观察的规律，这组数的和为（用含

有，的式�子表�示并化简）�

【变�式7�-1】（23-24七年级·江苏镇江·期中）定义一种新运算，规律如下：

1⊕2=3×1−2=1

5⊕3=3×5−3=12

4⊕(−1)=3×4+1=13

(1−)直2接)⊕写(出−：6)=3×(__−__2_)_+；6（=用0含a、b的代数式表示）

(2)化简：�⊕�=；

(3)若定义的�新−运�算⊕满�足⊕交�换律，则a、b的数量关系是（）

A．B．C．D．

�+�=0�=��=3��=3�

【变式7-2】（23-24七年级·河北保定·期末）定义一种对正整数的“运算”：

①当为奇数时，结果为；��

②当�为偶数时，结果为3（�−其1中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，第一次“

��

��

�2�2�=12�

运算”的结果是3；第二次“运算”的结果是8；第三次“运算”的结果是1．

��

第7页共9页.

若，则：

（1�）=第1一71次“运算”的结果为．

（2）照这样运�算下去，第2024次“运算”的结果为．

�

【变式7-3】（23-24七年级·重庆渝北·阶段练习）对于任意一个三位数或四位数，若m所

�=����=��𝑏

有数位上的数相等，那么则称这个数为“同位数”，定义�+12�，那么；

3�<1000

�(�)=�+122��(888)=

现有实数、、，，，满足式子3�≥1000能被7整除，求

的值：��．�(�=�����=���1≤�≤9�=9)�(�)+�(�)+��+�

【题型8动态中的规律探索】

【例8】（23-24七年级·江西赣州·期末）如图，数轴上，两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规

律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从跳�动到�的中点处，第3次从�点�跳动到的中

点处，按照这样的规�律�继续跳动�1到点�1（�1�是整数�2）处，那么线段�2的长度�为2�（）

�3�4,�5,�6,…,���≥3,����

．．．