第14讲 整式的加减（人教版）（原卷版）VIP

第14讲整式的加减

【人教版】

·模块一合并同类项

·模块二去括号

·模块三整式的加减

·模块四课后作业

模块一合并同类项

同类项：

（1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序

无关）.

（2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.

【考点1同类项】

【例1.1】（2023·四川内江·中考真题）下列单项式中，푎푏3的同类项是（）

A．3푎푏3B．2푎2푏3C．−푎2푏2D．푎3푏

【例1.2】（2023七年级·四川成都·期中）如果3푥3푦푎和−푥3푦2是同类项，那么푎的值为．

【例1.3】（2023七年级·湖北恩施·期末）关于푎、푏、푥、푦的多项式2023푎푚+6푏푛−3푥푚푦푛+푎3푚푏2푛−3−4푥2푚−1

푦2푛−4（其中푚、푛为正整数）中，恰有两项是同类项，则푚푛是．

【变式1.1】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列两项是同类项的是（）

A．3푥2푦与3푥푦2B．−2푥2푦2与−2푥

C．−3푎푏2与4푏2푎D．3푎2与3푏2

【变式1.2】（2023七年级·山西晋城·期中）已知单项式7푥푛푦3与单项式−9푥2푦푚是同类项．

(1)填空：푚=，푛=．

(2)求多项式3푚2푛−2푚푛2+2푚的值．

【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？为什么？

(1)7푥2푦4与8푥4푦．

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(2)5푥2푦与6푥2푦푧．

22

(3)−2푎푏与−3푎푏．

32

(4)−12푎2푏3与2푏3푎2．

(5)푚3与23．

【考点2合并同类项及其应用】

【例2.1】（2023七年级·江西吉安·开学考试）下列运算结果正确的是（）

A．2+3푎=5푎B．5푎푏−3푎=2푏

C．−4푎2푏+4푏푎2=0D．2푎+3푏=0

【例2.2】（2023七年级·山西吕梁·期末）如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类项，若

它们合并后的结果为푎，则代数式푎2+2푎+1的值为（）

A．−1B．0C．1D．2

【例2.3】（2023七年级·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会

经常用到．我们知道，合并同类项：5푥−3푥+2푥=(5−3+2)푥=4푥，类似地，我们把(푚+푛)看成一个整

体，则5(푚+푛)−3(푚+푛)+2(푚+푛)=(5−3+2)(푚+푛)=4(푚+푛)．

尝试应用：

(1)把(푚+푛)2看成一个整体，合并4(푚+푛)2−5(푚+푛)2+3(푚+푛)2的结果是______．

(2)已知푥2+2푦=−9，求4푥2+8푦+18的值．

拓展探索：

(3)已知푎−푏=2，푏−2푐=4，2푐−푑=−1，求(푎−2푐)−(푏−2푐)+(푏−푑)的值．

【变式2.1】（2023七年级·湖北·期末）已知m，n为正整数，若多项式2푎2푏−푎3푏2+3푎푚−1푏푛合并同类项后

只有两项，则푚+푛的值为．

【变式2.2】（2023七年级·江西赣州·期末）如果关于푥、푦的两个单项式2푚푥푎푦3和−4푛푥4푦푏是同类项（其中

푥푦≠0）

(1)求푎、푏的值；

(2)如果这两个单项式的和为0，求(푚−2푛−1)2024的值．

【变式2.3】（2023七年级·北京怀柔·期末）指出下列单项式中的同类项，并将所有同类项写成一个多项式，

再合并同类项．

第2页共12页.

﹣y2x、2xy、2xy2、x、y、﹣3xy、﹣yx、2．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·陕西西安·期中）若多项式3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2）中不含x2项，则k的值为

（）

A．0B．2C．﹣2D．±2

【题型2】（2023七年级·福建漳州·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把(푥−푦)2

看作一个整体，合并2(푥−푦)2−6(푥−푦)2+3(푥−푦)2的结果是．

【题型3】（2023七年级·四川泸州·阶段练习）我们知道1+2+3+…+100=5050，于是

푚+2푚+3푚+⋯+100푚=5050푚，那么合并同类项푚+2푚+3푚+…+51푚的结果是（）

A．1570푚B．1576푚C．1326푚D．1323푚

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·贵州铜仁·学业考试）已知多项式푚푥+푛푥合并后结果为0，则푚、푛的关系

是．

【题型2】（2023七年级·浙江杭州·期末）关于a、b的单项式ma2b3与﹣2a2bn﹣1合并同类项后得﹣5a2b3，

则m＝，n＝．

【题型3】（2023七年级·全国·课后作业）（1）水库水位第一天连续下降了푎h，每小时平均下降2cm；第

二天连续上升了푎h，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？

（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为푥kg．上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋．进货后这

个商店有大米多少千克？

模块二去括号

去（添）括号：

（1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；

（2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

【考点1去括号】

【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）去括号的依据是（）

A．乘法交换律B．乘法结合律C．分配律D．乘法交换律与分配律

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【例1.2】（2023七年级·河南信阳·期末）下列去括号与添括号变形中，正确的是（）

A．2푎−(3푏−푐)=2푎−3푏−푐B．3푎+2(2푏−1)=3푎+4푏−1

C．푎+2푏−3푐=푎+(2푏−3푐)D．푚−푛+푎−푏=푚−(푛+푎−푏)

【例1.3】（2023七年级·浙江杭州·期末）若푎−푏=3，푐−푑=2，则(푏+푑)−(푎+푐)=．

【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）去括号：

（1）−(푝+푞)+(푚−푛)；（2）(푟+푠)−(푝−푞)．

【变式1.2】（2023·河北石家庄·七年级期末）下列式子中，去括号后得−푎−푏+푐的是（）

A．−푎−(푏−푐)B．(푏+푐)−푎C．−푎−(푏+푐)D．−(푎−푏)−푐

【变式1.3】（2023七年级·河北沧州·期中）在等式1−(         )=1−푎2+2푎푏+푏2中，括号里应填（）

A．푎2−2푎푏+푏2B．푎2−2푎푏−푏2C．−푎2−2푎푏+푏2D．−푎2−2푎푏−푏2

【考点2去括号的简单应用】

【例2.1】（2023七年级·浙江杭州·期末）三个连续的奇数，中间的一个是2푛+1，则三个数的和为（）

A．6푛−6B．3푛+6C．6푛+6D．6푛+3

【例2.2】（2023·河北石家庄·七年级期末）某校举办的知识竞赛，共10道题，规定答对一道题加x分，答

错一道题（不答按错）扣(푥−2)分，小明答错了2道题，他得到的分数是（）

A．6푥+4B．6푥−4C．8푥+4D．8푥−4

【例2.3】（2023七年级·浙江宁波·期中）如图，6张全等的小长方形纸片放置于矩形퐴퐵퐶퐷中，设小长方形

的长为푎，宽为푏(푎>푏)，若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出下面哪个数据（）

（小蜜蜂提醒：小长方形有部分重叠）

A．푎B．푏C．푎+푏D．푎−푏

【变式2.1】（2023七年级·四川成都·阶段练习）三个小队植树，第一队种푥棵，第二队种的树比第一队种

的树的2倍还多4棵，第三队种的树比第二队种的树的一半少6棵，三队共种树棵．

【变式2.2】（2023七年级·河南驻马店·期中）已知两艘轮船从同一港江同时出发反向而行，“艺鸣号”在顺

水中航行，“前进号”在逆水中航行，两艘轮船在静水中的速度都为20千米/小时，已知水流速度为푛千米/小

第4页共12页.

时．

(1)1.5小时后两船相距多远？

(2)1.5小时后，“艺鸣号”比“前进号”多航行多少千米?

【变式2.3】（2023七年级·陕西西安·期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符

号）称为一个数，如：푎−(푏+푐)−(−푑−푒)，其中称a为“数1”，b为“数2”，+푐为“数3”，−푑为“数4”，−푒

为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进

行“换位思考”，得到：−푒−(푏+푐)−(−푑+푎)；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：푎−(푐+푏)−

(−푑−푒)．下列说法：

①代数式(푎−푏)+(푐−푑)−푒进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；

②代数式푎−(푏+푐−푑−푒)进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；

③代数式푎+[푏−(푐−푑−푒)]进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；

④代数式푎+[푏+푐−(푑−푒)]进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果，其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·全国·假期作业）{−{−{−[−(−25)]}}}=（）

11

．25．−25．．−

ABC25D25

【题型2】（2023七年级·山东临沂·期中）如图是两种长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是y米，宽都是

x米，若一用户需①型的窗框2个，②型的窗框2个．

(1)该用户制作窗框至少需铝合金米长（损耗忽略不计，用含x，y的式子表示）；

(2)若铝合金价格为100元/米，加工费（含配件费用）为50元/平方米，求当푥=1.2,푦=1.5时，该用户制作

窗户共需多少元钱？

【题型3】（2023·湖北武汉·七年级期末）在多项式푎−푏−푐−푥−푦−푧中任意加括号，加括号后仍只有减法运

算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如(푎−푏)−(푐−푥−푦−푧)=푎−푏−푐+푥+푦+푧，

第5页共12页.

푎−푏−(푐−푥−푦)−푧=푎−푏−푐+푥+푦−푧，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（）

A．8种B．16种C．24种D．32种

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置．

(1)A、D两站的距离是_______，C、D两站的距离是______；（用含a、b的代数式表示）

(2)若已知C、D两站之间的距离是8km，求A、D两站之间的距离．

【题型2】（2023七年级·贵州贵阳·期末）如图所示，用三种大小不同的正方形和一个长方形（阴影部分）

拼成长方形퐴퐵퐶퐷．其中有4个相同小正方形的边长为a，长方形的长퐷퐹为b．

(1)看图填空：퐴퐵=，퐷퐸=；（用含a，b的代数式表示）

(2)当푎=1，푏=3时，求长方形퐴퐵퐶퐷的周长．

【题型3】（2023七年级·重庆北碚·期末）对多项式푥−푦−푧−푚−푛（x，y，z，m，n均不为零），任意加括

号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序

重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：푥+(푦−푧)−푚−푛=푥+푦−푧−푚−푛，푥−푦+(푧−푚−푛)

=푥−푦+푧−푚−푛,⋯，下列说法：

①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．

其中正确的个数是（）个

A．0B．1C．2D．3

模块三整式的加减

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整式的加减：

几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

【考点1整式的加减】

【例1.1】（2023·河北唐山·七年级期末）要使5(푎2−푏)−()的化简结果为单项式，则（）中可以填（）

A．푎2B．5푏C．−5푏D．−5푎2

【例1.2】（2023·江苏南京·七年级期末）有理数푎,푏,푐在数轴上的位置如图所示，则化简|푎−푐|+|푏−푎|−|푏−푐|

的结果是（）

A．2푐−2푏B．2푎−2푐C．0D．2푎−2푏

【例1.3】（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）一名同学在计算3퐴+퐵时，误将“3퐴+퐵”看成了“3퐴−퐵”，求

得的结果是6푥2−5푥+8，已知퐵=3푥2+7푥+3，则3퐴+퐵的正确答案为．

【变式1.1】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个多项式加上3푥푦+2푦2，结果得2푥푦+3푦2，则这

个多项式为．

【变式1.2】（2023七年级·江苏南京·期中）无论푥、푦取何值，多项式7푥3−6푥3푦+3푥3+6푥3푦−10푥3+2的

值是．

【变式1.3】（2023七年级·广东潮州·期中）已知퐴=−푥2+2푥푦−3푦2，퐵=5푥2−푥푦+2푦2．

(1)求4퐴−6퐵；

(2)若2퐴+퐵+퐶=0，求C．

【考点2整式加减的应用】

【例2.1】（2023·陕西商洛·七年级期末）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是푎亩，

水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水

稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大．

【例2.2】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形퐴퐵퐶퐷是边长为10的正方形，四边形퐸퐶퐺퐹是

边长为푎的正方形，点퐺在线段퐶퐷上，连接퐴퐸，퐸퐺．

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(1)用含푎的代数式表示△퐴퐵퐸的面积；

(2)用含푎的代数式表示阴影部分面积푆，并求出当푎=8时，阴影部分面积푆是多少？

【例2.3】（2023七年级·重庆黔江·期中）为落实“阳光体育”工程，某校计划采购网球及网球拍．已知网球

拍每块250元，网球每桶30元，甲、乙两个商场推出如下优惠活动：

甲商场：按购买金额打九折付款；

乙商场：买一块网球拍送一桶网球．

现学校需要购买网球拍18块，网球x桶(푥>18)．

(1)分别求出甲、乙两个商场的购买费用；（用含x的整式表示）

(2)如果可以在甲、乙两个商场购买，则购买18块这种网球拍和40桶网球在那个商场更省钱一些？

【变式2.1】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）数学老师对同学们说：请你默想一个一位数，把这个数乘

以2，加上5，再乘以50，加上1773，最后再减去你出生的年份．把运算的结果告诉我，我就能猜中你默

想的那个一位数和你今年（2023年）的年龄．

注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年1~12月出生，今年（2023年）都是23岁．

你知道数学老师是怎么做到的吗？

(1)举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年（2023年）的年龄的；

(2)解释其中的原理．

【变式2.2】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）如图，公园有一块长为(2푎−1)米，宽为푎米的长方形土地

（一边靠着墙），现将三面留出宽都是푏米的小路，余下部分设计成花圃퐴퐵퐶퐷，并用篱笆把花圃不靠墙的

三边围起来．

(1)花圃的宽퐴퐵为______米，花圃的长퐵퐶为______米；（用含푎，푏的式子表示）

(2)求篱笆的总长度；（用含푎，푏的式子表示）

(3)若푎=30，푏=5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价．

【变式2.3】（2023七年级·湖南张家界·期末）每一个新生命的诞生都会给亲人带来欢乐和希望．我们可以

把人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差称为关联年份．例如，提出“华氏定理”、被美国数

第8页共12页.

学家贝特曼称为“中国的爱因斯坦，足以成为全世界所有著名科学院的院士”的数学家华罗庚出生于1910年，

他的关联年份是1910−(1+9+1+0)=1899．

(1)你出生于年，你的关联年份是．某人出生于1981年，他的关联年份是．

(2)观察猜想：这些关联年份最大都能被整除．请你用所学的数学知识说明你的猜想．

【考点3整式的求值】

【例3.1】（2023七年级·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：2(푎2+푎푏)−32푎2−푎푏，其中푎=2，

3

푏=−3．

（2）已知2푥+푦=3，求代数式3(푥−2푦)+5(푥+2푦−1)−2的值．

【例3.2】（2023七年级·河北石家庄·期中）已知整式퐴=3푥2−푚(푥2+6)+4．

（1）若A的值与x无关，则m=；

（2）当푚=1时，퐵=−푥2−10．

①化简2퐴−퐵=；

②当整式A取得最小值时，此时2퐴−퐵的值为．

19

【例3.3】（2023七年级·重庆·阶段练习）若푎−푏=2，푎−푐=，则整式(푏−푐)2+3+的值为（）

2(푏−푐)4

99

A．B．C．9D．0

24

【变式3.1】（2023七年级·四川遂宁·阶段练习）若푎2+2푎푏=20，푏2+2푎푏=8，则2푎2−3푏2−2푎푏=．

【变式3.2】（2023七年级·河南驻马店·期末）若a和b互为相反数，则代数式3(2푎−3푏)−4(푎−3푏+1)−푏

的值为.

【变式3.3】（2023七年级·广西南宁·期中）（1）先化简，再求值：3(푎3−3푎2+5푏)−(푎2+7푏)，其中

푎=−1，푏=−2，

（2）若|푎|=21，|푏|=27，且|푎+푏|=푎+푏，求푎−푏的值．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·吉林·期末）定义一种新运算“⊕”：푎⊕푏=2푎−3푏．例如：

1⊕(−3)=2×1−3×(−3)=11．

(1)求(−2)⊕3的值；

(2)若퐴=(3푥−2)⊕(푥+1)，化简A．

2푥

2

【题型2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若|푥|=2，|푦−1|=5，且3푦<0，则5푥푦+5푥푦−7푥−

4푥2푦+5푥푦−7푥的值是．

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【题型3】（2023七年级·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的多项式A，B，其中퐴=푚푥2+2푥−1，퐵=−푥2

+푛푥−2．

(1)化简：퐵+2퐴；

(2)若퐵+2퐴的结果不含푥2项和项，求m，n的值．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·河北·阶段练习）小明在计算多项式푀减去多项式2푥2푦−3푥푦+1时，误计算成加上

这个多项式，结果得到答案2푥2푦−5푥푦，若푥，푦互为倒数，则多项式푀的值为（）

A．−9B．−7C．−3D．−1

【题型2】（2023七年级·浙江杭州·期末）如图，长方形内放置三个相同的小长方形①②③，若小长方形①

的周长为5，则图中④和⑤部分的周长和为.

【题型3】（2023七年级·云南昆明·期中）若关于x，y的两个多项式퐴=푎푥2−4푦+푥−3与퐵=푥2−2푏푥+2푦

的差为多项式C，通过计算小明发现多项式C的结果与x的大小没有关系．

(1)求a，b的值；

(2)求多项式(5푎2−4푎푏+2푏2)−2(푎2−2푎푏−2푏2)的值．

模块四课后作业

1．（2023·甘肃武威·七年级期末）下列计算中正确的是（）

A．2푥+3푦=5푥푦B．−7푎푏2+4푎푏2=−3푎푏2

C．4푚푛−3푚푛=1D．6푥2−(−푥2)=5푥2

2．（2023七年级·广东潮州·期中）1−2푥2+푥푦−푦2=1−()，在括号里填上适当的项应该是（）

A．2푥2+푥푦−푦2B．−2푥2−푥푦−푦2

C．2푥2−푥푦+푦2D．푥2−푥푦+푦2

3．（2023·安徽蚌埠·七年级期末）若푎2−2푎−2024=0，则代数式2024+4푎−2푎2的值为（）

A．2024B．−2024C．2025D．−2025

4．（2023·河北唐山·七年级期末）能与−(푎−푏)相加得0的是（）

A．−푎−푏B．푎+푏C．−푎+푏D．−푏+푎

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5．（2023七年级·山东济南·期中）如图，长为푦(cm)，宽为푥(cm)的大长方形被分割为7小块．除阴影퐴，퐵

外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，则阴影퐴的较短边和阴影퐵的较短

边之和为（）

A．푥−푦+5B．2푥+푦+5C．2푥−푦+5D．푥+푦+5

6．（2023七年级·上海青浦·期中）若关于x的多项式−4푥3−2푚푥2+2푥2−6合并同类项后是一个三次二项式，

则푚=．

7．（2023七年级·四川成都·期中）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则

|푎−푐|−|푏+푐|的值为．

8．（2023七年级·全国·专题练习）已知푚2−푚푛=2，푚푛−푛2=−5，则3푚2+2푚푛−5푛2=．

9．（2023七年级·河南安阳·期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算

中．例如：已知푎+푏=2，푎푏=−3，则푎+푏−2푎푏=2−2×(−3)=8，利用上述思想方法计算：已知

2푎−푏=2，푎푏=−1，则2(푎−푏)−(푎푏−푏)=．

10．（2023·吉林长春·七年级期末）某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台．甲、乙两种品牌

电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台．若购买甲品牌电子白板费用为